高一年级第一期数学创新试题综合测试题

1、高一年级第一期数学创新试题综合测试题(一)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 函数 f(x) 有反函数f-1(x) ，若 f(x)=f-1(x),则我们称f(x)有不变的反函数，那么下面所给函数中有不变反函数的是( d ) a.y=2x b.y=x3c.y=x2d.y=1x解析： y=2x 的反函数为y=12x；y=x3的反函数为y=3x；y=x2没有反函数； y=1x反函数为 y=1x，故选 d.2. 设 m 、 p是两个非空集合， 若规定：m p=x|x m且 xp，则 m (mp) 等于 ( b ) a.p

2、b.m pc.m pd.m 解析：利用韦恩图，图 1 表示 m p，图 2 表示 m (mp)，所以正确答案是（b）. 3. 设集合 i=1 ，2，3，4，5 ，a与 b是 i 的子集，若ab=1， 2，3 ，就称集对 (a，b)为“好集”，那么所有“好集”的个数( c ) a.7 b.8 c.9 d.10 解析： 由 ab=1， 2，3 ，知集合 a、b中都必含有1，2，3 三个元素，则a=1，2，3 或 a=1，2，3，4 或 a=1，2，3，5. b=1，2，3或 b=1，2，3，4 或 b=1，2，3，5. 所有“好集” (a， b)的个数为9个，故选c. 4. 在实数集上定义一个运算

3、“*”，a*b=a+b2, 则方程 lgx*lg(x+3)=12的解是 ( b ) a.5 b.2 c.5 或 2 d.5 图甲图乙解析： 根据运算的定义，得原方程等价于lgx+lg(x+3)2=12，所以 lgx(x+3)=1，x2+3x10=0，解得 x= 5 或 2，经检验x=2 是原方程的解 . 5. 一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式y=x2，值域为 1 ， 4的“同族函数”共有( b ) a.10 个b.9 个c.8 个d.7 个解析： 由 x2=1 或 x2=4，得 x=1 或 x=2，则由同族函数的定义知，定义域取法有：

4、1，2 、1 ， 2 、 1，2、 1，2 、1 ，2， 2、 1，2， 2、1 ，1，2、1 ， 1， 2 、1 ， 1， 2，2共有 9 种，故选b. 6. 等比数列 an中， a1=512，公比 q=12，用n表示它的前n 项之积：n=a1a2a3,an，则1，2，, 中最大的是( b ) a.8b.9c.10d.11解析： 要使n=a1a2a3,an最大，必须an1，an+21 且 n 为奇数，即 512( 12)n1 1，512( 12)n+11，8 n10，n=9，故选b. 7. 对于正数n和m，其中nm，定义nm!=(nm)(n 2m)(n3m) , (nkm)，其中 k 是满足

5、 nkm 的最大整数，则184!206!= 152. 184! a.56b.56c.152d.152解析： 184!=(18 4)(1824)(18 34)(1844)=141062，204!=(20 6)(2026)(2036)=1482，184!206!=152. 8. 一组实验数据如下表t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12 v 0.01 1.50 4.40 7.50 12.09 18.01 与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 ( c ) a.v=log2t b.v=-log2t c.v=12(t2-1) d.v=2t-2 解析：从表中取t=4.00 ，

6、 则在 a中 v=2 7.5 ；在 b中 v=27.5 ；在 c中 v=7.57.5 ；在 d v=67.5. 故选c. 9. 定义 a*b、b*c、c*d、d*b分别对应下列图形那么在下列图形中：可以表示a*d、 a*c 的分别是 ( c ) a.(1) 、(2) b.(2) 、(3) c.(2) 、(4) d.(1) 、(4) 解析 ：分析已知图，易知a表示竖线， b表示较大正方形，c表示横线， d表示小正方形，则a*d 表示的图形 (2) ， a*c表示的图形是 (4).故选 d. 10. 已知函数f(x)=2-x2，g(x)=x.若 f(x)*g(x)=minf(x),g(x),那么

7、f(x)*g(x)的最大值是（d ）a.1 b.2 c.3 d.4 解析： f(x)*g(x)是一个分段函数：f(x)*g(x)=f(x) f(x)g (x)g(x) f(x)g(x). 于是，原问题就是： 求这个分段函数的最大值。利用求函数最值的方法可以解决问题。通过函数y=2x2与 y=x 的图象（如图） ，可知实线部分即为f(x)*g(x)的图象 , 于是图中a点的纵坐标即为所求，易求得xa=1，故选 a. 11. 设集合 m=x|mxm+34， n=x|n 13xn，且 m 、n都是集合 x|0 x1的子集，如果 ba 叫做集合 x|a xb的“长度”，那么集合m n的“长度”的最小值

8、是 ( c ) a.13b.23c.112d.512解析：集合 m的“长度”为34， 集合 n的“长度”为13， 而集合 x|0 x1的“长度”为 1，故 m n 的“长度”的最小值为34+131=112，故选 c. 12. 给定 an=logn+1(n+2)(n n*) ，定义使a1a2a3, ak为整数的数k(k n*) 叫企盼数，则区间 1，2003内的所有企盼数的和m=（d ）a.4074 b.4073 c.2025 d.2026 解析 ：an=logn+1(n+2)(n n*) ，a1a2a3, ak=log23log34 , logk+1(k+2)= log2(k+2)，要使 lo

9、g2(k+2) 为正整数，则可设k(n)+2=2n+1，即 k(n)=2n+12(nn*) ，令 12n+1 22003， 1n9(nn*) ，则区间 1， 2003内的所有企盼数的和m=9n=1k(n)=9n=1(2n+1- 2)=(22- 2)+(22- 2)+,+ (210- 2)=(22+23+ ,210)- 2 9=22(291)2 1=2026，故选 d. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上13. 经济学中，定义mf(x)=f(x+1)-f(x)为函数f(x)的边际函数，某企业的一种产品的利 润p(x)=-x3+30 x2+1000(x1

10、0,25且xn* )，则它的边 际函数mp(x)=_-3x2+57x+29(x10,25 ，且xn*)_. 解析： 由定义，得mp(x)=p(x+1) p(x)= 3(x+1)3+30(x+1)2+1000(-x3+30 x2+1000)=-3x2+57x+29. 14. 若数列 an 满足： （1）an 是递增的；（2）当 n5 时， sn0；当 n5 时， sn0；（3）对 nn* ，有 2an+1=an+2+an； (4)点n ，an在方向向量为(1，2)的直线上 . 对符符合条件的数列an 为 .(写出一个通项公式即可) 解析： 这是结论开放题，由题知，an 是等差数列，且d=2，由

11、s50，s60，5a1+10d06a1+15d0，解得 5a1 4，故 an=92+(n 1)2， an=174+(n1)2，, ，an=2n132，an=2n254，,. 15. 已知函数f(x)满足：对任意实数x1，x2，当 x1x2时，有f(x1)f(x2)，且 f(x1+x2)= f (x1)f(x2)，写出一个满足上述条件的函数y=3x（底数大于1 的指数函数均可）.解析： 由 f(x1+x2)= f (x1)f(x2)易想到指数函数具有此性质，又由当 x11 时,为使函数f(x)= loga(ax2x)在区间 2,4 上是增函数 ,需 g(x)= ax2x 在区间2,4 上是增函数

12、 , 故应满足x=12a2g(2)=4a-2 0，解得 a 12，又 a1，所以 a1. 当 0a0，此不等式组无解. 综上可知，当a1 时，函数f(x)=loga(ax2x)在区间 2,4 上是增函数 . 20.( 本小题 12 分 ) 已知 a 0，a1，则p：函数 y=loga(x+1) 在 x(0，+) 内单调递减； q：抛物线 y=x2+(2a-3)x+1与 x 轴交于不同的两点，如果p 且 q 为假命题， p 或q 为真命题，求a 的取值范围 . 解析： 由题意知 p 与 q 有且仅有一个为真命题. 当 0a1 时，函数y=loga(x+1) 在(0 ，+) 内单调递减；当 a1

13、时，函数 y=loga(x+1) 在(0，+) 内不是单调递减；抛物线 y=x2+(2a-3)x+1与 x 轴交于不同的两点等价于(2a-3)240，解得 a12或 a52. (1) 若 p 正确， q 不正确，即函数y=loga(x+1) 在 (0 ，+) 内单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与 x 轴不交于两点，(2) 因此 a(0，1)(12，1 (1，52) ，即 12，1. (3) 若 p 不正确， q 正确，即函数y=loga(x+1) 在(0 ，+) 内不是单调递减，抛物线y=x2+(2a-3)x+1与 x 轴交于不同的两点，(4) 因此 a(1,+ ) (0 ，12)

14、 (52，+) ，即 (52，+) ，综上所述， a 的取值范围为 12，1)(52，+).21.( 本小题12 分) 对于在区间 m,n 上有意义的两个函数f(x)和 g(x),如果对任意的xm,n, 均有 |f(x)-g(x)| 1, 则称f(x) 与 g(x) 在m,n 上是接近的，否则称f(x)与 g(x) 在m,n 上是非接近的，现有两个函数f1(x) loga(x-3a) 与 f2(x ）loga1x-a(a 0,a 1), 给定区间a+2,a+3. (1) 若 f1(x) 与 f2(x) 在给定区间 a+2,a+3上都有意义，求a 的取值范围；(2) 讨论 f1(x) 与 f2(

15、x) 在给定区间 a+2,a+3上是否是接近的. 解析： (1)f1(x) loga(x- 3a),x a+2,a+3,有a+2-3a 0a+3-3a 0， 0 a1,f2(x ） loga1x-a,x a+2,a+3,有a+2-a 0a+3-a 0 xa0， a0,a 1,f1(x),f2(x) 都有意义，应满足0a 1. (2)|f1(x)-f2(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|, 令|f1(x)-f2(x)| 11 loga(x2-4ax+3a2)1, ，令 g(x)=loga(x2-4ax+3a2)=loga(x-2a)2-a2, 易知 g(x) 在a+2,a+3上递减，g

16、(x)min=lg(a+3)=loga(9-6a),g(x)max=g(a+2)=loga(4-4a), 于是成立的条件是：0a1loga(9-6a) -1loga(4-4a) 10 a9-572, 综上，当 0a9-572时， f1(x) 与 f2(x) 在a+2,a+3上是接近的；当 a9-572，且 a1 时， f1(x) 与 f2(x) 是非接近的 . 22.( 本小题 14 分) 定义：若函数f(x)对于其定义域上的某一点x0，f(x0)= x0，有则称x0是 f(x)的一个不动点 . 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b- 1(a0).(1)当a=1，b=-2，求函数 f(x)的不动点； (2) 若对任意的实数b，函数 f(x)恒有两个不动点，求 a 的取值范围； (3) 在(2) 的条件下，若y=f(x)图象上两个点a、b 的横坐标是函数f(x) 的不动点，且a、b两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b 的最小值 . 解析： (1)f(x)=x2-x-3 ，由 x2-x-3=x ，解得 x=3 或-1 ，所以所求的不动点为-1 或 3. (2) 令 ax2+(b+1)x+b-1=x，则 ax2+bx+b-1=0 由题意， 方程恒有两个不