ch函数限的概念实用教案

1、2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系1第3节 函数(hnsh)的极限 3.1 函数(hnsh)极限的概念 3.2 函数(hnsh)极限的性质 3.3 两个重要极限 3.4 函数(hnsh)极限的存在准则第1页/共40页第一页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系2在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做(jiozu)在这一变化过程中函数的极限.极限(jxin)与自变量变化过程密切相关.第2页/共40页第二页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系3从数列(shli)极限到函数极限数

2、列数列(shli)极限极限n 函数函数(hnsh)极极限限连续自变量离散自变量自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:自变量变化过程自变量变化过程只有一种只有一种0( 4 ) xx0(5) xx 0(6) xx (1) x (2) x (3) x ( ) ,yf x 对对( ) ,yf n 对对第3页/共40页第三页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系43.1 3.1 函数极限函数极限(jxin)(jxin)的概念的概念自变量自变量x趋于趋于时函数时函数(hnsh)的极限的极限自变量自变量x趋于有限值趋于有限值x0时函数时函数(hnsh)的极的极限限第4页

3、/共40页第四页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系51 1、自变量、自变量x x趋于趋于时函数时函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限sin.xxx 观察函数当时的变化趋势观察函数当时的变化趋势xxysin 第5页/共40页第五页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系6,( )( );f xaf xa 表示任意小表示任意小0,.MxMx 表示的过程表示的过程. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示(ynsh)实验的观察:问题(wnt):如何用数学(shxu)语言刻划函数“无限接近”.第6页/

4、共40页第六页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系7定义1 ( )设 f (x)在 充分大时有M 定义定义x0,0,( ),MxMf xa当时当时使恒有使恒有定义,a是一个常数.若则称当x趋向于无穷时, f (x)的极限是a, 记作lim( )( )().xf xaf xa x 或或0,0,( ).MxMf xa使当时 恒有使当时 恒有lim( )xf xa第7页/共40页第七页，共41页。8xxysin 几何(j h)解释a a M M,( ),2.xMxMyf xya 当或时 函数图形完全落在以当或时 函数图形完全落在以直线为中心线宽为的带形区域内直线为中心线宽

5、为的带形区域内a0,0,( ).MxMf xa使当时 恒有使当时 恒有第8页/共40页第八页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系9xxysin 例例1 1. 0sinlim xxx证明证明证证sin0 xx 要使要使1x 只须只须1,X 取取xX 当当则则时，恒有时，恒有,sin0 xx . 0sinlim xxx故故:lim( ),( ).xf xcycyf x如果则直线是函数如果则直线是函数的图形的水平的图形的水平定定渐近线渐近线义义0, 1x 即即第9页/共40页第九页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系10 xx 当当时时或或当当

6、时时, ,函函数数的的极极限限如指数函数(zh sh hn sh)(1)xyaaxay )1 , 0( xay)1( 注意(zh y)：另两种情形第10页/共40页第十页，共41页。110,0,( ).MxMf xa 使当时 恒有使当时 恒有0,0,( ).MxMf xa 使当时 恒有使当时 恒有lim( )lim( )lim( ).xxxf xaf xaf xa定定且且理理lim( )( )()xf xaf xa x 或或lim( )( )()xf xaf xa x 或或:.10情形情形x:.20情形情形x:lim( ),( ).xf xcycyf x如果则直线是函数如果则直线是函数的图形的

7、水平的图形的水平定定渐近线渐近线义义lim0(1)xxaa验证：验证：第11页/共40页第十一页，共41页。122、自变量、自变量x趋于有限趋于有限(yuxin)值值x0时的函时的函数极限数极限如函数(hnsh)y1x21( )yxf x 1o22311( )121xxxyh xxx y1x1o22231( )1xxyg xx y1x1o再观察(gunch)(gunch)注意注意: : 研究函数极限研究函数极限与f (x )在点x0是否有定义无关！ 01x 第12页/共40页第十二页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系132、自变量、自变量x趋于有限趋于有限(yux

8、in)值值x0时的函时的函数极限数极限00.0,xxxx 表表示示的的过过程程x0 x 0 x 0 x 0,x 点 的去心 邻域点 的去心 邻域.0程度程度接近接近体现体现xx 0( )( );f xfaxa表示与 的接表示与 的接，近程度近程度0 第13页/共40页第十三页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系14 定定义义定义定义2 2( )设设 f (x)在在x0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义（在点x0处可能没有定义），a是一个(y )常数.若则称当x趋向于x0时, f (x)的极限(jxin)是a, 记作00,0,0,( ).xxf xa当时 恒有当时

9、恒有00lim( )( )()xxf xaf xaxx 或或当当定义定义 00,0,0,( ).xxf xa当时 恒有当时 恒有0lim( )xxf xa.与任意给定的正数 有关与任意给定的正数 有关注意(zh y):第14页/共40页第十四页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系15几何(j h)解释)(xfy 0 x0 x0 xxyo0,( ),2.xxyf xya 当 在 的去心 邻当 在 的去心 邻域时 函数域时 函数图形完全落在以直图形完全落在以直线为中心线线为中心线宽为的带形区域内宽为的带形区域内,.显显然然 找找到到一一个个 后后比比 更更小小的的数数更

10、更适适合合 a aa 极限(jxin)(jxin)存在函数(hnsh)(hnsh)局部有界(P47(P47定理3.2(2)3.2(2)这表明: : 第15页/共40页第十五页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系16 用用定定义义验验证证极极限限存存在在，关关键键是是证证明明，方方法法是是倒倒推推法法。000:(1)( )()(2)()( )(3)( );(4)f xaxxxxxx 一般步骤为一般步骤为将化简或适当放大成；将化简或适当放大成；由，解出；由，解出；取取由语言的叙述下结论.由语言的叙述下结论.第16页/共40页第十六页，共41页。2009年10月18南京航

11、空航天大学 理学院 数学系17例例2 2).( ,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证( )f xa CC ,成立成立 , 0 任任给给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3 3.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 第17页/共40页第十七页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系18例例4 421231lim1.1xxxx 证明证明证证2231( )11xxf xax 0, ,/2 取取01,x 当时当时函数(hns

12、h)(hnsh)在点x =1x =1处没有定义. .21x ( ),f xa 要使要使223111,xxx 就就有有21231lim1.1xxxx 21x 即即第18页/共40页第十八页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系19例例5 5000limsinsin,.xxxxxR证明证明证证sin,xxxR 0, , 取取00,xx 当当时时利用(lyng)(lyng)不等式: :0sinsin,xx 要要使使0sinsin,xx 就就有有00limsinsin.xxxx000sinsin2 cossin22xxxxxx00limcoscos.xxxx 同理可证0 xx

13、第19页/共40页第十九页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系20 M定义定义lim( )xf xa0,0,( ).MxMf xa 使当时 恒有使当时 恒有lim( )xf xa0,0,( ).MxMf xa 使使当当时时 恒恒有有lim( )xf xa0,0,( ).MxMf xA 使当时 恒有使当时 恒有复 习第20页/共40页第二十页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系21注意注意(zh y);)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf;. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,)(. 30

14、和和远远处处取取值值无无关关有有关关分分小小的的空空心心邻邻域域内内取取值值的的充充在在点点值值只只与与函函数数极极限限存存在在性性、极极限限xxf定义定义 00,0,0,( ).xxf xa 使当时使当时恒有恒有第21页/共40页第二十一页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系22.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题:练练 习习 题题

15、10220141lim2 3R, lim( )21sin2lim0 ( )DirichletxxxxxxD xxxD xx 、不存在、（其中为函数）0.0002 397 =21M 2=第22页/共40页第二十二页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系23例例6 622lim15.xx证明（）证明（）22lim15.xx（）（）证证0, min1,5 取取02,x 当时当时22154,xx 要要使使24,x 就就有有(-2)(2)xx 即即-21x 限限制制2245xx则则2.x 只只5 5须须第23页/共40页第二十三页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学

16、 理学院 数学系24例例7 7.lim00 xxxx 证证0( )f xaxx0, ,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ( ),f xa 要使要使0,xx 就就有有,00 xxx 00.xxxx 只只须须且且 不不取取负负值值000:0,lim.xxxxx证明 当时证明 当时第24页/共40页第二十四页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系25小结小结(xioji)000:(1)( )()(2)()( )(3)( )min(4).f xAxxxxxx 用定义证题，也是由 找 ，一般步骤为用定义证题，也是由 找 ，一般步骤为将化简或适当放大成；将化

17、简或适当放大成；令，解出；令，解出；令，或；令，或；由语言的叙述可下结论由语言的叙述可下结论第25页/共40页第二十五页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系26考察分段考察分段(fn dun)(fn dun)函数函数, ,21,0( )1,00.xxf xxxx 当当时时的的极极限限两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xxyox1xy 112 xy左左极极限限和和右右极极限限 单侧极限-0,xx从从左左侧侧无无限限趋趋于于;0 xx记作记作0,xx从从右右侧侧无无限限趋趋于于;0 xx记作记作第26页/共40页第二十六页，共41页。2009年10月18南京

18、航空航天大学 理学院 数学系27又如符号(fho)函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyo0lim.xx如，求如，求第27页/共40页第二十七页，共41页。28右极限右极限(jxin)000,0,( ).xxxf xa当时 恒有当时 恒有 000:000 xxxxxxxxx 注意注意 000(0)lim( )xxf xf xafxa xx 记作或记作或左极限左极限(jxin)000,0,( ).xxxf xa当时 恒有当时 恒有 000(0)lim( ).xxf xf xafxA xx 记作或 记作或 设 f (x)在x0的某一右邻域(ln y)内有定义设 f (x)在x0的

19、某一左邻域内有定义000lim( )(0)(0).xxf xaf xf xa 定定理理: 注意左极限和右极限统称为单侧极限.注意左极限和右极限统称为单侧极限.00 xx（）（） 0(0)xx 第28页/共40页第二十八页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系29.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右(zuyu)(zuyu)极限存在但不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx例例7 7证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x000(0)(0)lim( ).xxf xf xf x 若若不不注注意意

20、：第29页/共40页第二十九页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系30函数(hnsh)极限的归并原理目的目的(md)：将函数极限归结为数列极限：将函数极限归结为数列极限0lim( )xxf xa O00(), lim ()()nnnnxU xxxf xa n 若若就有就有HeineHeine定理定理(dngl)(dngl)：-函数极限与数列极限之间的关系00,xxxxx 注意：对的情形也成立.注意：对的情形也成立.第30页/共40页第三十页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系31例如(lr),xxysin 1sinlim0 xxx, 11

21、sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnnsinlim0 xxx sinlim0,nnn sin()lim0.nnn 第31页/共40页第三十一页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系32(),nf xa 从从而而有有证证0lim( )xxf xa 00,0,0,( ).xxf xa有有00lim,nnnxxxx又且又且00,0.nNNnNxx 对上述对上述lim().nnf xa 故故定理(dngl)3.1(Heine定理(dngl)）0o0:()lim( )xxfU xRf xa设为一函数，则设为一函数，则o00(),(),

22、lim().nnnnxU xxx nf xa 满足有满足有第32页/共40页第三十二页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系33证证用反证法！00,(),lim()lim( )nnnnxxxxx nf xaf xa 若满足有，若满足有，则则o0000,0,(, ),()xU xf xa 0lim( )xxf xa设设o001(),(,),()nnnnnNxU xf xan 取则取则o0()nxU x 0()nxx n lim()nnf xa 与条件(tiojin)矛盾！即，要证第33页/共40页第三十三页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系

23、34用Heine定理判断(pndun)函数极限不存在0lim( )xxf xa 0000(), lim,()nnnnxD fxxf xa 及满足且 o(1)(2)(1)(2)(1)(2)00,(, )limlim,limlimnnnnnnnnnnxxU xxxxfxfx 满足且第34页/共40页第三十四页，共41页。3501limsinxx证明极限不存在证明极限不存在(1)1, nxn 分别取 (1)(2)limlimsin0, limlimsin 21.2nnnnnnfxnfxn 则则 例例8 8证明证明(zhngmng)limsinxx同理可证证明极限不存在同理可证证明极限不存在：xy1s

24、in (2)122nxn (1)lim0,nnx (1)0;nx 且且(2)lim0,nnx (2)0;nx 且且二者不相等(xingdng),.1sinlim0不存在不存在故故xx第35页/共40页第三十五页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系3600R,lim( )xxxD x不 ,不 ,例例9 9 证明证明(zhngmng)(zhngmng)( )D xDirichlet其中其中为函数.为函数.0,xR证明证明(zhngmng)由实数(shsh)的稠密性，(1)(1)0,()lim()0nnnnnxxR Qxx nD x 而(2)0,()lim()1nnnnnxxQxx nD x 而由Heine定理知，0lim( )xxD x 不不第36页/共40页第三十六页，共41页。2009年10月18南京航空航天大学 理学院 数学系37函数函数(hnsh)极限的统一定义极限的统一定义lim( );nf na lim( );xf xa lim( );