ch格林公式及其应用实用教案

1、区域(qy)(qy)连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分(b fen)都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.复连通(lintng)区域单连通区域DD第1页/共41页第一页，共42页。一、一、 格林公式格林公式(gngsh)(gngsh)定理(dngl)1 第2页/共41页第二页，共42页。连连成成与与由由21LLL组组成成与与由由21LLL边界(binji)曲线L的正向 当观察者沿边界(binji)行走时,区域D总在他的左边。2LD1L2L1LD第3页/共41页第三页，共42页。),()(),(21bxaxyxyxD 证明(zhngmng) (1)

2、,()(),(21dycyxyyxD yxoabDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 第4页/共41页第四页，共42页。dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 第5页/共41页第五页，共42页。(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyP

3、xQ第6页/共41页第六页，共42页。 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL第7页/共41页第七页，共42页。GD3L2LFCE1LAB(3)由(2)知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLL第8页/共41页第八页，共42页。第9页/共41页第九页，共42页。xyoL（1） 简化(

4、jinhu)曲线积分简单(jindn)(jindn)应用ABDBOABOAL 第10页/共41页第十页，共42页。 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于214ABDxdydxdyr 第11页/共41页第十一页，共42页。（2） 简化(jinhu)二重积分xyoAB11D第12页/共41页第十二页，共42页。 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e第13页/共41页第十三页，共42页。 OADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（例3 计算(j sun) ,dy)y(sinedx)yc

5、os(eIxLx11 解 可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里(zhl)用格林公式。 xyLsin: 从到)0 , 0(O)0 ,( A（01 dxdyysine)y(sinexDx第14页/共41页第十四页，共42页。 0sin00sin xdxedyedxxxx.2121| )cos(sin20 exxex第15页/共41页第十五页，共42页。解第16页/共41页第十六页，共42页。L( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,1DrlxyoLD Lyxydxxdy022yxo第17页/共41页第十七页，共42页。 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL0

6、2222 lLyxydxxdyyxydxxdy2 (注意格林公式(gngsh)的条件) drrr22222sincos 20第18页/共41页第十八页，共42页。还可将结论(jiln)更一般化（略） 小结(xioji)（1）L是D的边界，在D上yPxQ 简单(jindn)，而且 DdxdyyPxQ)(易于计算时，可应用格林公式计算 OxyL1L2L3L注 此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？ 第19页/共41页第十九页，共42页。（2）L不封闭时，采取“补线”的方法： lDlLlLdxdyyPxQ)(l 要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。 选用直线段、折线、圆、半圆、

7、椭圆、抛物线等。 l（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有 ,yPxQ 则; 0 L 如 D 内除点外均有 则 ,yPxQ lL),(000yxM第20页/共41页第二十页，共42页。 其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部(nib)没有别的“坏点”） 例5 计算 逆时针方向。 ,yx:C,yxydxxdyIC142222 ,yxxQ,yxyP222244 解,)yx(yx)yx(xx)yx(xQ222222222244484 Lll),(00yx),(00yx第21页/共41页第二十一页，共42页。,)4(4)4(2)4(2

8、222222222yxyxyxyyyxyP 除原点外处处(chch)有 QPxy 2DLLcdxdyydxxdy 取,逆时针方向，则14:22 yxL第22页/共41页第二十二页，共42页。 LDydxxdydxdy2（3） 计算(j sun)平面面积第23页/共41页第二十三页，共42页。解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM第24页/共41页第二十四页，共42页。 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 20146aaxdxa )0 ,(aANM第25页/共41页第二十五页，共42页。Gyxo 1LQdyPdx 2

9、LQdyPdx1L2LBA如果(rgu)在区域G内有 二、平面上曲线积分与路径无关二、平面上曲线积分与路径无关(wgun)(wgun)的的条件条件第26页/共41页第二十六页，共42页。平面上曲线积分与路径无关的等价(dngji)(dngji)条件具有(jyu)一阶连续偏导数,则以下(yxi)四个条件等价:定理8.2.2 设 是单连通域,)y,x(Q),y,x(P在 内函数DD(1) 沿 中任意光滑闭曲线 ,有0ddLP xQ y 。DL(2) 对 中任一分段光滑曲线 , 曲线积分LyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. DL(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d 在

10、内是某一函数的全微分,即 D(4) 在 内每一点都有PQyx 。D第27页/共41页第二十七页，共42页。说明: 积分与路径无关(wgun)时, 曲线积分可记为 证明(zhngmng) (1) (zhngmng) (1) (2)(2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D内任意(rny)两条由A到B的有向分段光滑曲线则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPdd第28页/共41页第二十八页，共42页。证明(zhngmng) (2)(zhngmng) (2)（3 3）在D内取定点(d

11、n din),(00yxA因曲线(qxin)积分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 则),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可证yu ),(yxQ 因此有yQxPuddd 和任一点,与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 ),(yxB第29页/共41页第二十九页，共42页。证明(zhngmng) (3) (zhngmng) (3) （4 4）设存在函数 使得),(yxuyQxPuddd 则)y,x(Qyu),y,x(

12、Pxu 在D内具有连续(linx)的偏导数,xyuyxu 22所以所以从而(cng r)在D内每一点都有xQyP xyuxQ,yxuyP 22QP,第30页/共41页第三十页，共42页。证明(zhngmng) (4)(zhngmng) (4)（1 1） 设L为D中任一分段(fn dun)光滑闭曲线,DD (如图) ,上上因此在因此在D xQyP 利用(lyng)格林公式 , 得ydx)xQxQ(ydQxdPLDd DDL0 所围区域为证毕第31页/共41页第三十一页，共42页。yx说明(shu(shumng):mng):根据(gnj)定理2,若在某区域内,xQyP 则2) 求曲线积分时, 可利

13、用格林公式简化(jinhu)计算,Dyx ),(00及动点,),(Dyx yd )y,x(Qxd )y,x(P)y,x(u)y,x()y,x( 00 xxxd )y,x(P00或 yyyd )y,x(Q)y,x(u000y0 x则原函数为 yyyd )y,x(Q0 xxxd )y,x(P0若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;3)可用积分法求在域D内的原函数:QdyPdxdu 第32页/共41页第三十二页，共42页。yA xoL例7 计算(j sun),d)(d)3(22yxyxyxL 其中(qzhng)L 为上半24xxy 从 O (0,

14、0) 到 A (4, 0).解 为了使用(shyng)格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圆周区域为D , 则3648 第33页/共41页第三十三页，共42页。例8 验证(ynzhng)yyxxyxdd22 是某个函数(hnsh)的全微分,并求出这个(zh ge)函数. 证 设,22yxQyxP 则xQyxyP 2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y)，使yyxxyxuddd22 ),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x

15、xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 第34页/共41页第三十四页，共42页。例9 验证(ynzhng)22ddyxxyyx 在右半平面(pngmin)内存在原函数 , 并求出它. 证 令2222,yxxQyxyP 则)0()(22222 xyQyxxyxP由定理(dngl) 2 可知存在原函数 ),()0 , 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx)0( x第35页/共41页第三十五页，共42页。oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx ),()0 , 1(22dd),

16、(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或), 1 (y)0(arctan xxy第36页/共41页第三十六页，共42页。内容(nirng)(nirng)小结1 格林公式(gngsh) LyQxPdd2 等价(dngji)条件在 D 内与路径无关.yPxQ 在 D 内有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd对 D 内任意闭曲线L有0dd LyQxP在 D 内有设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数, 则有第37页/共41页第三十七页，共42页。思考(sko)(sko)与练习1 设,4:,1:2

17、22412 yxlyxL且都取正向, 问下列(xili)计算是否正确 ? Lyxxyyx22d4d)1( lyxxyyx22d4d lxyyxd4d41Do2y1x2Ll D d5415 Lyxxyyx22dd)2( lyxxyyx22dd lxyyxdd41 D d241 2 提示(tsh):时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(第38页/共41页第三十八页，共42页。2 设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求提示(tsh) ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04 yyyxyd)56(0422 C551x 322yx Cy 5xxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),()0 , 0(yxC第39页/共41页第三十九页，共42页。 CCCDyxoaaC 备用(biyng)(biyng)题 1 1 设C C为沿 yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222 222ayx 从点), 0(a依逆时针), 0(a 的半圆(bnyun), 计算解 添加(tin ji)辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321a aayayd)ln2(D222xaya 222xay yxdd C到点第4