类型一线段、周长最值问题

1、类型一线段、周长最值问题1. 如图，抛物线y=2x+3交x轴于c两点(点/在c的左边)，抛物 线交y轴于点点d是抛物线的顶点.(1) 求线段的长；(2) 点p是直线ab上方的抛物线上一点(不与昇，b重合)，过点p作x轴的垂线, 交兀轴于点交直线于点f,作fg丄力3于点g,求出pfg周长的最 大值；2. 已知二次函数的图象和x轴相交于点力、与y轴交于点c, 过直线bc的下方抛物线上一动点p作pq/ac交线段bc于点q,再过p作 pe丄x轴于点e,交bc于点、d.(1) 求直线/c的解析式；(2) 求p0d周长的最大值；(3) 当p0d的周长最大值时，在尹轴上有两个动点m、n(m在n的上方)，若m

2、n=,求pn+mn+am的最小值.图图3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线j；=x2-2x-3与x轴交于/、3两点(点/在点的左侧)，与卩轴交于点c,该抛物线的顶点为d,对称轴交兀轴于(1) 求力、b两点的坐标；(2) 设点p在x轴下方的抛物线上，当zabp=zcdb时，求出点尸的坐标；(3) 以ob为边在第四象限内作等边oem,设点e为x轴正半轴上一动点 (oe>oh),连接me,把线段me绕点m旋转60。得mf,求线段df的长的最 小值.图图备用图4. （2017遵义改编）如图，抛物线y=ax2+bx-ab（a<0, a、b为常数）与x轴交 于/、c两点，与y轴交于点，

3、直线的函数关系式为j=|x+y.（1）求该抛物线的函数关系式与c点坐标；（2）已知点m（加，0）是线段0/1上的一个动点，过点m作x轴的垂线/分别与直线ab和抛物线交于d、e两点当bde恰好是以de为底边的等腰三角形时,动点m相应位:i记为点m,将绕原点o顺时针旋转得到on（旋转角在0°到90。之间）；i :探究：线段上是否存在定点p（p不与o、b重合），无论on如何旋转,等始终保持不变，若存在,试求出p点坐标;若不存在，请说明理由;3ii：试求出此旋转过程中，的最小值.第4题图5. (2016重庆渝中区校级二模)如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线夕=一筋兀+斗交x轴于力，两点，交

4、y轴于点c,抛物线上一点d的横坐 标为一5.(1) 求直线的解析式；(2) 点e是线段bd上的动点，过点e作兀轴的垂线交抛物线于点f,当折线ef+be最大时，在对称轴上找一点p,在尹轴上找一点0连接0e、op、pq, 求op+pq+qe的最小值；(3) 如图，连接ec,把obc沿兀轴翻折，翻折后的 obc id为o3c,现 将obc沿着x轴平移，平移后obc记为 o'b'c”,连接do'、c”b,记c"b6. (2017重庆西大附中月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx +43与x轴交于力，b两点(点力在点3左侧)，与y轴交于点c,抛物线的顶

5、点为点d,且b(3书,0),对称轴为直线x=£，点£(23, 0),连接ce交对 称轴于点f,连接/f交抛物线于点g.(1) 求抛物线的解析式和直线ce的解析式；(2) 如图，过e作ep丄x轴交抛物线于点p,点0是线段bc上一动点，当4a/tsqg+qb最小时，线段mn在线段ce上移动，点m在点n上方，且mn=勞, 请求出四边形pqmn周长最小时点n的横坐标.图图八第6题图答案1.解:(1)抛物线y=-x2-2x+3f令y=0,则一x22r+3=0,(x-l)(x+3) = 0,x = l,兀2= 3,点/在点c的左边，/(3, 0), c(l, 0),令兀=0,得y=3,

6、 b(0, 3),:.ab=y/32+32 = 3y/2f 线段肋长为32.(2)由题意可知pfg是等腰直角三角形，设p(m, 2加+ 3),；f(m,加+ 3),:pg=fg=pf,hpfg 周长为:pg=fg+pf=pf+y/2pf= -m2-3m+迈(一 m2 一 3 加)=一(迈9 (、佢+1) ：hpfg周长的最大值为一2. 解:(1)令y=0, x2-x-2=0 兀 1=1,兀2 = 2,/(1, 0), 5(2, 0),令兀=0,尹=一2,c(0, -2),设直线ac的解析式为伙h0),直线过点/、c,k=-2 b=2.jo=k+bb=-2：直线ac解析式为y=2x2；(2)v5

7、(9= co,上boc=90。,:.zabc=45°9 zaco= kepq,/. tan z4co=tanzepq=g,过0作pe的垂线垂足是h.设 qh=a, ph=2af dh=a, a+2a=pd, a=gpd,设 p(m,加2加一2), d(m, m 2),cpqd=pq+qd+pd=(£+& + 3)a=®半旦pd,诉+迈+ 3谚+迈+32丄。、 v5+v2 + 3二丄c、pqd 2 pd = q ( m + 2m) ? (m 1) +:当 m 吋，c、pqd 最人=，此吋 p(1, 2)；(3) 把点/向下平移1个单位到点"，则川(

8、一1, 一1)连接力屮, :.am+mn+pn 最小值=at+mn=y5 +1.第2题解图第2题解图3. 解:(1)尹=/2x_3=(x_3)(x+1),令卩=0,解得兀1 = 1,也=3,则 >1(-1, 0), 5(3, 0)；过点p作pq-lx轴于0,过点d作dk丄y轴于k,如解图，由 c(0, 3), d(l, -4),得 oc=ob=3, ck=dk= 1, a zbco=zdck=45。,750=32, cd=£, bd=2y5f :.bc1 + cb1=bd2, :. z5cz)=90° ,当 zabp=zcdb 时，pq bc 32有 rt'p

9、qbsrthbcd, 故bq=迈=3，即 pq=3bq.设 p(x, x22x3),则 50=|3x|, p0=|x22x3|.tp点在x轴下方时，/. x2+2x+3 = 3(3x),整理得x2-5x+6 = 0,解得xi=2,兀2 = 3(不合题意，舍去).此时点p的坐标为(2, 3)当zabp=zcdb时，p的坐标为(2, 3).奶d第3题解图(3) 易证 0me9hbmf,故zmbf=zmoe=60° .连接fb并延长交抛物线对称轴于点g,如解图，当df丄bg时，df取得最小值.: zgbh=60° ,zg=30° , hg=y3bh= 2书.df=dg=

10、2 +羽,线段df的长的最小值为2+3.第3题解图4. 解：(1)在中,令x=0,贝2=学，令夕=0,则兀=6,/.5(0,乎)，a(6, 0),36a6bab = 0把 5(0,乎)，a( 6, 0)代入 y = ax2 + bxa b 得165rbp抛物线的函数关系式为尸一*2譽r+学令y=0,则_鲁疋一夺+学=o,c（1, 0）；点m伽，0）,过点m作x轴的垂线/分别与直线力3和抛物线交于d、e两点，如解图，d（加，初+乎），当qe为等腰三角形的底时,作 bg丄qe 于 g,则 eg=gd=edf gm=ob=y,: dm+dg=gm=ob,解得：加i = 4,加2=0（不合题意，舍去）

11、，当加=4吋，hbde恰好是以de为底边的等腰三角形;i :存在，：on=om'=4, ob=学. znop= /bon,op np on 3.当°nops厶bon 时,qn=b = qb=4,.np#nb不变,33即 op=on=x4=3,f(0, 3)ii：如解图，n在以o为圆心，4为半径的半圆上，由(i)知,np_op_3nb = on=4'3/. (na +nb)的最小值=na+np,此时n, a,卩三点共线，：(na + nb)的最小值=3+6?=35.5. 解:(1)令y=0,贝lj羽x+¥=0,解得兀=4 或 1,/(一4, 0), 5(1,

12、0),令x=0,贝.c（0,华），当x=5时，尹=驾信+5迈+兰¥=2羽,点 d 坐标（一5, -23）,设直线解析式为y=kx+h,则有5k+b= 2羽k+b=o解得s直线bd的解析式为夕=净一¥（2）如解图中，设bd交，轴于k,则k（0, 申）,设e（m, ¥加一平），则_¥沪书皿+豊，tanaabd=i zabd=30%.ef+eb= 筋加(¥ 加一¥)+ 2(¥¥?)= ¥(加 + 3)2 +16小3 ，加=3时，ef+eb的值最大，此时点e坐标（一3, 华）, 如解图，作点e关于尹轴的对称点n,

13、 em丄4b于m,连接mn,交对称轴于p,交尹轴于0,第5题解图tm、o关于对称轴对称,：op=pm,e、n关于y轴对称，:qe=qn,：.op+pq+qe=pm+pq+qn,当m、n、p、0共线时，op+pq+qe最小，最小值为mn的长,在 rt/mne 中,mn=yjem2 + en2=2 + 62 =：.op+pq+qe的最小值为嚮3(3)如解图中，作 om丄于 m, bd=yl (1+5) 2+ (23)2=43，设 o，b=a,则 om=*q, bm=a, dm= bd-bm= 43a,第5题解图vz（9, dm= zc,bo, zof md=zboc = 90。,o' md

14、sg o' b, o' m _ dm （y c =bo,12a4y3 a./+4q 32 = 0,解得 a=4 或一8（舍去）,c坐标为（一3, 华）.6.解：（1）由抛物线y=ax2+bx+4y3的对称轴一£=萌 ,点e（2书,0）在抛物线上，贝"3筋）咕+ 3羽5+4迈=0，_ - 43a_ 9由解得 小 ， 则抛物线的解析式为y=+|+4萌,又点 c（0, 43）, e（2书,0）,设直线ce的解析式为y=kx+m,0+b=4羽， 叫 2岳+1）=0,k=2解得仁皿直线ce的解析式为y=2x+4jl由抛物线尹=一空+|x+4羽知, 当x=2yi吋，夕=

15、4羽，则点p的坐标为（2萌，4筋）， 根据对称性得a（y3, 0）,由 y=2x+4y3知，解方程组卜常备+血、y=x+羽解得s13洁y= 1点g的坐标为（学，呼）.由sinzobc=pcbc5、当x=羽时，y=2y3, f速,2羽）, 直线？1f的解析式为：y=x+y3,4当0g丄x轴时，qg+-qb最小, 直线bc的解析式为尸一老+4、疗,当兀=卑时，y=书,点0（学v3）.a/ts如解图，过点p作pk/mn,取pk=mn=,则四边形rwnk是平行四边形，四边形 ponm 的周长=pm+mn+nq+pq=nk+mn+nq+pq,由于mn、f0的值不变，所以只需nk+nq最短，所以作k关于直线ce的对称点k,连接k0,交ce于n,即当k、n、0三点共线时，四边形pqnm的周长最短.tp的坐标为（2羽，4迈），pk=睜,pk/ce,:.k 点横坐标 xk=2y3 +-coszceo=2y/3k 点纵坐标为 *=4书冷i曲 zceo=4