Chap3线性控制系统的时间域分析

1、第第 三三 章章3.1 引言引言 3.2 二阶系统时域分析二阶系统时域分析3.3 稳定性分析稳定性分析3.4 稳态误差计算稳态误差计算3.5 高阶系统时域分析高阶系统时域分析控控 制制 系系 统统 时时 间间 域域 分分 析析3.1 3.1 引言引言 所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它可以通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到方法，它可以通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据系统的时间响应，然后根据响应表达式响应表达式及及响应曲线响应曲线分析系统分析系统的的动态性能和稳态性能动态性能和稳态性能。

2、数学模型是对控制系统进行理论研究的前提。在经典控数学模型是对控制系统进行理论研究的前提。在经典控制理论中，常用制理论中，常用时域分析法时域分析法、根轨迹法或频域分析法来分析、根轨迹法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。线性控制系统的性能。 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有法，具有直观、准确直观、准确的优点，并且可以提供时间响应的全部的优点，并且可以提供时间响应的全部信息。信息。（1 1）典型二阶系统的数学模型典型二阶系统的数学模型3.2 3.2 二阶系统时域分析二阶系统时域分析1. 1. 微分方程及其解微分方程及其解)2

3、(2nnss )(sR)(sC)(sE二阶动态系统结构图二阶动态系统结构图 开环传递函数开环传递函数 )1()2()(2sTsKsssGnn 闭环传递函数闭环传递函数 2222)(nnnsss （2 2）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 过阻尼情况过阻尼情况 1 闭环极点为两个负实数极点闭环极点为两个负实数极点 122, 1 nns1121 nnT1122 nnT令令 22111 1TsTs ，当输入位置控制信号时当输入位置控制信号时sTsTsssssRssCnnnn1)/1)(/1(12)()()(212222 )(1111121

4、)()(21222tUeetUtcTtTt 过阻尼二阶系统的时间常数过阻尼二阶系统的时间常数（2 2）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 临界阻尼临界阻尼 1 闭环极点为重极点闭环极点为重极点 nss 21当输入位置控制信号时当输入位置控制信号时ssssssRssCnnnnn1)(12)()()(22222 )( )1(1)(tUettctnn 2)(11nnnsss （2 2）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 欠阻尼情况欠阻尼情况 10 闭环极点为一对共轭极点闭环极点为一

5、对共轭极点 22, 11 nnjs令令 djs 2, 1s01s2s d 21tan d cos2122111sin1tancos （2 2）二阶系统的单位阶跃响应）二阶系统的单位阶跃响应3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 欠阻尼情况欠阻尼情况 10 闭环极点为一对共轭极点闭环极点为一对共轭极点 22, 11 nnjs令令 djs 2, 1s01s2s d 21tan d cos2122111sin1tancos 3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 欠阻尼情况欠阻尼情况 10 当输入位置控制信号时当输入位置控制信号时ssssssCdnnnnn1)(12)(22222

6、2 2222)()(1dnndnnssss )( )sin()cos(1)(tUtetetcdtdndtnn )( )sin(1112tUtedtn 3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 欠阻尼情况欠阻尼情况 10 )sin(111)(2 tetcdtn稳态分量稳态分量动态分量动态分量tne 2111注意到注意到c(t) 的包络线为的包络线为tne 2111tne 2111t)(tc100t)(tc1 （1 1）稳定性稳定性3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统2. 2. 性能指标与参数的关系性能指标与参数的关系)1(22,1 ns相对阻尼系数的大小决定二阶系统特征根具有

7、不同的性质相对阻尼系数的大小决定二阶系统特征根具有不同的性质阶跃响应发散振荡阶跃响应发散振荡00 阶跃响应等幅振荡阶跃响应等幅振荡0 0 阶跃响应衰减阶跃响应衰减（2 2）动态性能动态性能3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间动态过程随时间 t 的变化状况的指标的变化状况的指标 指响应曲线从终值指响应曲线从终值10%上升到终值上升到终值90%所需要的时间；所需要的时间； 对于有对于有振荡的系统振荡的系统，也可定义为响应第一次从零上升到，也可定义为响应第一次从零上升到 终值所需时间。终值所需时间。 是是系

8、统响应速度系统响应速度的一种度量。的一种度量。 上升时间上升时间rt)1sin(111)(22 tethntn1)( rth0)1sin(2 rnt ktrn 21)1( 12 kktnr 3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统响应曲线达第一次到达峰值所需的时间响应曲线达第一次到达峰值所需的时间它是它是系统响应速度系统响应速度的一种度量。的一种度量。 峰值时间峰值时间pt)1sin(111)(22 tethntnmax)(hthp )1( 12 kktnp 0)( pth0)1sin(2 dttedntn 化简可得化简可得 221)1tan( pnt 21tan ktpn 213.2

9、 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比是是平稳性平稳性的一种度量。的一种度量。 超调量超调量% %100)()(max% hhh )(maxpthh 21 npt)1sin(111)(22 pntptethpn)sin(111)(2 pntpeth 21sin 211)( ethp%100%21 e3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统稳态值附近取一误差带稳态值附近取一误差带“”，响应曲线开始进入并保持在，响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间称为调节时间。误差带内所需的最小时间称为调节时间。

10、 t s 越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。是所需的时间越短。是系统响应速度系统响应速度的一种度量。的一种度量。 调整时间调整时间st 05.002.0 112 snte nnsnnnstt 35ln100ln05.0491.32ln100ln02.0 02.0405.03 nnst113.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统响应曲线从开始至调节时间内上下摆动的次数响应曲线从开始至调节时间内上下摆动的次数 振荡次数振荡次数xn2122 nddT 02.01205.015.122 xndsxTtn 延迟时间延迟

11、时间dt响应曲线首次达到稳态值的一半所需的时间响应曲线首次达到稳态值的一半所需的时间ndt 7.01 （3 3）一阶系统）一阶系统动态性能指标动态性能指标3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统sTKsRsCs 1)()()(1 延迟时间延迟时间 2 上升时间上升时间3 调整时间调整时间4 峰值时间峰值时间5 超调量超调量Ttd69.0 Ttr20.2 02.005.043 TTts不存在不存在（4 4）动态性能总结动态性能总结3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 超调量与振荡次数的关系超调量与振荡次数的关系%100%21 e 02.01205.015.122 xn 02.

12、0%)ln(205.0%)ln(5.1 xn（4 4）动态性能总结动态性能总结3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统 实际设计系统时，首先由实际设计系统时，首先由%确定确定 ，然后再调节，然后再调节n满满 足其它快速性指标。足其它快速性指标。 在设计一个自控系统时，我们希望调整时间越短越好，比在设计一个自控系统时，我们希望调整时间越短越好，比如（如（page 58系统系统），由于），由于 KTM21 MnTK 对于对于K K 的要求矛盾，所以实际设计系统时会折中解决，或是附的要求矛盾，所以实际设计系统时会折中解决，或是附加辅助设备来实现。加辅助设备来实现。 02.0405.03 nn

13、st3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统常用辅助设备控制：常用辅助设备控制：比例微分控制与测速反馈控制比例微分控制与测速反馈控制比例微分控制比例微分控制)2(2nnss )(sR)(sCKs)2()1()(2nnssKssG 2222)2()1()(nnnnsKsKss 自然谐振频率不变自然谐振频率不变相对阻尼系数增大，超调量减小相对阻尼系数增大，超调量减小可以缩短上升时间和调整时间可以缩短上升时间和调整时间该辅助设备从输入端加入，所以对于输入端噪声有放大作用，尤其该辅助设备从输入端加入，所以对于输入端噪声有放大作用，尤其是高频噪声，所以是高频噪声，所以输入端噪声较强时一般采用测速

14、反馈控制输入端噪声较强时一般采用测速反馈控制。3.2 3.2 二阶自动控制系统二阶自动控制系统常用辅助设备控制：常用辅助设备控制：比例微分控制与测速反馈控制比例微分控制与测速反馈控制测速反馈控制测速反馈控制sKssGnnn)2()(222 2222)2()(nnnnsKss 自然谐振频率不变自然谐振频率不变相对阻尼系数增大相对阻尼系数增大增加上升时间，缩短调整时间增加上升时间，缩短调整时间)2(2nnss )(sR)(sCKs例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数)01. 02 . 0(10)(sssG （1 1）计算系统动态性能指标；）计算系统动态性能指标；（2 2

15、）采用速度反馈进行改进，使超调量）采用速度反馈进行改进，使超调量 。%5% 解：解：2222)(nnnsss sssG201000)(2 10002010002 ssn 220 sradn/ 6.311010 32.01010 例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数)01. 02 . 0(10)(sssG （1 1）计算系统动态性能指标；）计算系统动态性能指标；解：解：sradn/ 6.311010 316.01010 21 nrts 06.030)32.0arccos(14.3 21 npt21% es 10.03014.3 nst43 0.02 , 40.00.0

16、5 , 30.0 ss%1.353 e例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数)01. 02 . 0(10)(sssG （2 2）采用速度反馈进行改进，使超调量）采用速度反馈进行改进，使超调量 。%5% 解：解：)20(1000 ss)(sR)(sCKsKssssssG2010001201000)(22 sKs)100020(10002 )(1)()(sGsGs 1000)100020(10002 sKs例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数)01. 02 . 0(10)(sssG （2 2）采用速度反馈进行改进，使超调量）采用速度反馈进行改进

17、，使超调量 。%5% 解：解：)(1)()(sGsGs 1000)100020(10002 sKs确定确定K%5%100%21 e3%)5ln(12 312 69.0 Kn1000202 6.3169.02 024.0 K例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数)01. 02 . 0(10)(sssG （2 2）采用速度反馈进行改进，使超调量）采用速度反馈进行改进，使超调量 。%5% % 024.0 K Kn1000202 3.3 3.3 稳定性分析稳定性分析劳斯判据劳斯判据1. 1. 稳定性基本概念稳定性基本概念 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态任何系统在扰动

18、的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。产生初始偏差。 所谓稳定性所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始偏差就是指当扰动消除后，由初始偏差状态状态回复到原平衡状态的性能。回复到原平衡状态的性能。 若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。否则是不稳定的。 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构和参数等，而与它只取决于系统的结构和参数等，而与初始条件及初始条件及外作用无关外作用无关。3.3 3.3 稳定性分析稳定性分析劳斯判据劳斯判据2. 2. 稳定性分析方法稳定性分析方法 特征方程

19、法特征方程法 特征方程根全部位于特征方程根全部位于S平面的左半平面平面的左半平面 特征值判据法特征值判据法状态空间中应用状态空间中应用 代数判据法代数判据法时域分析中应用时域分析中应用 根轨迹法根轨迹法 频率稳定判据法频率稳定判据法频域分析中应用频域分析中应用3.3 3.3 稳定性分析稳定性分析劳斯判据劳斯判据3. 3. 劳斯判据劳斯判据 二阶以下系统容易计算出特征方程的根，但二阶以下系统容易计算出特征方程的根，但是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。困难的。 1877年，英国学者劳斯（年，英国学者劳斯（ROUTH）提出了利提出了利用用特征

20、方程的系数特征方程的系数进行代数运算，可以得到全部进行代数运算，可以得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。3.3 3.3 稳定性分析稳定性分析劳斯判据劳斯判据3. 3. 劳斯判据劳斯判据闭环系统特征方程闭环系统特征方程0)(01111 asasasasDnnnn)()(1mss m个左单实根个左单实根k对左单共轭复根对左单共轭复根)()(1111kkkkjsjsjsjs kmn2 都是左根时，即都是左根时，即0)()()(2221211 kkmnssssa 0 i 0 j 系统稳定的必要条件是特征方程所有系数都大于零系统稳定的必要条件是

21、特征方程所有系数都大于零3. 3. 劳斯判据劳斯判据 判断步骤判断步骤0)(01111 asasasasDnnnn（1）特征方程所有系数都大于零）特征方程所有系数都大于零（2）列劳斯表）列劳斯表01321ssssssnnnn 11111edcbaann 22232dcbaann 3354cbaann 312111 nnnnnaaaaab514121 nnnnnaaaaab2131111bbaabcnn 3151121bbaabcnn 3. 3. 劳斯判据劳斯判据 判断步骤判断步骤0)(01111 asasasasDnnnn（1）特征方程所有系数都大于零）特征方程所有系数都大于零（2）列劳斯表）

22、列劳斯表 11 1元素元素列列第第上两行上两行元素元素列列第第上两行上两行上一行第一个元素上一行第一个元素 ixi（3）考察劳斯表）考察劳斯表 若第一列元素均为正，则系统的所有极点均在若第一列元素均为正，则系统的所有极点均在S平面的左半平面，系统稳定。平面的左半平面，系统稳定。 若第一列元素中有负，则系统不稳定，且第一列若第一列元素中有负，则系统不稳定，且第一列中符号改变的次数等于中符号改变的次数等于S右半平面极点个数。右半平面极点个数。两种特两种特殊情况殊情况 某一行第一列为零某一行第一列为零 劳斯表出现全零劳斯表出现全零例例已知系统特征方程已知系统特征方程025103)(234 sssss

23、D试判断稳定性以及极点分布情况。试判断稳定性以及极点分布情况。01234sssss103152列劳斯表列劳斯表7 . 411053101 201023101 27.43 . 327 . 41107 . 41 3.3 2不稳定，且符号改变两次，有两个右根。不稳定，且符号改变两次，有两个右根。例例已知系统特征方程已知系统特征方程0133)(234 sssssD试判断稳定性以及极点分布情况。试判断稳定性以及极点分布情况。01234sssss31311列劳斯表列劳斯表0331131 0 处理方法：无穷小正实数替换处理方法：无穷小正实数替换0特殊情况：某一行第一列为零特殊情况：某一行第一列为零10311

24、31 1 331331 33 1不稳定，且符号改变两次，有两个右根。不稳定，且符号改变两次，有两个右根。例例已知系统特征方程，已知系统特征方程，01087444)(23456 sssssssD试判断稳定性及极点分布情况。试判断稳定性及极点分布情况。0123456sssssss列劳斯表列劳斯表处理方法：以全零行上一行构造处理方法：以全零行上一行构造辅助方程（一般为偶数行）辅助方程（一般为偶数行）特殊情况：某一行为全零特殊情况：某一行为全零10741 84 4 10 55 0 0 001055)(24 sssF01020)(3 sssF构造新行构造新行 1020 105 . 2 90 10不稳定，

25、且符号改变两次，有两个右根。不稳定，且符号改变两次，有两个右根。解辅助方程，解辅助方程，s = 1 1， s = j1.4141.414例例已知系统特征方程，已知系统特征方程，01087444)(23456 sssssssD试判断稳定性及极点分布情况。试判断稳定性及极点分布情况。全零行表示系统特全零行表示系统特征根中存在两个绝征根中存在两个绝对值相同但符号相对值相同但符号相反的实根和（或）反的实根和（或）一对共轭纯虚根。一对共轭纯虚根。0123456sssssss10741 84 4 10 55 0 0 0例例)25. 01)(1 . 01()(sssKsG 系统参数对稳定性的影响系统参数对稳

26、定性的影响已知单位反馈系统已知单位反馈系统0123ssss40 1K4014（1）系统稳定，求）系统稳定，求 K 的取值；的取值；（2）K 取何值时出现等幅振荡，并确定等幅振荡频率；取何值时出现等幅振荡，并确定等幅振荡频率；0404014)(23 KssssD系统特征方程系统特征方程1440560K K40140 K等幅振荡，临界稳定等幅振荡，临界稳定14 K该行构造辅助函数该行构造辅助函数04014)(2 KssF402 ssradn/32. 6 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算 稳态误差的定义和相关概念稳态误差的定义和相关概念 参考输入作用下的稳态误差参考输入作用下的稳态误差

27、扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差 提高系统稳态精度的方法提高系统稳态精度的方法3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算1. 1. 稳态误差的定义和相关概念稳态误差的定义和相关概念误差信号误差信号 中包含瞬态分量中包含瞬态分量 和稳态和稳态分量分量 两部分，由于系统需满足稳定前两部分，由于系统需满足稳定前提，在时间趋于无穷大时，提，在时间趋于无穷大时，瞬态分量趋于瞬态分量趋于零，零，所以所以定义控制系统的稳态误差为误差定义控制系统的稳态误差为误差信号的稳态分量信号的稳态分量)(tess)()(lim sstssetee)(tets)(te3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算1

28、. 1. 稳态误差的定义和相关概念稳态误差的定义和相关概念（1）输入端定义：）输入端定义：误差为输入量与反馈量的差值。误差为输入量与反馈量的差值。)()()(tbtrte 拉斯变换后：拉斯变换后：)()()(sBsRsE 稳态误差为：稳态误差为：)(limteetss )(lim0ssEs （2）输出端定义：）输出端定义：误差为输入量与输出量的差值。误差为输入量与输出量的差值。)()()(tctrte 前者可以测量且具有一定物理意义，后者有时无法测量，前者可以测量且具有一定物理意义，后者有时无法测量，一般只有数学意义。单位反馈时这两种定义是等价的。一般只有数学意义。单位反馈时这两种定义是等价的

29、。例例)(limteetss 单位反馈二阶系统，输入单位阶跃信号时系统响应如图，单位反馈二阶系统，输入单位阶跃信号时系统响应如图，试求系统在单位速度信号作用下的稳态误差。试求系统在单位速度信号作用下的稳态误差。00.13 . 11 . 0t)(tc)(te)(sE)()()(sRsEse 终终值值定定理理例例单位反馈二阶系统，输入单位阶跃信号时系统响应如图，单位反馈二阶系统，输入单位阶跃信号时系统响应如图，试求系统在单位速度信号作用下的稳态误差。试求系统在单位速度信号作用下的稳态误差。00.13 . 11 . 0t)(tcsssGnn 2)(22 %30% 36. 0 stp1 . 0 sra

30、dn/7 .33 )(lim0ssEesss )()(lim0sssRes ssssnns 2111lim2220 )(11)(sGse 021. 0221lim20 nnnsss 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算（3）系统的型别）系统的型别 vnjjvmiisTssKsHsG11)1()1()()( 一般情况下，分子为一般情况下，分子为m阶，分母为阶，分母为n阶系统的开环传递函阶系统的开环传递函数数1. 1. 稳态误差的定义和相关概念稳态误差的定义和相关概念（K 为开环增益）为开环增益）v 为积分环节的个数为积分环节的个数(坐标原点极点重数坐标原点极点重数)v =0 0型系统（零

31、阶无差度系统）型系统（零阶无差度系统）v =1 型系统（一阶无差度系统）型系统（一阶无差度系统）v =2 型系统（二阶无差度系统）型系统（二阶无差度系统）3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算（4）静态误差系数定义）静态误差系数定义)()(lim0sHsGKsp 静态位置误差系数静态位置误差系数1. 1. 稳态误差的定义和相关概念稳态误差的定义和相关概念1 ,0 , vvK vnjjvmiisTssKsHsG11)1()1()()( )()(lim0sHssGKsv 静态速度误差系数静态速度误差系数 2 ,1 ,0 ,0vvvK)()(lim20sHsGsKsa 静态加速度误差系数静态加

32、速度误差系数 3 ,2 ,1 ,0vvvK3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算2. 2. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差静态误差系数法静态误差系数法（1）位置控制信号输入）位置控制信号输入)()(tAUtr sAsR/)( )(lim0ssEesss +-)(sE)(1sG)(2sG)(sR)(sC)(sH)(sN+)(sB)()(lim0sssRes )()()(1)(lim210sHsGsGssRs )()(11)(lim0sHsGssRs 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算2. 2. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差静态误差系数法静态误差系数法（1）位

33、置控制信号输入）位置控制信号输入)()(tAUtr sAsR/)( )(lim0ssEesss )()(11)(lim0sHsGssRs )()(11lim0sHsGsAss )()(lim10sHsGAs pKA 11 ,0 , 0 1 vvKA要求位置控制信号作用时系统无稳态误差，必须选要求位置控制信号作用时系统无稳态误差，必须选择零型以上系统，所以择零型以上系统，所以零型系统还称为有差系统零型系统还称为有差系统。3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算2. 2. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差静态误差系数法静态误差系数法（2）速度控制信号输入）速度控制信号输入)()(tAt

34、Utr 2)(sAsR )(lim0ssEesss )()(11)(lim0sHsGssRs )()(11lim20sHsGsAss )()(lim0sHssGAs vKA 2 ,1 ,0 ,0vvvKA3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算2. 2. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差静态误差系数法静态误差系数法（3）加速度控制信号输入）加速度控制信号输入)()(2tUAttr 32)(sAsR )(lim0ssEesss )()(11)(lim0sHsGssRs )()(112lim30sHsGsAss )()(lim220sHsGsAs aKA2 3 ,2 ,1 ,02vvv

35、KA3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算2. 2. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差静态误差系数法静态误差系数法（4）说明）说明 静态误差系数法静态误差系数法只适用于只适用于输入信号为位置，速度和输入信号为位置，速度和 加速度控制信号的线性组合。加速度控制信号的线性组合。 静态误差系数法静态误差系数法只能计算只能计算时间趋于无穷大时的稳态时间趋于无穷大时的稳态 误差，不能观察误差随时间的变化规律。误差，不能观察误差随时间的变化规律。 求解求解系统静态误差系数和稳态误差，首先要判断系统系统静态误差系数和稳态误差，首先要判断系统 的稳定性。的稳定性。3.4 3.4 稳态误差的计算稳

36、态误差的计算3. 3. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差动态误差系数法动态误差系数法 求稳态误差的求稳态误差的一般方法一般方法和和静态误差系数法静态误差系数法只只能得到系统的终值误差（时间趋于无穷大时的误能得到系统的终值误差（时间趋于无穷大时的误差），差），反映不出其随时间的变化规律反映不出其随时间的变化规律。 对于那些只在对于那些只在有限时间范围内工作有限时间范围内工作的系统，的系统，只需要保证在要求时间内满足精度要求即可。只需要保证在要求时间内满足精度要求即可。用用动态误差系数法可以研究误差的稳态分量随时间动态误差系数法可以研究误差的稳态分量随时间变化的规律。变化的规律。3.4 3

37、.4 稳态误差的计算稳态误差的计算3. 3. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳态误差动态误差系数法动态误差系数法)()()()()()(0210trCtrCtrCtrCteiiiss C i 为动态误差系数，可用长除法获得，分子分母按升幂排列为动态误差系数，可用长除法获得，分子分母按升幂排列 )()()(2210sRsCssRCsRC)()()(ssRsEe 02210)(iiiesCsCsCCs误差传递函数在误差传递函数在s=0进行泰勒级数展开进行泰勒级数展开反变换得反变换得)0(!1)(eiiiC 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算3. 3. 参考输入下的稳态误差参考输入下的稳

38、态误差动态误差系数法动态误差系数法)()()()()()(0210trCtrCtrCtrCteiiiss 对对可采用静态误差系数法求解稳态误差的系统可采用静态误差系数法求解稳态误差的系统，静态误差，静态误差系数和动态误差系数之间在一定条件下存在如下关系：系数和动态误差系数之间在一定条件下存在如下关系：误差传递函数在误差传递函数在 进行泰勒级数展开，对应时域进行泰勒级数展开，对应时域0 s t)(se，所以，该式所以，该式只包含误差信号中的稳态分量只包含误差信号中的稳态分量。pKC 110vKC11 aKC12 0型系统型系统型系统型系统型系统型系统例例单位反馈系统开环传递函数为单位反馈系统开环

39、传递函数为 ，试求系统，试求系统在在 和和 作用下的稳态误差。作用下的稳态误差。TssG1)( 215.0)(ttr )2sin()(2ttr TsTssGse 1)(11)(动态误差系数法动态误差系数法 33221)(sTsTTsTsTsse00 CTC 122TC 33TC ttr )(11)(1 tr21)(TTttess 静态误差系数法静态误差系数法 assKe5.01例例单位反馈系统开环传递函数为单位反馈系统开环传递函数为 ，试求系统，试求系统在在 和和 作用下的稳态误差。作用下的稳态误差。TssG1)( 215.0)(ttr )2sin()(2ttr 动态误差系数法动态误差系数法

40、33221)(sTsTTsTsTsse00 CTC 122TC 33TC )2cos(2)(2ttr )2sin(2)(22ttr )2cos(2)(3)3(2ttr )()()()()()(0210trCtrCtrCtrCteiiiss )2sin()2()2( )2cos()2()2(2)(42532tTTtTTTtess 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差+-)(sE)(1sG)(2sG)(sR)(sC)(sN+ 时由扰动引起的误差时由扰动引起的误差0)( sR)()()(1)()(212sNsGsGsGsEN 1)()(11

41、1vassGKsG 令令2)()(222vassGKsG 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差)()()(1)()(212sNsGsGsGsEN 1)()(111vassGKsG 2)()(222vassGKsG )()()()()(21212121sGsGsKKsGsGsGaavv 系统开环传递函数系统开环传递函数其中其中 ，表示系统的型别，表示系统的型别21vvv 1)0()0(21 aaGG（1）零型系统）零型系统)()(tAUtn sAsN/)( )(lim0ssEeNsssn )(1)()(lim20sGsGssNs 212

42、1KKAK 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差（1）零型系统）零型系统)()(tAUtn 2121KKAKessn )()(tAtUtn ssne)()(2tUAttn ssne若满足若满足 ，则，则121KK1KAessn 在阶跃扰动的作用下，稳态误差绝对值正比于扰动信号幅在阶跃扰动的作用下，稳态误差绝对值正比于扰动信号幅值，与作用点前子系统增益值，与作用点前子系统增益 K1 1 近似成反比近似成反比3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差（2） 型系统型系统)()(tAUt

43、n )()(tAtUtn 0 ssne)()(2tUAttn 11 v02 v)(lim0ssEeNsssn )(1)()(lim20sGsGssNs sKKKssNs21201)(lim ssne1/ KAessn 3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差（2） 型系统型系统)()(tAUtn )()(tAtUtn 1/ KAessn )()(2tUAttn 01 v12 v)(lim0ssEeNsssn )(1)()(lim20sGsGssNs sKKsKssNs21201)(lim ssne ssne3.4 3.4 稳态误差的计算稳

44、态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差（3） 型系统型系统)()(tAUtn )()(tAtUtn 0 ssne)()(2tUAttn 21 v02 v)(lim0ssEeNsssn )(1)()(lim20sGsGssNs 221201)(limsKKKssNs 1/ KAessn 0 ssne3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差（3） 型系统型系统)()(tAUtn )()(tAtUtn 0 ssne)()(2tUAttn 11 v12 v)(lim0ssEeNsssn )(1)()(lim20sGsGs

45、sNs 221201)(limsKKsKssNs 1/ KAessn ssne3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算4. 4. 扰动输入下的稳态误差扰动输入下的稳态误差（3） 型系统型系统)()(tAUtn )()(tAtUtn )()(2tUAttn 01 v22 v)(lim0ssEeNsssn )(1)()(lim20sGsGssNs 2212201)(limsKKsKssNs 1/ KAessn ssne21220)(limKKsKssNs ssne3.4 3.4 稳态误差的计算稳态误差的计算5. 5. 减小或消除稳态误差方法减小或消除稳态误差方法（1） 增大系统开环增益或扰动作

46、用点前子系统的增益，可以增大系统开环增益或扰动作用点前子系统的增益，可以减小稳态误差；减小稳态误差；（2） 在系统前向通道或主反馈通道增加积分环节（提高系统在系统前向通道或主反馈通道增加积分环节（提高系统的型别），可消除特定输入和扰动作用下的稳态误差；的型别），可消除特定输入和扰动作用下的稳态误差；（3） 采用串级控制抑制内回路扰动采用串级控制抑制内回路扰动 （Page 168）；（4） 采用前馈补偿方法，该方法可使系统具有较高的稳态精采用前馈补偿方法，该方法可使系统具有较高的稳态精度，又可有良好动态性能度，又可有良好动态性能 （Page72） ；例例系统结构图如图所示，参考输入和扰动输入都为

47、单位阶系统结构图如图所示，参考输入和扰动输入都为单位阶跃控制信号，试求系统的稳态误差。跃控制信号，试求系统的稳态误差。+-sas41)1(2 )(sR)(sC)(sN+s 11s1s2+-)(lim)(lim00ssEssEeeeNsRsssnssrss )41)(311()1(3212111141)1(2)(sssasssssassG 0 ssre例例系统结构图如图所示，参考输入和扰动输入都为单位阶系统结构图如图所示，参考输入和扰动输入都为单位阶跃控制信号，试求系统的稳态误差。跃控制信号，试求系统的稳态误差。+-sas41)1(2 )(sR)(sC)(sN+s 11s1s2+-)(lim)(

48、lim00ssEssEeeeNsRsssnssrss sssassssNsEN11141)1(21211)()( 5 . 0 ssre)(lim0ssEeNsssn 5 . 0 sse3.5 3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析实际工程中的系统大多数为高阶系统，可用高实际工程中的系统大多数为高阶系统，可用高阶微分方程描述。阶微分方程描述。高阶系统响应的解析表达式高阶系统响应的解析表达式比较复杂，性能指标不容易确定，往往高阶系比较复杂，性能指标不容易确定，往往高阶系统采用统采用主导极点主导极点的概念来近似分析。的概念来近似分析。1. 高阶系统的一般形式高阶系统的一般形式2. 高阶系统的单

49、位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应3. 高阶系统性能的近似分析高阶系统性能的近似分析3.5 3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析1. 高阶系统的一般形式高阶系统的一般形式)()(1)()(sHsGsGs )(sG)(sR)(sC)(sH简化框图简化框图闭环传递函数闭环传递函数01110111asasasabsbsbsbnnnnmmmm qknknkkpjjmiisssszsK12211)2()()( qknknkkpjjmiisTsTsTsK12211)21()1()1( 3.5 3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析2. 高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应)()()(s

50、sRsC qknknkkpjjmiisssszsKs12211)2()()(1 qknknkkkkpjjjssCsBssAsAsC122102)( p 为实数极点数，为实数极点数，q 为共轭复数极点数，若为共轭复数极点数，若 p +2q m，且极点无重根并都位于复平面左半平面，则且极点无重根并都位于复平面左半平面，则反变换反变换 qkknktkpjtsjteDeAAtcnkkj1210)1sin()( 3.5 3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析2. 高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应 系统响应是由若干个一阶系统和二阶系统的时间响系统响应是由若干个一阶系统和二阶系统的时间响应

51、函数组成应函数组成。 qkknktkpjtsjteDeAAtcnkkj1210)1sin()( 系统暂态响应类型取决于极点是实数还是共轭复数。系统暂态响应类型取决于极点是实数还是共轭复数。 离虚轴最近的闭环极点对系统的暂态响应起主导作离虚轴最近的闭环极点对系统的暂态响应起主导作用，称为用，称为闭环主导极点闭环主导极点。主导极点有可能是一对共。主导极点有可能是一对共轭复数极点，也可能是一个实数极点。轭复数极点，也可能是一个实数极点。3.5 3.5 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3. 高阶系统性能的近似分析高阶系统性能的近似分析如果控制系统的闭环主导极点离虚轴的距离小于如果控制系统的闭环主导极点离虚轴的距离小于等于其他闭环极点离虚轴距离的五分之一，而且等于其他闭环极点离虚轴距离的五分之一，而且主导极点的附近没有其他的闭环零点。则该系统主导极点的附近没有其他的闭环零点。则该系统可以降阶近似成一阶或者二阶控制系统。这就是可以降阶近似成一阶或者二阶控制系统。这就是高阶系统的近似分析方法。高阶系统的近似分析方法。根轨迹分