第11讲 真实应力应变关系曲线及平面问题

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第十讲第十讲Lesson Ten李振红李振红Li ZhenhongPhone-Mail： 南京工程学院材料工程系Department of Material Science and Engneering Nanjing Institute of Technology 2021-11-242本节主要内容本节主要内容10.1 等效应力和等效应变等效应力和等效应变10.2 真应力真应力-应变曲线应变曲线（教材第三章第六节）（教材第三章第六节）10.3 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称

2、变形（教材第三章第三节）（教材第三章第三节）2021-11-24310.1.1 等效应力等效应力o 把把s ss看成经过某一变形程度看成经过某一变形程度下的单向应力状态的屈服极下的单向应力状态的屈服极限限,则可称则可称s ss为为变形抗力变形抗力。ABCDe es so 如图所示，拉伸变形到如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到点，然后卸载到D点，如点，如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点时所对应的应力附近（即点C处）发生屈服。这一处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于屈服应力比退火状态的初始屈

3、服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极限，统称为限，统称为金属变形抗力金属变形抗力。 2021-11-244o 若令若令sss22212233112sssssss则金属屈服时有则金属屈服时有则为则为等效应力等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态。，等效于单向拉伸时的应力状态。s2021-11-245o 对于单向拉伸对于单向拉伸sss1时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态sss1时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态同样同样，复杂应力状态

4、时，复杂应力状态时，sss时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态sss时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态2021-11-246o 在一般应力状态下，等效应力为在一般应力状态下，等效应力为 222222231 62xyyzzxxyyzzxIsssssss当材料屈服时有当材料屈服时有 3skss其中其中s ss，为单向应力状态下获得的屈服极限，为单向应力状态下获得的屈服极限 2021-11-24710.1.2 等效应变等效应变o 在简单应力状态下，我们可以得到一条应在简单应力状态下，我们可以得到一条应力力应变关系曲线，若知道了变形程度，则应变关系曲线，若知道了变形程度，则其所对应的应力，从

5、该曲线上也可以得到。其所对应的应力，从该曲线上也可以得到。o 那么可以说，对同一金属在同样的变形温那么可以说，对同一金属在同样的变形温度度变形速度条件下，等效应力取决于变形变形速度条件下，等效应力取决于变形程度。如果这样的话，一般应力状态是否存程度。如果这样的话，一般应力状态是否存在这一应力在这一应力应变关系曲线？应变关系曲线？ 2021-11-248 此式表示的应变增量此式表示的应变增量 就是就是等效应变增量等效应变增量de22212233129dddddddeeeeeee比例加载时，即比例加载时，即 312123ddddeeeeeeee22212233129eeeeeeee为等效应变为等效

6、应变 2021-11-24922212233129dddddddeeeeeee等式两边分别除以变形时间等式两边分别除以变形时间dt，则得到，则得到22212233129eeeeeeee为等效应变速率为等效应变速率 2021-11-241010.1.3 等效应变与等效应力的关系等效应变与等效应力的关系o 由由LevyMises流动法则，流动法则， ijijddse22212233129dddddddeeeeeee代入代入222212233129ddessssss222212233129dssssss2021-11-2411o 得到得到23ddes32ddes或或此式即为等效应变增量此式即为等效应

7、变增量与等效应力的关系与等效应力的关系 则则LevyMises流动法则可以写成流动法则可以写成 32ijijddeess2021-11-2412o 这样，由于引入等效应变增量这样，由于引入等效应变增量 与等效应与等效应力力 ，则本构方程中的比例系数，则本构方程中的比例系数 便可以便可以确定，从而也就可以求出应变增量的具体数确定，从而也就可以求出应变增量的具体数值。值。 desd2021-11-241310.2 曲线曲线变形抗力曲线变形抗力曲线o 不论是一般应力状态还是简单应力状态作出不论是一般应力状态还是简单应力状态作出的应力应变曲线，就是的应力应变曲线，就是 曲线，此曲线曲线，此曲线也叫变形

8、抗力曲线或加工硬化曲线，或真应也叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗力曲线。试验来做金属变形抗力曲线。 eses2021-11-2414真实应力-应变曲线o 延伸率延伸率o 断面收缩率断面收缩率o 对数应变对数应变 000LLLLLke%100FF)1ln(lnln000eLLLLLko 真实应力：真实应力：APs2021-11-2415真实应力-应变曲线的确定o单向拉伸试验单向拉伸试验 最大应变量受塑性失稳限制最大应变量受塑性失稳限制 1.01.0，精确段，精确段0.30.3 需校正形状硬化效应的影

9、响需校正形状硬化效应的影响o单向压缩试验：单向压缩试验： 最大应变量可达最大应变量可达2.02.0或更高或更高 由于摩擦的存在圆柱试样出现鼓形由于摩擦的存在圆柱试样出现鼓形o轧制压缩试验：轧制压缩试验： 适于板料适于板料 试验结果需处理（平面应变压缩试验结果需处理（平面应变压缩单向压缩）单向压缩）2021-11-2416o 单向拉伸单向拉伸 200132321eeesssddd；、1ssss110lnlddleee2021-11-2417o 单向压缩单向压缩 200321213eeesssddd；、3ssss130lnhddheee可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；可见单向应力状态等效

10、应力等于金属变形抗力；等效应变等于绝对值最大主应变。等效应变等于绝对值最大主应变。 2021-11-2418o 平面变形压缩平面变形压缩 02002313213eeessssddd、；、332ssss13022ln33hddheee321.15523ssksss其中其中为平面变形抗力为平面变形抗力2021-11-2419o 薄壁管扭转薄壁管扭转 00231213eeesssddd、；、133sksss112233ddeeee2021-11-2420真实应力-应变曲线的简化sYs2BYssmsBY1snBYo 幂指数硬化曲线幂指数硬化曲线 o 刚塑性硬化曲线刚塑性硬化曲线 o 刚塑性硬化直线刚塑

11、性硬化直线 o 理想塑性直线理想塑性直线 2021-11-2421变形温度对真实应力-应变曲线的影响0.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060801001201401601802000.00.10.20.30.40.50.60.70.80204060

12、80100120140160180200 s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e e s s(MPa)(MPa) e et=800t=850t=900t=950t=1000 s s(MPa)(MPa) e e流动应力随变形温度升高而下降流动应力随变形温度升高而下降硬化程度随温度升高而减小（斜率减小）硬化程度随温度升高而减小（斜率减小）变形速度对真实应力-应变曲线的影响冷变形时：冷变形时： 温度效应显著，影响较小温度效应显著，影响较小热变形时：热变形时： 温度效应小，影响较大温度效应小，影响较大温变形时：温变形时： 影响处于冷变形和

13、热变形中间影响处于冷变形和热变形中间 a)a)冷变形冷变形 b)b)温变形温变形 c)c)热变形热变形2021-11-242410.3 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形o 塑性力学问题共有九个未知数，即六个应力分量和塑性力学问题共有九个未知数，即六个应力分量和三个位移分量。与此对应，则有三个力平衡方程和三个位移分量。与此对应，则有三个力平衡方程和六个应力应变关系方程。虽然可解，但在解析上要六个应力应变关系方程。虽然可解，但在解析上要求出能满足这些方程和给定边界条件的严密解是十求出能满足这些方程和给定边界条件的严密解是十分困难的。然而，如果应力边界条件给定，对于平分困难的。然而，如果应力

14、边界条件给定，对于平面变形问题，静力学可以求出应力分布，而成为静面变形问题，静力学可以求出应力分布，而成为静定问题。对于轴对称问题，引入适当假设，也可以定问题。对于轴对称问题，引入适当假设，也可以静定化。塑性加工问题许多是平面变形问题和轴对静定化。塑性加工问题许多是平面变形问题和轴对称问题，也有许多可以分区简化为平面变形问题来称问题，也有许多可以分区简化为平面变形问题来处理。处理。 2021-11-242510.3.1 平面应力平面应力o 变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并且所有的应力分量与该轴无关，这种在，并且所有的应力分量与该轴无关，这种应力

15、状态即为应力状态即为平面应力状态平面应力状态 o 工程实际中，薄壁管扭工程实际中，薄壁管扭转、薄壁容器承受内压、转、薄壁容器承受内压、板料成形中的一些工序，板料成形中的一些工序，厚度方向的应力很小，厚度方向的应力很小，可简化为平面应力状态可简化为平面应力状态2021-11-2426例题一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ） 2022zp rprrttsss202p rprttsps0s（在内表面）（在外表面）1prtss3pss或022zprtssP2rtzspszsPss2021-11-2427o 应力特点

16、应力特点 假设与假设与z z轴垂直的平面上没有应力作用：轴垂直的平面上没有应力作用：00zxzyzs，yxfij,s0zs0ze 平面应力状态：平面应力状态：而而1s2s2021-11-2428o 主应力o 主切应力2021-11-2429o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys0zyxzyyxys0zyxzyzxzs0zyxzxyxxs2021-11-24302021-11-2431o 主切应力平面上的正应力为零主切应力平面上的正应力为零o 主切应力在数值上等于正应力主切应力在数值上等于正应力2021-11-243210.3.2 平面应变平面应变o 变形体内所有质点只在

17、同一个坐标平面之内变形体内所有质点只在同一个坐标平面之内变形，在该平面的法线方向上没有变形，这变形，在该平面的法线方向上没有变形，这种变形称为种变形称为平面变形或平面应变平面变形或平面应变 2021-11-2433o 应力特点应力特点 21301122zxzyzmxysssssss，yxfij,s0zeyxzsss210zs0ze平面应变状态：平面应变状态：而而 平面应力状态：平面应力状态：而而1s)(21312sss3s2021-11-2434平面应变状态的应力偏张量是纯剪切应力状态平面应变状态的应力偏张量是纯剪切应力状态2021-11-24351s)(21312sss3s2021-11-2

18、436平面应变状态的应力张量是纯切应力张量叠加球应力张量平面应变状态的应力张量是纯切应力张量叠加球应力张量2021-11-2437o 应变特点应变特点 0zzxzydddeyxddee31ee02e3e2021-11-2438o 几何方程几何方程 xxuxeyyuye12yxxyuuyxxuxxexuyuyxxy21eyuyyeyuzuzyyz21ezuzzezuxuxzzx21eiujujiij21e或或2021-11-2439o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys2021-11-2440o 屈服条件屈服条件o 本构方程本构方程 222222441.1553xyxys

19、sksssseseseddddxyxyyyxx2021-11-244110.3.3 轴对称变形轴对称变形o 变形体为旋转体，旋转体承受的外力对称于变形体为旋转体，旋转体承受的外力对称于旋转轴分布，变形体内质点的应力状态即为旋转轴分布，变形体内质点的应力状态即为轴对称应力状态轴对称应力状态 2021-11-2442o 应力特点应力特点o 应变特点应变特点 ,ijfzs0 z rss变形均匀时有变形均匀时有 0z 2021-11-2443o 几何方程几何方程 uezzuzeue12zzruuze2021-11-2444o 力平衡微分方程力平衡微分方程 0zzsss0zzzzs2021-11-244

20、5o 屈服条件屈服条件o 本构方程本构方程 222222626kszrrzzrsssssss2223srzzrsss变形均匀时变形均匀时 esesesedddddzrzrzzrr2021-11-2446金属塑性成形原理金属塑性成形原理力学部分主要内容力学部分主要内容o 应力状态分析应力状态分析o 应变状态分析应变状态分析o 变形力学方程变形力学方程o 滑移线场理论滑移线场理论o 主应力法主应力法o 上界法上界法o 有限元法有限元法塑性加工力学塑性加工力学基础部分基础部分塑性加工力学问题塑性加工力学问题求解方法部分求解方法部分2021-11-2447一点应力张量一点应力张量 zyzxzzyyxy

21、zxyxxs s s s s sx面面y面面z面面x方向方向y方向方向z方向方向2021-11-2448切应力互等定理切应力互等定理zxxzzyyzyxxy2021-11-2449o 通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素体素 2021-11-2450斜面上任一点应力状态斜面上任一点应力状态zxyos sxs s ys sz xy yz yx xz zy zxSnnSnxSnySnzs sn nBACds2021-11-2

22、451全应力在各坐标轴上的分量全应力在各坐标轴上的分量o 全应力分量方程全应力分量方程o 用矩阵表示为用矩阵表示为nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxsssnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynxsss（）2021-11-2452斜微分面上的正应力、切应力o 把微分斜面上的合应力把微分斜面上的合应力Sn，向法线，向法线n方向投影，便可求出方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到法线分别投影到法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即上，也同样得到微分斜面上的正应力，即 o 将将Snx、Sny、Snz带入上式得带入上式得o 微分面上的剪应力为微分面上的剪应力为nSmSlSnznynxnsnlmnlmnmlzxyzxyzyxnssss222222222nnnSs2021-11-2453o 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由力为零，则由可得可得而而所以所以nlmnlmnmlzxyzxyzyxnssss222222232221nmlnsss