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1、学习必备精品知识点整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编同底数幂的乘法【知识盘点】若 m 、 n均为正整数, 则 am an=_, 即同底数幂相乘, 底数 _, 指数 _【应用拓展】1计算:(1)64( 6)5(2) a4( a)4 (3) x5x3 ( x)4(4) (xy)5 (xy)6 (xy)7 2计算:(1) ( b)2 ( b)3+b ( b)4(2)aa6+a2 a5+a3a4 (3)x3m nx2m 3nxnm(4) ( 2) ( 2)2 ( 2)3(2)100 7已知 ax=2,ay=3,求 ax+y的值8已知 42a2a+1=29,且 2a+b=8,求 ab的值积的乘方【知识
2、盘点】积的乘方法则用字母表示就是:当n 为正整数时, (ab)n=_【应用拓展】1计算:(1) ( 2103)3(2) (x2)nxmn(3)a2 ( a)2 ( 2a2)3(4) ( 2a4)3+a6a6(5) (2xy2)2( 3xy2)2 2先完成以下填空:(1)2656=()6=10( )(2)4102510=()10=10( )你能借鉴以上方法计算下列各题吗?(3) ( 8)100.12510(4)0.25200742006(5) ( 9)5 (23)5 (13)5 3已知 xn=2,yn=3,求( x2y)2n的值4一个立方体棱长为2103厘米,求它的表面积(结果用科学记数法表示)
3、【综合提高】10观察下列等式: 13=12; 13+23=32; 13+23+33=62; 13+23+33+43=102;(1)请你写出第5 个式子: _ (2)请你写出第10 个式子: _ (3)你能用字母表示所发现的规律吗?试一试! 幂的乘方【知识盘点】若 m 、n 均为正整数,则(am)n=_,即幂的乘方,底数_,指数 _【应用拓展】1计算:(1) (y2a+1)2(2) ( 5)3 4( 54)3(3) (ab) (ab)2 5 2计算:(1) ( a2)5aa11(2) (x6)2+x10 x2+2 ( x)3 4 8用幂的形式表示结果:(1) (23)2=_;(22)3=_;(2
4、) (35)7=_;(37)5=_;(3) (53)4=_;(54)3=_你发现了什么规律?用式子表示出来同底数幂的除法知识点:1. 同底数幂相除,底数不变,指数相减:底数 a 可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式。强调 a0 的必要性2、a0=1(a 0)练习:一、填空题1. 计算:26aa= ,25)()(aa= . 2. 在横线上填入适当的代数式:146_xx,26_xx. 3. 计算:559xxx = ,)(355xxx = 4. 计算:89)1()1(aa= . 5. 计算:23)()(mnnm_二、解答题1. 计算:1、24)()(xyxy; 2、2252)()(abab;3
5、、24)32()32(yxyx; 4 、347)34()34()34(. 2. 计算:1、3459)(aaa; 2、347)()()(aaa; 3 、533248; 4、233234)()()()(xxxx. 3. 地球上的所有植物每年能提供人类大约16106 .6大卡的能量, 若每人每年要消耗5108大卡的植物能量,试问地球能养活多少人?4. 观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,则 89的个位数字是()a.2 ; b4; c8; d6. 5. 如果8mx,5nx,则nmx= . 6. 解方程:( 1)15822x;(2)
6、5)7(7x. 7. 已知3,9mnaa, 求32mna的值 . 8. 已知235,310mn, 求(1)9m n;(2)29mn. 零指数幂与负整数指数幂知识点:1、零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1. 零的零次幂没有意义! ”50=1,100=1, a0=1(a 0): 2. 负整数指数幂任何不等于零的数的n (n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数 . 例题 (1)3-2(2)101031计算:(1) (-0.1 )0; ( 2)020031; (3) 2-2; (4)221. 知识点:科学记数法科学计数法 :把一个数记作a10n形式(其中1 a 10,n 为正整数。)将一
7、个数用科学计数法表示的时候,10 的指数比原数的整数位数少1,例如原数有 6 位,则 10 的指数为5。确定 a 值的时候,一定要注意a 的范围 1 a 10。将一个用科学计数法表示的数写出原数的时候,10n=100 0(共有 n 个 0)即a10n= a 100 0(共有 n 个 0)1、3.65 10175是位数, 0.12 1010是位数;2、把 3900000 用科学记数法表示为,把 1020000 用科学记数法表示为;3、用科学记数法记出的数5.16 104的原数是,2.236 108的原数是;4、比较大小:3.01 104 9.5103;3.01 104 3.10 104;5、地球
8、的赤道半径是6371 千米,用科学记数法记为千米22、已知 a、b 互为相反数, c、d 互为倒数,12x,2y,求22007)(ycdxba的值 . (4 分)23、已知 a、b 互为相反数, c、d 互为倒数, m的绝对值为2,求)21()()(21mmcdbaba的值 . (4 分)24、若2010a,1510b求ba239的值 . (4 分)单项式的乘法0mnm naaam nmna、 是正整数,且,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点知识点一、单项式与单项式
9、相乘单项式相乘,把它们的系数 相乘,字母部分的同底数幂分别相乘 ,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。基础巩固1. ( 2a4b2)( 3a)2的结果是 ( ) a.18a6b2b.18a6b2c.6a5b2 d.6a5b22. 若(am+1bn+2)(a2n1b2m)=a5b3, 则m+n等于 ( ) a.1 b.2 c.3 d.3 3. 式子 ( )(3a2b)=12a5b2c成立时,括号内应填上( ) a.4a3bc b.36a3bcc.4a3bc d.36a3bc4. 下面的计算正确的是( ) aa2a4a8 b( 2a2)3 6a6 c(an1)2a2n1
10、danaan1a2n5. 3x3y2x2y2am 1a2m6. 3x3y( 5x3y2)=_ (32a2b3c) (49ab)=_ 5108(3102)=_ 3xy( 2x)3( 41y2)2=_ ym 13y2m1=_ 4m(m2+3n+1)=_; ( 23y22y 5) ( 2y)=_ 5x3( x2+2x1)=_; 7. 计算:(1)(2xy2) (31xy); (2)(2a2b3) ( 3a); (3)(4 105) (5 104); (4)(3a2b3)2( a3b2)5; (5)( 32a2bc3) ( 43c5) (31ab2c) 8. 计算:(1)2ab(5ab2+3a2b)
11、(2)(32ab22ab) 21ab(3) 6x(x3y) (4)2a2(21ab+b2). 能力拓展9. 2x2y(213xy+y3) 的计算结果是 ( ) a.2x2y4 6x3y2+x2y b. x2y+2x2y4c.2x2y4+x2y 6x3y2 d.6x3y2+2x2y410下列计算中正确的是( ) a.3b2 2b3=6b6 b.(2104) ( 6102)= 1.2 106c.5x2y( 2xy2)2=20 x4y5 d.(am +1)2( a)2m=a4m +2(m为正整数 ) 11计算 4m(m2+3n+1)=_;( 23y22y5) ( 2y)=_; 5x3( x2+2x1
12、)=_. 12式子 ( )(3a2b)=12a5b2c成立时,括号内应填上的代数式是。13. ( 教材课内练习第3 题变式 ) 计算:(1)(a2b3c)2(2a3b2c4) (2)(32ab22ab+34b)( 21ab) (3)( 34a2n+1bn1)( 2.25an 2bn+1) 14.( 一题多解 ) 已知ab2= 6, 求ab(a2b5ab3b) 的值 . 25、 (4 分) (1)据统计,全球每分钟约有8500000 t 污水排入江河湖海,这个排污量用科学记数法表示应为多少?( 2)自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一门新学科,这就是“纳米技术” .已知 52 个纳米长为0
13、. 000000052 m ,用科学记数法表示此数为多少米?多项式乘多项式知识点 :多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘 另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。练习一、选择题1.计算 (2a3b)(2a3b) 的正确结果是 ( ) a4a2 9b2b4a29b2c4a212ab9b2 d 4a212ab 9b22.若(xa)(xb) x2kxab,则k的值为 ( ) aabb abcabdba3.计算 (2x3y)(4x2 6xy9y2) 的正确结果是 ( ) a(2x3y)2b (2x3y)2c 8x327y3d8x327y34.(x2px3)(xq) 的乘积中不含x2项,则
14、( ) apqb pqc pqd无法确定5.若 0 x1,那么代数式 (1 x)(2 x) 的值是 ( ) a一定为正b 一定为负c 一定为非负数d不能确定6.计算 (a22)(a42a24) (a22)(a42a24)的正确结果是( ) a2(a22) b2(a22) c2a3d 2a67.方程 (x4)(x5) x220 的解是 ( ) ax0 bx 4 c x5 d x40 8.若 2x25x1a(x 1)2b(x1) c,那么a,b,c应为 ( ) aa2,b 2,c 1 ba2,b2,c 1 ca2,b1,c 2 da2,b 1,c2 9.若 6x219x 15(axb)(cxd)
15、,则acbd等于 ( ) a36 b 15 c 19 d 21 10.(x1)(x1) 与(x4x21)的积是 ( ) ax61 bx62x3 1 c x61 dx62x31 二、填空题1.(3x 1)(4x 5)_2.( 4xy)( 5x2y) _3.(x3)(x4) (x1)(x2) _4.(y1)(y2)(y3) _5.(x33x24x1)(x22x3) 的展开式中,x4的系数是 _6.若(xa)(x 2)x25xb,则a_,b _7.若a2a1 2,则 (5 a)(6 a) _8.当k_时,多项式x1 与 2kx的乘积不含一次项9.若(x2ax8)(x2 3xb) 的乘积中不含x2和x
16、3项,则a_,b_10.如果三角形的底边为(3a2b) , 高为 (9a26ab4b2) , 则面积 _三、解答题1、计算下列各式(1)(2x3y)(3x 2y) (2)(x2)(x3)(x6)(x1) (3)(3x22x 1)(2x2 3x1) (4)(3x2y)(2x3y) (x3y)(3x4y) 2、求 (ab)2(ab)24ab的值,其中a2009,b20103、求值: 2(2x1)(2x1) 5x( x3y) 4x( 4x252y) ,其中x 1,y 24、解方程组(x1)(2y1)2(x1)(y1)x(2 y) 6y(x4)四、探究创新乐园1、若 (x2axb)(2x2 3x1)的
17、积中,x3的系数为 5,x2的系数为 6,求a,b2、根据 (xa)(xb) x2(ab)xab,直接计算下列题(1)(x4)(x9) (2)(xy8a)(xy2a). 五、数学生活实践一块长acm ,宽bcm的玻璃,长、宽各裁掉1cm后恰好能铺盖一张办公桌台面( 玻璃与台面一样大小) ,问台面面积是多少? 六、思考题:请你来计算:若1xx2x3 0,求xx2x3x2012的值乘法公式的复习一、复习 : (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3归纳小结
18、公式的变式,准确灵活运用公式: 位置变化, x yy xx2y2 符号变化,x yx yx2y2 x2y2 指数变化, x2y2x2y2x4y4 系数变化, 2a b 2a b4a2b2 换式变化, xyz m xyz mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2 增项变化, x y z x y zx y2z2x y x yz2x2xy xy y2z2x22xy y2z2 连用公式变化,x y x y x2y2x2y2x2y2x4y4 逆用公式变化,x y z2x y z2x y zx y zx y zx y z2x2y 2z4xy 4xz例 1已
19、知2ba,1ab,求22ba的值。例 2已知8ba,2ab,求2)(ba的值。例 3:计算 19992-20001998 例 4:已知 a+b=2,ab=1,求 a2+b2和(a-b)2的值。例 5:已知 x-y=2 ,y-z=2 ,x+z=14。求 x2-z2的值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点例 6:判断( 2+1) (22+1) (24+1)( 22048+1)+1的个位数字是几?例 7运用公式简便计算(1)1032(2)1982例 8计算(1) a 4b
20、 3c a 4b 3c(2) 3x y 2 3x y 2例 9解下列各式(1)已知a2b213,ab 6,求 a b2,a b2的值。(2)已知 a b27, a b24,求 a2b2,ab 的值。(3)已知 a a 1a2b2,求222abab的值。(4)已知13xx,求441xx的值。例 10 四个连续自然数的乘积加上1, 一定是平方数吗?为什么?。例 11计算(1) x2x 12(2) 3m n p2二、乘法公式的用法( 一) 、套用 :例 1. 计算:53532222xyxy( 二) 、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2. 计算:111124a aaa例 3. 计
21、算: 32513251xyzxyz三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。例 4. 计算:57857822abcabc四、变用 : 题目变形后运用公式解题。例 5. 计算:xyz xyz26五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:12223244222222222222.abababababababababababab灵活运用这些公式, 往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。例 6. 已知 abab45,求ab22的值。例
22、 7. 计算:abcdbcda22例 8. 已知实数x、y、z 满足xyzxyy592,那么xyz23()三、学习乘法公式应注意的问题(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5) 例 2 计算 (- a2+4b)2(二)、注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2x+y- z+5)(2 x- y+z+5)例 4 计算( a-1)2( a2+a+1)2( a6+a3+1)2例 5 计算 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(三)、注意公式的推广计算多项式的平方,由 (a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:( a+b+c)2=a2+
23、b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的 2 倍例 6 计算 (2x+y-3)2下列各题,难不倒你吧?!1、若 a+a1=5,求( 1)a2+21a, (2) (aa1)2的值2、求( 2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1)+1 的末位数字五、乘法公式应用的五个层次乘法公式: (ab)(a b)=a2b2,(ab)=a22abb2,(a b)(a2abb2)=a3b3第一层次正用即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用例 1 计算(2)( 2xy)(2x y) 第二层次逆用,
24、即将这些公式反过来进行逆向使用例 2 计算(1)199821998399419972;第三层次活用:根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式例 3 化简: (21)(221)(241)(281) 1例 4 计算: (2x 3y1)( 2x3y5) 第四层次变用:解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式, 如 a2b2=(ab)22ab,a3b3=(ab)33ab(ab)等,则求解十分简单、明快例 5 已知 ab=9,ab=14,求 2a22b2和 a3b3的值第五层次综合后用:将(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2综
25、合,可得 (a b)2(a b)2=2(a2b2) ;(ab)2(a b)2=4ab;等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷例 6 计算: (2x yz5)(2x yz5)因式分解的常用方法一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:(1)(a+b)(a -b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a -b) ;(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(a b)2;精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -
26、 - - 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ;(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ;例.已知abc, ,是abc的三边,且222abcabbcca,则abc的形状是()a.直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形
27、d 等腰直角三角形三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式例 1、分解因式:bnbmanam解:原式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式!=)(banm例 2、分解因式:bxbyayax5102解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。第二、三项为一组。解:原式 =)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习:分解因式1、bcacaba22、1yxxy(二)分组后能直接运用公式例 3、分解因式:aya
28、xyx22例 4、分解因式:2222cbaba练习:分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222综合练习:(1)3223yxyyxx(2)baaxbxbxax22(3)181696222aayxyx(4)abbaba4912622(5)92234aaa(6)ybxbyaxa222244(7)222yyzxzxyx( 8)122222abbbaa(9))1)(1()2(mmyy(10))2()(abbcaca(11)abcbaccabcba2)()()(222( 12)abccba3333四、十字相乘法. (一)二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解
29、。特点: (1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考:十字相乘有什么基本规律?例. 已知0a5,且a为整数,若223xxa能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.解 析 : 凡 是 能 十 字 相 乘 的 二 次 三 项式ax2+bx+c , 都 要 求24bac0 而且是一个完全平方数。于是98a为完全平方数,1a例 5、分解因式:652xx分析:将6 分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由于 6=23=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6),从中可以发现只有23 的分解适合,即2+3=5。1 2 解:652xx=32)32(2x
30、x1 3 =)3)(2(xx12+13=5 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数例 6、分解因式:672xx解:原式 =)6)(1()6()1(2xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 (-1)+(-6)= -7 练习 5、分解因式 (1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习 6、分解因式 (1)22xx(2)1522yy(3)24102xx(二)二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件: (1)21aaa1a1c(2)21ccc2a2c(3)1221cacab1221cacab分解结果:cbxax2=)(2211cxacxa例 7、分解因式:101132xx分析:1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11 练习 7、分解因式: (1)6752xx(2)2732xx(3)317102xx(4)101162yy(三)二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式:221288baba分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba(四)二次项系数不为1
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