2022年数学练习题考试题高考题教案最新普通高等学校招生全国统一考试数学卷

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）本试卷分第i 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第i 卷 1 至 2 页，第卷3 至9 页，共 150 分。考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 i 卷（选择题共 40 分）注意事项：1答第 i 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2b铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出

2、符合题目要求的一项。1 在复平面内， 复数(12 )zii对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【答案】 b 【解析】 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系. 属于基础知识的考查. (12 )22ziiiii，复数z所对应的点为2,1，故选 b. 2 已知向量 a、 b不共线，ckab(kr), dab, 如果 c/d， 那么（）a1k且 c 与 d同向b1k且 c 与 d 反向c1k且 c与 d 同向d1k且 c与 d 反向【答案】 d 【解析】 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取 a1,0，b0,1，若1k，则 c

3、ab1,1，dab1, 1，显然， a 与 b不平行，排除a、 b. 若1k，则 cab1,1，dab1,1，即 c/d 且 c 与 d 反向，排除c，故选 d.3 为了得到函数3lg10 xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点（）a向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度b向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度c向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度d向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度【答案】 c 【解析】 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

4、- - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -alg31lg103yxx，blg31lg103yxx，c3lg31lg10 xyx，d3lg31lg10 xyx. 故应选 c. 4若正四棱柱1111abcdabc d的底面边长为1，1ab与底面abcd成 60角，则11ac到底面abcd的距离为（）a33b1 c2d3【答案】 d 【解析】 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第 4 题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，160b ab，如图，11 tan603bb，故选 d. 5“2 ()6k k z” 是

5、“1c o s 22” 的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【答案】 a 【解析】 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当2()6kkz时，1cos2cos 4cos332k，反之，当1cos22时，有2236kkkz，或2236kkkz，故应选a . 6若5(12)2( ,aba b为有理数），则ab（）a 45 b55 c70 d80 【答案】 c 【解析】 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

6、- - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -501234501234555555512222222cccccc15 22020 2204 24129 2，由已知，得4129 22ab，412970ab. 故选 c. 7 用 0 到 9 这 10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）a 324 b328 c360 d648 【答案】 b 【解析】 本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当0 排在末位时，有299 872a（个），当 0 不排在末位时，有1114884 8

7、 8256aaa（个） ，于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个） . 故选 b. 8点p在直线:1lyx上，若存在过p的直线交抛物线2yx于,a b两点，且|paab， 则称点p为 “点” ， 那么下列结论中正确的是（）a直线l上的所有点都是“点”b直线l上仅有有限个点是“点”c直线l上的所有点都不是“点”d直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】 a 【解析】 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力, 考查学生分析问题和解决问题的能力 . 属于创新题型 . 本题采作数形结合法易于求解，如图，设,1a m np x x，则2,22bmxnx，2

8、,a byx在上，2221(2)nmnxmx（第 8 题解答图）消去 n,整理得关于x的方程22(41)210 xmxm（1）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -222(41)4(21)8850mmmm恒成立，方程（ 1）恒有实数解，应选a. 2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）第卷（共 110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分15 16 17 18 19 20 分数二、填空题：本大题

9、共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。91lim1xxxxx_. 【答案】12【解析】 本题主要考极限的基本运算，其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. 2111111limlimlimlim121111xxxxxxxxxx xxxxxxxx，故应填12. 10若实数, x y满足2045xyxy则syx的最小值为 _. 【答案】6【解析】 本题主要考查线性规划方面的基础知 . 属于基础知识、基本运算的考查 . 如图，当4,2xy时，246syx为最小值 . 故应填6.（第 10 题解答图）精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

10、 - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -11设( )f x是偶函数，若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线的斜率为1，则该曲线在( 1,( 1)f处的切线的斜率为_. 【答案】1【解析】 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查 . 取2fxx，如图，采用数形结合法，易得该曲线在( 1,( 1)f处的切线的斜率为1. 故应填1.12椭圆22192xy的焦点为12,f f，点p在椭圆上，若1|4pf，则2|pf_；12f pf的小大为 _. （第 11 题解答图）【答案】2, 120【解析】 本

11、题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. 229,3ab，22927cab，122 7f f，又1124,26pfpfpfa，（第 12 题解答图）22pf，又由余弦定理，得22212242 71cos2242f pf，12120f pf，故应填2, 120.13若函数1,0( )1( ) ,03xxxf xx则不等式1|( ) |3fx的解集为 _. 【答案】3,1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -【解析】 本题主要考查

12、分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、 基本运算的考查. （1）由01|( )|301133xf xxx.（2）由001|( )|01111133333xxxxf xx. 不等式1|( ) |3f x的解集为| 31xx，应填3,1. 14已知数列na满足：434121,0,n ,nnnnaaaa n则2009a_；2014a=_. 【答案】 1，0 【解析】 本题主要考查周期数列等基础知识. 属于创新题型 . 依题意，得20094 503 31aa，20142 100710074 252 10aaaa. 应填 1，0. 三 、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说

13、明，演算步骤或证明过程。15 （本小题共13 分）在abc中，角,a b c的对边分别为, , ,3a b c b，4cos,35ab.（）求sin c的值；（）求abc的面积 . 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力（） a、 b、c 为 abc 的内角，且4,cos35ba，23,sin35caa，23134 3sinsincossin32210caaa.（）由（）知334 3sin,sin510ac，又,33bb，在 abc 中，由正弦定理，得sin6sin5baab. abc 的面积11634 3369 3sin

14、32251050sabc.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -16 （本小题共14 分）如图，在三棱锥pabc中，pa底面,60 ,90abc paababcbca，点d，e分别在棱,pb pc上，且/debc（）求证：bc平面pac；（）当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成的角的大小；（）是否存在点e使得二面角adep为直二面角？并说明理由. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（） pa底面

15、abc ， pabc. 又90bca， ac bc. bc平面 pac. （） d 为 pb 的中点， de/bc ，12debc，又由（）知，bc平面 pac，de平面 pac，垂足为点e. dae 是 ad 与平面 pac 所成的角，pa底面 abc ， paab ，又 pa=a b， abp 为等腰直角三角形，12adab，在 rtabc 中，60abc，12bcab. 在 rtade 中，2sin24debcdaeadad，ad与平面pac所成的角的大小2arcsin4. （） ae/bc，又由（）知，bc平面 pac， de平面 pac，又 ae平面 pac，pe平面 pac， de

16、ae，depe， aep 为二面角adep的平面角， pa底面 abc ， paac，90pac.在棱 pc 上存在一点e，使得 aepc，这时90aep，故存在点e 使得二面角adep是直二面角 . 【解法 2】 如图，以 a 为原煤点建立空间直角坐标系axyz，设paa，由已知可得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -1330,0,0 ,0,0,0 ,0,0,222abaacapa. （）10,0,0,02apabca，0bc ap， bcap. 又90bca， bcac ， bc

17、平面 pac. （） d 为 pb 的中点， de/bc ， e 为 pc 的中点，13131,0,44242daaaeaa，又由（）知，bc平面 pac， de平面 pac，垂足为点e. dae 是 ad 与平面 pac 所成的角，13131,0,44242adaaaaeaa，14cos4ad aedaeadae. ad与平面pac所成的角的大小14arccos4. （）同解法1. 17 （本小题共13 分）某学生在上学路上要经过4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概

18、率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件a，因为事件a 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件a 的概率为11141133327p a. （）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6， 8（单位： min） .事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4） ，精品学习资料 可选择p d f -

19、 - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -441220,1,2,3,433kkkpkck，即的分布列是0 2 4 6 8 p16813281827881181的期望是163288180246881812781813e.18 （本小题共13 分）设函数( )(0)kxf xxek（）求曲线( )yfx在点(0,(0)f处的切线方程；（）求函数( )fx的单调区间；（）若函数( )fx在区间( 1,1)内单调递增，求k的取值范围 . 【解析】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问

20、题的能力（）1,01,00kxfxkx eff, 曲线( )yfx在点(0,(0)f处的切线方程为yx. （）由10kxfxkx e，得10 xkk，若0k，则当1,xk时，0fx，函数fx单调递减，当1,xk时，0fx，函数fx单调递增，若0k，则当1,xk时，0fx，函数fx单调递增，当1,xk时，0fx，函数fx单调递减，（）由（）知，若0k，则当且仅当11k，即1k时，函数fx1,1内单调递增，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -若0k，则当且仅当11k，即1k时，函数fx1

21、,1内单调递增，综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k的取值范围是1,00,1. 19 （本小题共14 分）已知双曲线2222:1(0,0)xycabab的离心率为3，右准线方程为33x（）求双曲线c的方程；（）设直线l是圆22:2o xy上动点0000(,)(0)p xyx y处的切线，l与双曲线c交于不同的两点,a b，证明aob的大小为定值.【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得2333acca，解得1,3ac，2222bca，所求双曲线c的方程为2212yx. （）点0000,0

22、p xyx y在圆222xy上，圆在点00,p xy处的切线方程为0000 xyyxxy，化简得002x xy y.由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx，切线l与双曲线c 交于不同的两点a、b，且2002x，20340 x，且222000164 34820 xxx，设 a、b 两点的坐标分别为1122,xyxy，则20012122200482,3434xxxxx xxx，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -cosoa obaobo

23、aob，且121212010220122oa obx xy yx xx xx xy，212012012201422x xxxxx x xx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxx. aob的大小为90. 【解法 2】 （）同解法1. （）点0000,0p xyx y在圆222xy上，圆在点00,p xy处的切线方程为0000 xyyxxy，化简得002x xy y. 由2200122yxx xy y及22002xy得222000344820 xxx xx222000348820 xyy xx切线l与双曲线 c 交于不

24、同的两点a、b，且2002x，20340 x，设 a、b 两点的坐标分别为1122,xyxy，则2200121222008228,3434xxx xy yxx，12120oa obx xy y，aob的大小为90. （22002xy且000 x y，220002,02xy，从而当20340 x时，方程和方程的判别式均大于零）. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -20 （本小题共13 分）已知数集1212,1,2nnaa aaaaan具有性质p；对任意的,1i jijn，ija a与jiaa两数中至少有一个属于a.（）分别判断数集1,3