集合与常用逻辑用语复习教案

1、第一节第一节集合集合考纲下载考纲下载1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集7能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算一、必备知识1元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合与元素的关系：若 a 属于集合 A，记作 aA；若 b 不属于集合 A，记作 bA(3)集合的表示方法：列举

2、法、描述法、图示法(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 NZQR2.集合间的基本关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素AB 或 BA真子集集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 AAB 或 BA相等集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素AB 且BAAB空集空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集B 且 B表示关系3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为 U，则集合 A 的补集为UA图形表示意义x|

3、xA，或 xBx|xA，且 xBUAx|xU，且xA二、必记结论1ABABA，ABAAB.2AAA，A.3AAA，AA.4AUA，AUAU，U(UA)A.5ABABAABBUAUBA(UB).6若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集个数为 2n1，非空真子集个数为 2n2.一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若集合 Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，则 A，B，C 表示同一个集合()(2)若 a 在集合 A 中，则可用符号表示为 aA.()(3)1，2，33，2，1()(4)0.()(5)对于任意两个集合 A，B，关系(AB

4、)(AB)总成立()(6)若 ABAC，则 BC.()提示：(1)错误A 是函数 yx2的定义域，即 AR；B 是函数 yx2的值域，即 By|y0；C 是抛物线 yx2上的点组成的集合(2)错误元素与集合间的关系为“”或“ ”，a 在集合 A 中，可用符号表示为 aA.(3)正确集合中元素的无序性的体现(4)错误 是空集，不含有任何元素；而0是含有一个元素 0 的单元素集合(5)正确借助 Venn 图可知，(AB)(AB)总是成立(6)错误若 A ，或 AB 且 AC 时，原题关系也成立，而集合 B 与 C 不一定相等答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、牛刀小试1(2014北京高考

5、)已知集合 Ax|x22x0，B0，1，2，则 AB()A0B0，1C0，2D0，1，2解析：选 CAx|x22x00，2，B0，1，2，AB0，2，故选 C.2(2014新课标全国卷 )已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB()A2，1B1，2)C1，1D1，2)解析：选 AAx|x1 或 x3，故 AB2，1，选 A.3(2014辽宁高考)已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0 x1Dx|0 x1解析：选 DABx|x0 或 x1，所以U(AB)x|0 x1故选 D.4设 A1，1，5，Ba2，a24，AB5，则实数 a 的值

6、为()A3B1C1D1 或 3解析：选 D因为 AB5，所以 a25 或 a245.当 a25 时，a3；当 a245 时，a1，又 a1 时，B1，5，而此时 AB1，55，故 a1 或 3.5设集合 Ax|x22x80，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为_解析： 阴影部分是 ARB.集合 Ax|4x2， RBx|x1， 所以 ARBx|1x2答案：x|1x2考点一集合的基本概念例 1(1)设集合 A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则 M 中元素的个数为()A3B4C5D6(2)若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则 a()A.92B.98C0D0 或98听前试

7、做(1)由题意可知，集合 M5，6，7，8，因此共 4 个元素(2)若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根当 a0 时，x23，符合题意；当 a0 时，由(3)28a0 得 a98，所以 a 的值为 0 或98.答案：(1)B(2)D方法规律解决集合的概念问题应关注两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性1设 a，bR，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba()A1B1C2D2解析：选 C因为1，a

8、b，a0，ba，b，a0，所以 ab0，即ba1，所以 a1，b1.所以 ba2.2设集合 A2，3，a22a3，集合 B|a3|，2，已知 5A，且 5 B，则 a 的值为_解析：由于 5A，且 A2，3，a22a3，a22a35，解得 a2 或 a4.当 a2 时，B5，2，不符合条件 5 B，a2 不符合题意，应舍去；当 a4 时，B1，2，符合条件 5 B，a4.答案：4考点二集合间的基本关系题根迁移 多维探究例 2(1)已知集合 Ax|y1x2，xR，Bx|xm2，mA，则()AABBBACABDBA(2)已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围为

9、_听前试做(1)由题意知 Ax|y 1x2，xR，Ax|1x1，Bx|xm2，mAx|0 x1，BA，故选 B.(2)BA，若 B ，则 2m1m1，此时 m2.若 B ，则2m1m1，m12，2m15.解得 2m3.由、可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m3.答案：(1)B(2)(，3探究 1在本例(2)中，若 AB，如何求解？解：若 AB，则m12，2m15，即m3，m3.所以 m 的取值范围为 .探究 2若将本例(2)中的集合 A 改为 Ax|x5，如何求解？解：BA，当 B 时，即 2m1m1 时，m4或m2，m4.综上可知，实数 m 的取值范围为(，2)(4，)探究 3若将本例

10、(2)中的集合 A， B 分别更换为 A1， 2， Bx|x2mx10， xR，如何求解？解：若 B ，则m240，解得2m2；若 1B，则 12m10，解得 m2，此时 B1，符合题意；若 2B，则 222m10，解得 m52，此时 B2，12 ，不合题意综上所述，实数 m 的取值范围为2，2)方法规律根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需

11、注意端点值能否取到1 (2015济南模拟)设集合 Ax|1x2， Bx|xa， 若 AB， 则 a 的取值范围是()Aa|a2Ba|a1Ca|a1Da|a2解析：选 D由 Ax|1x2，Bx|xa，AB，则a|a22已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件 ACB的集合 C 的个数为()A1B2C3D4解析：选 D因为集合 A1，2，B1，2，3，4，所以当满足 ACB 时，集合C 可以为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，故满足条件的集合 C 有 4 个考点三集合的基本运算高频考点发散思维有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难

12、度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：离散型数集间的交、并、补运算例 3(2014重庆高考)设全集 UnN|1n10，A1，2，3，5，8，B1，3，5，7，9，则(UA)B_听前试做依题意得 U1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，UA4，6，7，9，10，(UA)B7，9答案：7，9角度二：连续型数集间的交、并、补运算例 4(2014山东高考)设集合 Ax|x1|2，By|y2x，x0，2，则 AB()A0，2B(1，3)C1，3)D(1，4)听前试做因为|x1|22x12，故1x3，即集合 A(1，3)根据指数函数的性质，可得集合 B1，4所以 AB1，3)答案：C角

13、度三：已知集合的运算结果求集合例 5设全集 UMN1，2，3，4，5，MUN2，4，则 N()A1，2，3B1，3，5C1，4，5D2，3，4听前试做画出 Venn 图，阴影部分为 MUN2，4，N1，3，5答案：B角度四：已知集合的运算结果求参数例 6已知集合 AxR|x2|3，集合 BxR|(xm)(x2)0，且 AB(1，n)，则 m_，n_听前试做AxR|x2|3xR|5x1，由 AB(1，n)，可知 m1，则 Bx|mx2，画出数轴，可得 m1，n1.答案：11方法规律集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解；(2)连续型数集的运算

14、，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或 Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数， 先把符号语言译成文字语言， 然后适时应用数形结合求解1(2015宁波模拟)设全集 UR，Ax|x(x3)0，Bx|x1，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|3x1Bx|3x0Cx|1x0Dx|x3解析：选 C因为 Ax|x(x3)0 x|3x0，UBx|x1，阴影部分为A(UB)，所以 A(UB)x|1x0，故选 C.2 (2015福州模拟)已知集合 My|yx21， xR， Ny|y2x2， 则 MN()A1，)B1，2C1， 2 D解析： 选 BMy|yx21， xRy|y1，

15、 Ny|y2x2y|y2， 所以 MN1，2，故选 B.3(2015龙岩模拟)已知集合 A1，2，3，BA3，BA1，2，3，4，5，则集合 B 的子集的个数为()A6B7C8D9解析：选 C由题意知 B3，4，5，集合 B 含有 3 个元素，则其子集个数为 238.4(2015郑州模拟)设集合 Ax|x22x30，Bx|x22ax10，a0若 AB中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是()A.0，34B.34，43C.34，D(1，)解析：选 B由题意知 Ax|x22x30 x|x1 或 x3，因为函数 yf(x)x22ax1 的对称轴为 xa0，根据对称性可知，要使 AB 中恰含有一个

16、整数，则这个整数解为 2，所以有 f(2)0 且 f(3)0，即44a10，96a10，所以a34，a43，即34a43.考点四集合中的创新问题创新背景全新设计以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，考查考生理解、解决创新问题的能力归纳起来常见的命题角度有：角度一：创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题例 7如果集合 A 满足“若 xA，则xA”，那么就称集合 A 为“对称集合”已知集合 A2x，0，x2x，且 A 是对

17、称集合，集合 B 是自然数集，则 AB_听前试做由题意可知2xx2x，所以 x0 或 x3.而当 x0 时不符合集合中元素的互异性，所以舍去当 x3 时，A6，0，6，所以 AB0，6答案：0，6角度二：创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的例 8对于任意两个正整数 m，n，定义运算(用表示运算符号)：当 m，n 都是正偶数或都是正奇数时，mnmn；当 m，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn.例如 464610， 373710， 343412.在上述定义中，

18、集合 M(a， b)|ab12，a，bN*的元素有_个听前试做m，n 同奇同偶时有 11 组：(1，11)，(2，10)，(11，1)；m，n 一奇一偶时有 4 组：(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)答案：15角度三：创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题例 9对于复数 a，b，c，d，若集合 Sa，b，c，d具有性质“对任意 x，yS，必有xyS”，则当a1，b21，c2b时，bcd 等于()A1B1C0Di听前试做Sa，b，c，d，由集合中元素的互异性可知当 a1 时，b1，c2

19、1，ci，由“对任意 x，yS，必有 xyS”知iS，ci，di 或 ci，di，bcd(1)01.答案：B方法规律解决新定义问题应注意以下几点(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项，通过验证、排除、对比、特值等方法解决设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义一个二元运算“*”(即对任意的 a，bS，对于有序元素对(a， b)， 在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应) 若对任意的 a， bS， 有 a*(b*a)b，则对任意的 a，bS，下列等

20、式中不恒成立的是()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)bD(a*b)*b*(a*b)b解析： 选 A根据题意“对任意的 a， bS， 有 a*(b*a)b”， 则选项 B 中， a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a 一定成立； 选项 C 中， b*(b*b)b 一定成立； 选项 D 中(a*b)*b*(a*b)(a*b)*ab，一定成立，故选 A.课堂归纳通法领悟1种思想数形结合思想Venn 图是研究集合的工具，借助 Venn 图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的

21、取舍3个注意点解决集合问题应注意的问题(1)认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件(2)注意元素的互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误(3)防范空集在解决有关 AB ，AB 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑 是否成立，以防漏解全盘巩固一、选择题1 (2014新课标全国卷)设集合 M0， 1， 2， Nx|x23x20， 则 MN()A1B2C0，1D1，2解析：选 DNx|x23x20 x|1x2，又 M0，1，2，所以 MN1，22若集合

22、 A1，1，B0，2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为()A5B4C3D2解析：选 C当 x1，y0 时，z1；当 x1，y2 时，z1；当 x1，y0时，z1；当 x1，y2 时，z3.故 z 的值为1，1，3，故所求集合为1，1，3，共含有 3 个元素3已知集合 M0，1，2，3，4，N1，3，5，PMN，则 P 的子集共有()A2 个B4 个C6 个D8 个解析：选 B由 M0，1，2，3，4，N1，3，5，可求出 PMN1，3，所以 P 的子集共有 224 个，故选 B.4 集合 Ax|2 015xa满足 AB ， 则实数 a 的取值范围为()Aa|a2 015Ba|a2

23、015Ca|a2 016Da|a2 016解析：选 C将集合 Ax|2 015xa表示在数轴上，如图所示，因为 AB ，所以 a2 016，故选 C.5已知集合 A1，2a，Ba，b，若 AB12 ，则 AB()A.12，1，2B.12，1C.12，1D.12，1，1解析：选 D由 AB12 ，得 2a12，解得 a1，从而 b12.所以 A1，12 ，B1，12 ，则 AB12，1，1.6已知集合 Ax|x24x30，Bx|yln(x2)，则(RB)A()Ax|2x1Bx|2x2Cx|1x2Dx|x2解析：选 C集合 Ax|1x2，则(RB)Ax|1x2，选 C.7设集合 U1，1，2，3，

24、Mx|x25xp0，若UM1，1，则实数 p的值为()A6B4C4D6解析：选 D由已知条件可得 M2，3，则 2，3 是方程 x25xp0 的两根，则 p6，故选 D.8(2015西安模拟)已知集合 Ax|1x5，Bx|axa3若 B(AB)，则 a的取值范围为()A.32，1B.，32C.(，1D.32，解析：选 C因为 B(AB)，所以 BA.当 B 时，满足 BA，此时aa3，即 a32；当 B 时，要使 BA，则aa3，a1，a35，解得32a1.由可知，a 的取值范围为(，1二、填空题9(2015济南模拟)已知集合 M1，m，Nn，log2n，若 MN，则(mn)2 015_解析：

25、因为 MN，所以n1，log2nm或nm，log2n1，即n1，m0或n2，m2.故(mn)2 0151或 0.答案：1 或 010(2015昆明模拟)若集合 Ax|x29x0，xN*，By|4yN*，yN*，则 AB 中元素的个数为_解析：解不等式 x29x0 可得 0 x9，所以 Ax|0 x9，xN*1，2，3，4，5，6，7，8，又4yN*，yN*，所以 y 可以为 1，2，4，所以 B1，2，4，所以 ABB，AB中元素的个数为 3.答案：311(2015南充调研)已知集合 Ax|42x16，Ba，b，若 AB，则实数 ab 的取值范围是_解析：集合 Ax|42x16x|222x24

26、x|2x42，4，因为 AB，所以 a2，b4，所以 ab242，即实数 ab 的取值范围是(，2答案：(，212设 A、B 是两个非空集合，定义运算 ABx|xAB 且 x AB，已知 Ax|y 2xx2，By|y2x，x0，则 AB_解析：由题意得 Ax|2xx20 x|0 x2，By|y1所以 AB0，)，AB(1，2，所以 AB0，1(2，)答案：0，1(2，)冲击名校1已知集合 Ax|3x1，xN，Bx|log2(x1)1，xN，SA，SB ，则集合 S的个数为()A0B2C4D8解析： 选 C法一： 从 0 开始逐一验证自然数可知 A1， 2， 3， B0， 1， 要使 SA，SB

27、 ，S 中必含有元素 1，可能有元素 2，3，所以 S 有1，1，2，1，3，1，2，3，共 4 个法二： Ax|3x1，xNx|13x0，xNx|x3x0，xNx|0 x3， xN1，2，3，Bx|log2(x1)1，xNx|0 x12，xNx|1x1，xN0，1，因为 SA，SB ，所以集合 S 中必含有元素 1，可能有元素 2，3，可以是1，1，2，1，3，1，2，3，共 4 个，故选 C.2 对于非空集合 A， B， 定义运算： ABx|xAB， 且 x AB， 已知 Mx|axb，Nx|cxd，其中 a、b、c、d 满足 abcd，abcd0，则 MN 等于()A(a，d)(b，c)

28、B(c，ab，d)C(a，cd，b)D(c，a)(d，b)解析：选 Cabcd，abcd0，axb，cxd，ac0d0，Bx|x2axb0，若 ABR，ABx|3x4，则 ab 的值等于_解析：由已知得 Ax|x3，ABR，ABx|31”是命题()(2)“cos x3”是命题()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.()(4)如果把四种命题中的逆命题作为原命题，则其否命题是它的逆否命题()(5)否命题就是命题的否定()(6)若 p 是 q 的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件()提示：(1)错误无法判断 x21 的真假(2)正确cos x3 是假命题(3)正确由

29、于原命题与其逆否命题为等价命题；原命题的逆命题与原命题的否命题也为等价命题，故四种命题中正确的个数不可能为奇数，只能为 0 或 2 或 4.(4)正确由四种命题间的关系可知(5)错误否命题既否定原命题的条件又否定原命题的结论，而命题的否定只否定原命题的结论(6)正确“pq，qp”的等价命题是“qp，pq”，故p 是q 的必要不充分条件答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、牛刀小试1(2014安徽高考)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 Bln(x1)00 x111x0， 而(1， 0)是(， 0)的真子集，

30、所以“x0”是“ln(x1)b3，则 ab”的否命题是()A若 a3b3，则 abB若 a3b3，则 abC若 ab，则 a3b3D若 ab，则 a3b3解析：选 B“若 a3b3，则 ab”的否命题是：若 a3b3，则 ab.2命题“已知 c0，若 ab，则 acbc”的逆命题是_解析：逆命题为：已知 c0，若 acbc，则 ab.答案：已知 c0，若 acbc，则 ab.考点二命题的真假判断例 2(1)(2014陕西高考)原命题为“若anan121”，是真命题B逆命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在

31、(0，)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上不是增函数”，是真命题解析： 选 D由 f(x)exmx 在(0， )上是增函数， 则 f(x)exm0 恒成立， m1.命题“若函数 f(x)exmx 在(0， )上是增函数， 则 m1”是真命题， 所以其逆否命题“若 m1，则函数 f(x)exmx 在(0，)上不是增函数”是真命题考点三充 要 条 件高频考点发散思维充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题，且主要有以下几个命题角度：角度一：判定指定条件与结论之间的关系例 3(2014北京高考)设an是公比为

32、 q 的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件听前试做当数列an的首项 a10 时，若 q1，则数列an是递减数列；当数列an的首项 a10 时， 要使数列an为递增数列， 则 0q1， 所以“q1”是“数列an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选 D.答案：D角度二：探求某结论成立的充分条件或必要条件例 4已知下列各组命题，其中 p 是 q 的充分必要条件的是()Ap：m2 或 m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点Bp：f（x）f（x）1；q：yf(x)是偶函数Cp：cos cos ；q：tan tan

33、Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA听前试做对于 A，由 yx2mxm3 有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得 m6，所以 p 是 q 的必要不充分条件；对于 B，由f（x）f（x）1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由 yf(x)是偶函数不能推出f（x）f（x）1，例如函数 f(x)0，所以 p 是 q 的充分不必要条件；对于 C，当 cos cos 0 时，不存在 tan tan ，反之也不成立，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件；对于 D，由 ABA，知 AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知 AB，即ABA.所以 pq.综上所述，p 是 q 的充分必要条件的是

34、 D.答案：D角度三：由充分条件、必要条件求参数例 5已知 p：x28x200；q：1mx1m.(1)若 p 是 q 的必要条件，则 m 的取值范围为_；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则 m 的取值范围为_听前试做(1)由 x28x200，得2x10.因为 p 是 q 的必要条件，所以x|1mx1mx|2x10即1m2，1m10，解得 m3.即 m 的取值范围为(，3(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以 pq 且 q/ p，即2，101m，1m1m21m10或1m0，q：x22x120，若 p 是 q 的充分不必要条件，则正实数的取值范围是()A.(0，1B(0，2)C.0，32D

35、(0，2解析：选 D命题 p 成立，由 x24x50，得 x5 或 x1或 x0，因此 02.课堂归纳通法领悟1个区别“A 是 B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是 B”的区别“A 是 B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是 B”中，B 是条件，A 是结论在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别2条规律四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要关注“特例法”的应用3种方法判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法：直接判

36、断“若 p，则 q”、“若 q，则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件(2)等价法：利用 pq 与qp，qp 与pq，pq 与qp 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)集合法：如果 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；如果 AB，则 A 是 B的充要条件全盘巩固一、选择题1已知 a，b，cR，命题“如果 abc3，则 a2b2c23”的否命题是()A如果 abc3，则 a2b2c23B如果 abc3，则 a2b2c23C如果 abc3，则 a2b2c23D如果 a2b2c23，则 abc3解析：选 A“a

37、bc3”的否定是“abc3”，“a2b2c23”的否定是“a2b2c2y，则 x|y|”的逆命题B命题“x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题解析：选 A对于 A，其逆命题是：若 x|y|，则 xy，是真命题，这是因为 x|y|y，必有 xy；对于 B，否命题是：若 x1，则 x21，是假命题如 x5，x2251；对于 C，其否命题是：若 x1，则 x2x20，由于 x2 时，x2x20，所以是假命题；对于 D，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题5(2015成都模拟)设点 P(x，y)，则“x

38、2 且 y1”是“点 P 在直线 l：xy10 上”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A“x2 且 y1”满足方程 xy10，故由“x2 且 y1”可推得“点 P在直线 l：xy10 上”；但方程 xy10 有无数多个解，故由“点 P 在直线 l：xy10 上”不能推得“x2 且 y1”，故“x2 且 y1”是“点 P 在直线 l：xy10 上”的充分不必要条件6已知条件 p：x1，条件 q：1x1 得1x1；反过来，由1x1，即p 是 q 的充分不必要条件，选 A.7命题“任意 x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa4Ba4C

39、a5Da5解析：选 C命题“任意 x1，2，x2a0”为真命题的充要条件是 a4，故其充分不必要条件是集合4，)的真子集，正确选项为 C.8(2015深圳模拟)设原命题：若 ab2，则 a，b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题真，逆命题真D原命题假，逆命题假解析：选 A原命题的逆否命题：若 a，b 都小于 1，则 abn， 则 m2n2”的逆命题、 否命题、 逆否命题中， 假命题的个数是_解析： 原命题为假命题， 逆否命题也为假命题， 逆命题也是假命题， 否命题也是假命题 故假命题个数为 3.答案：310下列命题：若 a

40、c2bc2，则 ab；若 sin sin ，则；“实数 a0”是“直线 x2ay1 和直线 2x2ay1 平行”的充要条件；若 f(x)log2x，则 f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：对于命题，sin 0sin ，但 0，命题不正确；命题均正确答案：11若 a，b 都是实数，试从ab0；ab0；a(a2b2)0；ab0 中选出适合下列条件者，用序号填空：(1)“使 a，b 都为 0”的必要条件是_；(2)“使 a，b 都不为 0”的充分条件是_；(3)“使 a，b 至少有一个为 0”的充要条件是_解析：ab0a0 或 b0，即 a，b 至少有一个为 0；ab0a，b 互为相反数

41、，则 a，b 可能均为 0，也可能为一正一负；a(a2b2)0a0 或a0，b0；ab0a0，b0或a0，b0，即 a，b 都不为 0.答案：(1)(2)(3)12 若方程 x2mx2m0 有两根， 其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是_解析：方程 x2mx2m0 对应二次函数 f(x)x2mx2m，若方程 x2mx2m0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3，则 f(3)9，即方程 x2mx2m0 有两根，其中一根大于 3 一根小于 3 的充要条件是 m9.答案：m9冲击名校1如果对于任意实数 x，x表示不超过 x 的最大整数，那么“xy”是“|xy|1 成立”的()A充分不必要条

42、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 A若xy， 则|xy|1； 反之， 若|xy|1， 如取 x1.1， y0.9， 则xy，即“xy”是“|xy|1 成立”的充分不必要条件2已知 p：1x10，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是()A(2，1B2，1C3，1D2，)解析：选 A不等式1x11 等价于1x110， 解得 x2 或 x0 可以化为(x1)(xa)0，当a1 时，解得 x1或 x1 时，不等式(x1)(xa)0的解集是(，1)(a，)，此时a2，即2a1 且 n1Bmn0 且 n0Dm0 且 n0，1n0，n0，但此为充要条件，因此

43、，其必要不充分条件为 mn6 或 52”是真命题()(2)命题 pq 为假命题，则命题 p、q 都是假命题()(3)“对顶角相等”是全称命题()(4)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题()(5)命题“xR，x20”的否定是“xR，x21 000，则綈 p：n0N，2n01 000.()提示：(1)正确该命题是“56”和“52”构成的“或”命题，只要有一个是正确的，该命题就是真命题(2)错误由真值表可判断，要使 pq 为假命题，则 p 和 q 至少有一个是假命题(3)正确由全称命题的概念可知(4)正确若 p 是真命题，则綈 p 一定是假命题(5)错误全称命题的否定为特称命题(6)错误特称命题的

44、否定为全称命题答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、牛刀小试1(2014湖北高考)命题“xR，x2x”的否定是()Ax R，x2xB.xR，x2xCx R，x2xDxR，x2x解析：选 D全称命题的否定是特称命题：xR，x2x，选 D.2已知命题 p：x00，2x03，则()A綈 p：x0，2x3B綈 p：x0，2x3C綈 p：x00，2x03D綈 p：x00，2x03解析：选 B因为命题 p：x00，2x03 为特称命题，所以綈 p：x0，2x3.3如果命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题，则()A命题 p 不一定是假命题B命题 q 一定是真命题C命题 q 不一定是真命题D命

45、题 p 与命题 q 同真同假解析：选 B由题可知“非 p”是真命题，所以 p 是假命题，又因为“p 或 q”是真命题，所以 q 一定是真命题4 (2014重庆高考)已知命题 p： 对任意 xR， 总有|x|0； q： x1 是方程 x20 的根 则下列命题为真命题的是()Ap綈 qB綈 pqC綈 p綈 qDpq解析：选 A由题意知，命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，所以命题綈 q 为真命题，所以 p綈 q 为真命题，选 A.对应学生用书 P8考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例 1(1)已知命题 p：(a2)2|b3|0(a，bR)，命题 q：x23x20 的解集是x|1x2，给出下列

46、结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈 q)”是假命题；命题“(綈 p)q”是真命题；命题“(綈 p)(綈 q)”是假命题其中正确的是()ABCD(2)已知命题 p1： 函数 y2x2x在 R 上为增函数， p2： 函数 y2x2x在 R 上为减函数，则在命题 q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈 p1)p2，q4：p1(綈 p2)中，真命题是()Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4听前试做(1)命题 p、q 均为真命题，则綈 p、綈 q 为假命题从而结论均正确，故选 D.(2)y2x在 R 上为增函数，y2x12x在 R 上为减函数，y2x12x在 R 上为增函数，y2x

47、2x在 R 上为增函数，故 p1是真命题y2x2x在 R 上为减函数是错误的，故 p2是假命题q1：p1p2是真命题，q2：p1p2是假命题，因此排除选项 B 和选项 D，q3：(綈 p1)p2是假命题，排除选项 A，故选 C.答案：(1)D(2)C方法规律判断“pq”“pq”“綈 p”形式命题真假的步骤(1)准确判断简单命题 p、q 的真假；(2)根据真值表判断命题“pq”“pq”“綈 p”的真假(2015江西九校联考)已知直线 l1：ax3y10 与 l2：2x(a1)y10，给出命题 p：l1l2的充要条件是 a3 或 a2；命题 q：l1l2的充要条件是 a35.对于以上两个命题，下列

48、结论中正确的是()A“pq”为真B“pq”为假C“p(綈 q)”为假D“p(綈 q)”为真解析：选 C对于命题 p，因为当 a2 时，l1与 l2重合，故命题 p 为假命题；当 l1l2时，2a3a30，解得 a35，当 a35时，l1l2，故命题 q 为真命题，綈 q 为假命题，故命题 pq 为假命题，pq 为真命题，p(綈 q)为假命题，p(綈 q)为假命题，故选 C.考点二全称命题、特称命题全称命题与特称命题是高考的常考内容，题型多为选择题，难度较小，属容易题，且主要有以下几个角度：角度一：判断全称命题、特称命题的真假性例 2(2013新课标全国卷)已知命题 p：xR，2x0，总有(x1

49、)ex1，则綈 p 为 ()Ax00，使得(x01)ex01Bx00，使得(x01)ex01Cx0，总有(x1)ex1Dx0，总有(x1)ex1(2)命题“x0 RQ，x30Q”的否定是()Ax0 RQ，x30QBx0 RQ，x30 QCx RQ，x3QDx RQ，x3 Q听前试做(1)全称命题的否定是特称命题， 所以命题 p 的否定是綈 p： x00， 使得(x01)ex01.(2)特称命题的否定是全称命题“x0 RQ，x30Q”的否定是“x RQ，x3 Q”答案：(1)B(2)D方法规律全(特)称命题问题的常见类型及解题策略(1)全(特)称命题的真假判断要判断一个全称命题是真命题，必须对限

50、定的集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合 M 中的一个xx0，使得 p(x0)不成立即可要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 xx0，使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题(2)全(特)称命题的否定全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可1命题 p：对任意 xR，2x10，则綈 p 是()A对任意 xR，2x10B不存在 x0R，2x010C存在 x0

51、R，2x010D存在 x0R，2x010解析：选 Cp 是全称命题，先否定量词再否定结论，可得綈 p：存在 x0R，2x010.2下列命题中的真命题是()Ax0R，使得 sin x0cos x032Bx(0，)，exx1Cx0(，0)，2x0cos x解析：选 B因为 sin xcos x 2sinx4 232，故 A 错误；当 x0 时，y2x的图象在 y3x的图象上方，故 C 错误；因为 x0，4 时有 sin x0.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈 q)”是假命题；命题“(綈 p)q”是真命题；命题“(綈 p)(綈 q)”是假命题，其中正确的是()ABCD解析：选 B因为

52、对任意实数 x，|sin x|1，而 sin x521，所以 p 为假；因为 x2x10 的判别式0，所以 q 为真因而正确考点三根据命题的真假求参数的取值范围例 4已知命题 p：关于 x 的方程 x2ax40 有实根；命题 q：关于 x 的函数 y2x2ax4 在3，)上是增函数若 pq 是真命题，则实数 a 的取值范围是_听前试做若命题 p 是真命题，则a2160，即 a4 或 a4；若命题 q 是真命题，则a43，即 a12.因为 p 或 q 是真命题，所以 aR，即 a 的取值范围是(，)答案：(，)探究 1在本例条件下，若 pq 为真命题，求实数 a 的取值范围解：pq 为真，p 和

53、 q 均为真，a 的取值范围为12，44，)探究 2在本例条件下，若 pq 为假命题，求实数 a 的取值范围解：pq 为真命题时，a 的取值范围为12，44，)，pq 为假命题时，a 的取值范围为(，12)(4，4)探究 3在本例条件下，若 pq 为真命题，pq 为假命题，求实数 a 的取值范围解：由 p 或 q 是真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假若 p 真 q 假，则 a12；若 p 假 q 真，则4a4.故 a 的取值范围是(，12)(4，4)探究 4在本例条件下，若綈 p 为真命题，求实数 a 的取值范围解：綈 p 为真命题，p 为假命题，故a2160，即4a4

54、.方法规律根据命题的真假性求参数的方法步骤(1)求出当命题 p，q 为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题 p，q 的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围(2015泰安模拟)已知命题 p：存在 x0R，mx2011，q：对任意 xR，x2mx10，若 p(綈 q)为假命题，则实数 m 的取值范围是()A(，0)(2，)B(0，2C0，2DR解析：选 C对于命题 p，mx211，得 mx20，若 p 为真命题，则 m0，若 p 为假命题，则 m0；对于命题 q，对任意 xR，x2mx10，若命题 q 为真命题，则 m240，即2m2，若命题 q

55、为假命题，则 m2.因为 p(綈 q)为假命题，则需要满足命题课堂归纳通法领悟1个关系逻辑联结词与集合的关系“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”2类否定全称命题和特称命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题 p：xM，p(x)；綈 p：x0M，綈 p(x0)(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题 p：x0M，p(x0)；綈 p：xM，綈 p(x)3点提醒命题否定中的易错点(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提(2)注意命题所含的量词， 对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词， 再进行否定(3)注意“或”“且”的否定，“或”

56、的否定为“且”，“且”的否定为“或”一、选择题1(2015厦门模拟)命题“xR，1xx”的否定是()Ax R，1xxBxR，1xxCx0 R，1x0 x0Dx0R，1x0 x0解析： 选 D命题“xR，1xx”是全称命题， 命题“xR，1xsin xBx0R，sin x0cos x02CxR，3x0Dx0R，lg x00解析：选 Bsin x0cos x0 2sinx04 2.3(2015郑州模拟)若方程 C：x2y2a1(a 是常数)，则下列结论正确的是()A任意正实数 a，方程 C 表示椭圆B存在负实数 a，方程 C 表示椭圆C任意负实数 a，方程 C 表示双曲线D存在实数 a，方程 C

57、表示抛物线解析：选 C当 a1 时，方程 C 表示的是圆，而不是椭圆，所以选项 A 不正确；当 a为负实数时，方程 C 表示双曲线，所以选项 B 不正确，选项 C 正确；由方程的形式可知，方程 C：x2y2a1 不可能表示抛物线，故选 C.4 已知命题 p： “x3”是“x29”的充要条件， 命题 q： “a2b2”是“ab”的充要条件， 则()Apq 为真Bpq 为真Cp 真 q 假Dpq 为假解析： 选 D由 x3 能够得出 x29， 反之不成立， 故命题 p 是假命题； 由 a2b2可得|a|b|，但 a 不一定大于 b，反之也不一定成立，故命题 q 是假命题因此选 D.5(2015淄博

58、模拟)下列结论正确的个数为()命题 p“x00，2 ，使得 cos x0 x0”的否定为“x0，2 ，cos xx”；命题“xR，13x0”的否定为“x0R，13x00”；函数 yx22x 和函数 yx1x的单调递增区间都是1，)A0B1C2D3解析：选 B显然正确；不正确，应为“x0R，13x00”；函数 yx22x 的单调递增区间是1，)，函数 yx1x的单调递增区间是(，0)和(0，)，因此不正确6如果命题“p 且 q”是假命题，“綈 p”也是假命题，则()A命题“綈 p 或 q”是假命题B命题“p 或 q”是假命题C命题“綈 p 且 q”是真命题D命题“p 且綈 q”是假命题解析：选

59、A由“綈 p”是假命题可得 p 为真命题因为“p 且 q”是假命题，所以 q 为假命题所以命题“綈 p 或 q”是假命题，即 A 正确；“p 或 q”是真命题，即 B 错误；“綈 p 且 q”是假命题，C 错误；“p 且綈 q”是真命题，即 D 错误故选 A.7已知命题 p1：x0R，x20 x010；p2：x1，2，x210.以下命题为真命题的是()A(綈 p1)(綈 p2)Bp1(綈 p2)C(綈 p1)p2Dp1p2解析：选 C对于命题 p1，因为140，所以 p1是假命题，p2：x1，2，x210 是真命题，故(綈 p1)p2为真命题8已知命题 p：“x1，2都有 x2a”命题 q：“

60、x0R，使得 x202ax02a0成立”，若命题“pq”是真命题，则实数 a 的取值范围为()A(，2B(2，1)C(，21D1，)解析：选 C若 p 是真命题，即 a(x2)min，x1，2，所以 a1；若 q 是真命题，即 x202ax02a0 有解，则4a24(2a)0，即 a1 或 a2.命题“pq”是真命题，则 p 是真命题，q 也是真命题，故有 a2 或 a1.二、填空题9命题“存在 x0R，使得 2x00”的否定是_解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在 x0R，使得 2x00”的否定是：任意 xR，2x0.答案：任意 xR，2x0”是真命题，根据一元二次不等式解的讨