2022年数学三角函数

1、精品资料欢迎下载数学三角函数复习提纲三角函数一、（ 1）任意角：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角, 按顺时针方向所形成的角叫做负角；假如射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角；一般地，与角终边相同的角的集合为：|k360, kz 0360 终边落在坐标轴正半轴上的角的集合为：x 轴正半轴： |k360 , kzy 轴正半轴： |k36090 , kz终边落在坐标轴上的角的集合为：只落在坐标轴： |k90 , kzx 轴： |k 180 , kzy 轴： |k18090 , kz（2）角度制：用度作为角的单位来度量角的单位制叫做角度制； 弧度制：用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫

2、做弧度制；lrad 0 r2,lr 2为弧长， r 为半径 1 s扇2r 2rl22弧度化为角度 ：180 ；角度化为弧度：rad180常用到的一些角的弧度数与角度数之间的关系：角度数0153045607590105571264312212弧度数0角度数1201351501651802703602弧度数335113246122二、任意角的三角函数我们规定：yy比值比值叫做的正弦，记作 sin，即rx 叫做的余弦，记作 cos，即rysin；rcosx ；ry比值 x x0 叫做的正切，记作 tan，即tan；x三、正弦函数，余弦函数，正切函数的值在各象限的符号：sinc o stan记忆口诀：

3、一全正，二正弦，三正切，四余弦；四、特殊角的函数值 :角030456090180270360角的弧度制06432322sin01222321010coan0331300五、同角三角函数关系： sin 2cos 21 tansin cos（当不等于 |k, k2z 时）六、三角函数的诱导公式：公式一：sin2k sin， cos2kcostan2k sin cos2k2ksin costan公式二：sinsincoscostansin cos asin costan公式三：sintansin， cossinsincostancoscos公式四：公式五：sintansin

4、2sinsin coscos， cosa， cos2sin cossincostantan 2sin2cos 2cossin1tan公式六：sin2cos2sin 2cos 2cossincossintan 2sin2cos 2cossin1tan七、三角函数的图像与性质（1）正弦函数正弦函数的图像：ysin x, xr正弦函数的性质：定义域： r值域 -1 ， 1周期性： 2kkz 且 k0 都是它的周期，最小正周期是2奇偶性：由于sinxsin x ，故为奇函数单调性：在区间2k,222k kz 上都是增函数；在区间 22k, 322k kz 上都是减函数最值：当x2k2kz 时， y m

5、in1当 x2k2kz 时， y max1对称轴：xk2 kz对称中心： k,0 kz（2）余弦函数余弦函数的图像：ycos x, xr余弦函数的性质： 定义域： r2 最值：当x2k1kz 时， y min1当 x2kkz 时， y max1 对称轴： xk kz 对称中心：k2,0kz值域： -1,1周期性： 2kkz 且 k0 都是它的周期，最小正周期是奇偶性：由于 cosxcos x ，故为偶函数单调性：在区间 2k在区间 2k,2k,2k kz 上都是增函数； kz 上都是减函数（3）正切函数正切函数的图像：ytanx, yr, xkkz2正切函数的性质： 定义域： 值域： rx |

6、 xk, kz2 周期性：kkz 且 k0 都是它的周期，最小正周期是 奇偶性：由于tanxtanx ，故为奇函数 单调性：在区间2k,k 2 kz 上是增函数 对称中心：k,0 kz 2温馨提示：（ 1）正弦函数ytan x 无单调递减区间（ 2）正弦函数ytan x 在整个定义域内不单调八、函数 ya sinx 的图像与性质（1） 函数 ya sinx 的图像对 ya sinx 图像的影响0时，图像向左平移；0 时，图像向右平移对 ya sinx 图像的影响1时，周期变小，因此图像上全部点的横坐标缩短为原先的1 倍01时，周期变大，因此图像上全部的点横坐标伸长为原先的1 倍 a a0 对

7、yasinx 图像的影响a1时，图像上全部点的纵坐标伸长为原先的a倍0a1时，图像上全部点的纵坐标缩短为原先的a倍（2） 函数 ya sinx 的特点振幅： a周期： t2相位：x初相：频率： f1t2（3） 函数 yasinx 的图像的基本变换一般地，函数 yasinx a0,0, xr) 的图像可以用下面的方法得到：先周期，后相位上面的变换可分解为 : 周期变换：函数 ysinx0, 且1) 的图像，可以看作是把ysinx 的图像上各点的横坐标都缩短1 或伸长 01到原先的1 倍（纵坐标不变）而得到的，由ysinx 的图像变换为ysinx 的图像，其周期由 2变为 2；这种变换叫做周期变换

8、，它实质上是横向的伸缩 相位变换：函数 ysinx0 的图像，可以看作是把ysin x的图像上各点向左0 或向右 0 平移个单位而得到的；这种由 ysinx 的图像变换为ysinx0) 的图像的变换，使相位由 x变为 x，我们称它为相位变换，它实质上是一种左右平移变换； 振幅变换：函数 ya sinx a0, 且 a1) 的图像，可以看作是把ysinx 的图像上全部点的纵坐标都伸长 a1 或缩短 0a1 为原先的 a倍（横坐标不变）而得到的；这种变换叫做振幅变换，它实质上是纵向的伸缩平面对量一、平面对量的有关概念（ 1）数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等都是数量向

9、量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如位移、力、速度、力矩、加速度等都是向量（ 2）向量的几何表示：向量可用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向具有方向的线段叫做有向线段，有向线段三要素：起点、方向、长度（3） 向量的字母表示：向量也可以用字母a, b, c 表示，书写时用a,b, c表示，或用表示向量有向线段的起点和终点字母表示，如ab（4） 向量的模：向量ab 的大小（或长度）叫做向量的模，记作ab 或 a（5） 零向量：长度（或模）为0 向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的（6） 单位向量：长度（或模）等于1 个单位的向量，叫做单位向量（

10、7） 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（规定：0 与任一向量平行）（ 8）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同始终线上，因此，平行向量也叫共线向量（9）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量 a 与 b 相等记作 ab ，凡零向量都相等二、平面对量的线性运算（1） 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法（2） 向量加法的三角形法就： 非零向量a, b, 在平面内任取一点a ，作 aba, bcb,就向量 ac 叫做 a 与 b 的和，记作 ab 即 ababbcac ， 这种求向量和的方法，称为向量的加法的三角形法就（3） 向量加法的平行四边形法就如图，已知

11、非零向量a, b, 在平面内任取一点 a，作 aba, adb ，以ab, ad 为邻边作abc，d就以 a 为起点的对角线ac 就是向量 a 与 b 的和，即 abadac（4） 向量加法的运算律交换律： abba结合律： abcabc（5） 向量加法的重要结论：起点、终点顺次相接围成一周的向量和为0如上图， abbccddeea0 a00aa当两向量平行时，平行四边形法就不适用，但仍适用三角形法就（6） 相反向量我们规定与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a特殊提示：（ 1）aa（ 2）零向量的相反向量仍是零向量（ 3）任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a（7）

12、向量的减法aaa0我们定义 abab ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量（8） 向量减法的三角法就如 图 ， 已 知 向 量a, b,在 平 面 内 任 取 一 点 o ， 作 oaa, obb, 就baab, 即 ab 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量（9） 向量的数乘我们规定实数与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作a ， 它的长度与方向规定如下：aa ；当0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当0 时， a 的方向与 a 的方向相反；由可知，当0 时，a0（10） 向量数乘的运算律设,为实数， a, b, 为向量，就满意如下运算律：

13、a a 结合律 aaa 第一安排律abab 其次安排律（11） 向量共线（平行）的充要条件向量 a 与非零向量 b 共线（平行）的充要条件是有且只有唯独一个实数，使得ab，即a / bab b0三、平面对量的基本定理及坐标表示（1） 平面对量基本定理假如 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数1,2 , 使 a1e12e2我们把不共线的向量（2） 向量的夹角e1, e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底已 知 两 个 非 零 向 量 a 和 b， 作 oaa, obb, 就aob0180 叫做向量 a 与 b 夹角明显，当0 时，

14、a 与b 同向；当180 时， a 与b 反向；假如 a 与b 的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab（3） 平面对量的坐标表示在平面直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x， y，使得 axiyj ；这样，平面内的任一向量a 都可由 x， y 唯独确定，我们把有序数对 x,y 叫做向量 a 的坐标，记作 a x,y；反之，任一有序数对 x, y 也确定唯独一个向量；其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标， a x,y 叫做向量的坐

15、标表示，明显，i1,0, j 0,1,0 0,0特殊提示：如点a的坐标为 x,y ，就 oa的坐标也为 x,y ；反之，如 oax,y ，就点点 a 的坐标为 x, y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标（4） 平面对量的坐标运算如 a x1,y1, b x 2,y2,为实数，就 ab x1x2, y1y 2,ab x1x2, y1y 2 ,ax1,y1 ；已知a x1,y1, b x2,y 2, 就 ab x2x1, y 2y1 ；平面对量共线的坐标表示：设a x1,y1, b x2,y2 b0,就 a / b的充要条件是x1 y2x2 y10 ；设 a x1,y

16、1,b x2 ,y2 , c x3,y3 , 要证三点共线，只需证明ab/bc .又 abx2x1, y2y1, bc x3x2, y3y2,所 以 只 需 证 明 x2x1 y3y2 x3x2 y2y10 即可；（5） 线段的定比分点设 p1, p2 是直线 l 上的两点，点p 是l 上不同于p1, p2 的任意一点，就存在一个实数，使点比分点；p1ppp2,叫点 p 分有向线段p1p 2 所成的比， p 叫做当点 p 在线段p1 p2 上时，0; p与 p1 重合时，0; p 在 p1 左侧时，10; p在 p2 右侧时， 1（6） 定比分点、中点坐标公式如图，如p1ppp2, p1, p

17、, p2 的坐标分别是 x1, y1, x,y, x2 ,y 2 就 p1pxx1, yy1, pp 2x2x, y2yp1 ppp2xx1, y xx1yy1y1 x2 y2x2xyx, y2y由此方程组解出 x， y，得到有向线段p1 p2 的定比分点坐标公式：xx1 1x2 , yy1 1y21特殊地，当1时， p 为中点，坐标公式为xx1x2 , y 2y1y 22（7） 三角形的中心坐标公式设 abc 中点a x1,y1, b x2, y2,c x3, y3, abc的重心g x,y, 为 xx1x23x3 , yy1y2y33（8） 坐标平移公式点 p x, y按向量 a h, k

18、平移后的点p' x',y' ,就 x'x h, y'y k 这个公式叫做点的平移公式，又称坐标平移公式；四、平面对量的数量积（1） 平面对量的数量积（内积） ：已知两个非零向量 a 与b ，我们把数量a b cos叫做 a 与b 的数量积（内积 ）， 记 作 ab ， 即 a ba b cos； 其 中 ，是 a 与 b 的 夹 角 ，a cos bcos 叫做向量 a 在 b方向上（ b 在 a 方向上）的投影；规定：零向量与任一向量的数量积均为0.（2） 向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 a 与 b在 a 方向上的投影b cos的乘

19、积；（3） 向量数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，就 aba b0.2当 a 与b 同向时， a ba b; 当 a 与 b 反向时， a ba b .特殊地， a aa ba 或 aa a cos；a b a ba b （当且仅当a / b 时，等号成立）（4） 向量数量积的运算律 a bb a a ba ba b a ba b2 ab ca cb c22 aba2a bb22 ab abab特殊提示：对于a, b, c, 有 abcab c（5） 平面对量数量积、长度、夹角、垂直和平行的坐标表示已知非零向量 a x1,y1, b x 2,y2, 就 a b ax1x2x1 2y1

20、y 2y1 2 , bx2 2y2 2 cosa b a bx1 x222x1y1y1 y222x2y2 abx1 x2y1 y 2 0 a /bb0x1 y 2x2 y1 0五、平面对量应用举例（1） 平面对量在平面几何中的应用证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法就、平行四边形法就，有时也用到向量减法的定义；证明线段平行、三角形相像，以及判两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：a / bab ；如 a x1 , y1, b x2 ,y2 , 就 a / bx1 y 2x2 y1 0证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判定两直线（线段）是否垂直等，常运用向

21、量垂直的条件：aba b0 ；如 a x1,y1, b x2,y2 ，就 abx1 x2y1 y 2 0a b求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos，如求三角形的面积用公式 s1 ab sin c 2时，可利用夹角公式，求出a bsin c ；向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如矩形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题；用向量方法解决平面几何问题的步骤：1、 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2、 通过向量运算，争论几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；3、 把运算结果转化为几何关

22、系；向量是集代数与图形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何争论的一个有力工具，在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键；对详细问题是选用向量几何法仍是用向量坐标法是难点，利用向量的坐标法有时会给解决问题带来便利；（2） 平面对量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对 x,y 既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，这使向量与解析几何有了亲密的联系；特殊是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决； 直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系；设 直 线 l 的 倾 斜 角 为， 斜 率 为 k ， 向 量 aa1, a2平

23、行 于 l ， 就ktana2 ；a1a2假如已知直线的斜率k，就向量a1a1, a2 肯定与该直线平行；与 a a1, a 2 平行且过p x0,y0 的直线方程为a2 xx0 a1 yy0 0 ；过点p x0 , y 0且 与 向 量 a a1, a 2垂 直 的 直线 方 程 为a1 xx0 a 2 yy0 0 ；对于上述方程可利用向量平行与垂直的条件得到，要在懂得的基础上运用；（3） 平面对量在物理中的应用力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情形下，可用向量求和的平行四边形法就，求两个力的合力；速度向量速度向量

24、是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法就，求两个速度的合速度；特殊提示：求力向量、速度向量常用的方法：向量几何法，借助于向量求和的平行四边形法就求解；用向量方法解决物理问题的步骤：1、 把物理问题中的相关量用向量表示；2、 转化为向量的模型，通过向量运算使问题解决；3、 结果仍原为物理问题；三角恒等变换一、两角和与差的余弦在直角坐标系xoy 中，以 ox 轴为始边分别作, 其终边分别与单位圆交于p1cos, sin, p 2 cos, sin, 就p1op 2；由于余弦函数是周期为 2的偶函数，所以，我们只需考虑0的情形；设向量 abop1op2cos cos, sin, si

25、n就 a ba b coscos另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a bcoscossinsin所以，两角差的余弦公式为：coscoscossinsin.c 在两角差的余弦公式中，用代替，就可以得到coscoscoscossinsin所以，两角和的余弦公式为：coscoscossinsin.c 二、两角和与差的正弦sincos 2cos2 coscos2sin2 sinsincoscossin所以，两角和的正弦公式为sinsincoscossin. s在两角和的正弦公式中，用代替，就可以得到sinsinsincoscossin所以，两角差的正弦公式为sinsincoscossin. s三、两

26、角和与差的正切利用公式 s 和 c ，我们不难推出两角和与差的正切公式；tansin cossincoscos coscos sinsin sinsincoscossincoscostantancoscossinsin1tantancoscostantantantantan1tantan1tantan所以，两角和（差）的正切公式tantantan.t 1tantantantantan.t 1tantan在三角形 abc中，tan atan btan ctana tan b tan c四、二倍角的三角函数只要在 s ， c ，t 公式中， 令，就可以得到如下结果sin 22 sincos.s2cos2tan2cos22 tansin2.t 2.c2其中，公式1tan22c 2仍可以变形为2cos22 cos1.c 2cos212 sin.c 2降幂公式：由倍角公式变形得到，亦称为降幂公式；sin 2 cos2 tan21cos2, 21cos2, 21cos21 cos2五、几个三角恒等式 sinsin2 sincos sinsin2 sincos22 sin2t1t 2, cos1t 21t 2, tan2t1t 2（万能代换公式）解析：设tant,22sincos