2022年数列求和方法大全例题变式解析标准答案——强烈推荐

1、1 / 13 1.7 数列前 n项和求法知识点一倒序相加法特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中112nnaaaa,具有这样特点的数列思考：你能区分这类特征吗？知识点二错位相减法特征描述：此种方法主要用于数列nnba的求和，其中na为等差数列，nb是公比为q的等比数列，只需用nnsqs便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1 和 q1 两种情况思考：错位时是怎样的对应关系？知识点三分组划归法特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，112，11124，11124+ +112n，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和思考：求出通项公式后如何分组

2、？知识点四奇偶求合法特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列例如11357( 1)(21)nnsn， 要求 sn， 就必须分奇偶来讨论，最后进行综合思考：如何讨论？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -2 / 13 知识点五裂项相消法特征描述：此方法主要针对12231111nna aa aaa这样的求和，其中an是等差数列思考：裂

3、项公式你知道几个？知识点六分类讨论法特征描述： 此方法是针对数列na的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求和？考点一倒序相加法例题 1： 等差数列求和12nnsaaa变式 1： 求证：nnnnnnncnccc2)1()12(53210变式 2： 数列求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89考点二错位相减法例题 2： 试化简下列和式：21123(0)nnsxxnxx变式 1： 已知数列)0()12( ,5,3 , 112aanaan，求前 n 项和。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

4、 - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -3 / 13 变式 2： 求数列23,2,3,naaana；的前 n 项和变式 3：求和：nnanaaas32321考点三：分组划归法例三： 求数列 1，112，11124，11124+ +112n的和 . 变式 1： 5，55，555， 5555，5(101)9n，；变式 2：1 3,24,35, (2),n n；变式 3： 数列 1,(1+2),(1+2+22), (1+2+

5、2 2+2 n1),前 n 项的和是（）a2 nb2 n2 c2 n+1n2 dn2n 考点四：奇偶求合法例四：11357( 1)(21)nnsn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -4 / 13 变式 1： 求和：n 1nsn-3 （-1 ）（4）nn变式 2：已知数列 an中 a1=2，an+an+1=1，sn为an前 n 项和，求 s

6、n变式 3：已知数列 an中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n3） ，sn为an前 n 项和，求 sn考点五：裂项相消法例五： an为首项为a1,公差为 d 的等差数列，求12233411111nnnsa aa aa aaa变式 1：1111,1 3 24 3 5(2)n n；变式 2： 数列通项公式为11nann；求该数列前n 项和变式 3： ：求和)12)(12()2(534312222nnnsn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

7、- - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -5 / 13 考点六：分类讨论法例六： 在公差为d 的等差数列 an中，已知a110，且 a1，2a22，5a3成等比数列(1) 求 d，an；(2) 若 d0，求 |a1| |a2| |a3| |an|. 变式 1： 在等差数列na中，,369181716aaaa其前n项和为ns. （1）求ns的最小值，并求出ns的最小值时n的值；（2）求nnaaat21. 变 式2： 设 数 列na满 足132, 511naaann， 已 知 存 在 常 数qp,使 数 列qpnan为等比数列

8、.求naaa21. 变式 3：已知等比数列 na中，1a=64，q=21，设nb=log2na，求数列 |nb| 的前 n 项和ns. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -6 / 13 答案及解读考点一例一：等差数列求和12nnsaaa111()(1) aadand把项的次序反过来，则：()(1) nnnnsaadand+得：1112()

9、()nnnnnsaaaaaa个1()nn aa1()2nnn aas变式 1：思路分析：由mnnmncc可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnncncccs则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnccccncnsmnnmnccnnnnnncncncncns)22()22()22()22(2:)2()1 (210有nnnnnnnnccccns2)1()1(210等式成立变式 2：设2222sin 1sin 2sin 3sin 89s，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1s，289s，892s考点二例二：21123(0)nnsxxnxx精品学习

10、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -7 / 13 解：若x=1，则 sn=1+2+3+ +n = (1)2n n若 x 1,则21123nnsxxnx2323nnxsxxxnx两式相减得：2(1)1nx sxx+nnnxx111nnxnxx21(1)1nnnxnxsxx变式 1：思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5， 2n-1 与等比数列1

11、20,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaas2)12(5332nnanaaaasnnnanaaaasa)12(22221)1(:21132当nnnnaaasaa) 12()1 ()1(21)1( ,121时21)1() 12() 12(1aananasnnn当2,1nsan时变式 2：2323nnsaaana，当1a时，123ns(1)2n nn，当1a时，2323nsaaanna，23423nasaaa1nna，两式相减得23(1)na saaa11(1)1nnnnaaananaa，212(1)(1)nnnnanaasa精品学习资料 可选择p d f

12、- - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -8 / 13 变式 3：nnanaaas32321解：2)1(3211nnnsan时，01aa时，因为nnanaaas323211321211nnnananaasa由得：)1) 1() 1() 1()1(2) 1() 1() 1()1(11)11(1111)11(22112aaaanaaannsaaanaasanaaaanaaasan

13、nnnnnnnnnn综上所述，所以考点三例三： 求数列 1，112，11124，11124+ +112n的和 . 解：11111242nna111( )1221212nn1111(1)(1)224ns1111(1)242n精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -9 / 13 211(21)(2)(2)2211(2)2n11112(1)242n

14、n11222nn变式 1：555555555nns个5(999999999)9n个235(101)(101)(101)(101)9n23550510101010(101)9819nnnn变式 2：2(2)2n nnn， 原式222(1232)2(123n)n(1)(27)6n nn变式 3： c 考点四例四：解：当 n = 2k (kn+) 时 , 2(1 3)(57)nkss(43)(41)kk2kn当21()nkkn时，21222 (41)nkkksssakk21kn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - -

15、 - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -10 / 13 综合得：1( 1)nnsn变式 1：解：当n为偶数时： s1 591342nnnnn当n为奇数时：1 59 134n 32ns（4 -3）（4 - ）n-1nnnn变式 2：解：当 n 为偶数时：12341nnnsaaaaaa12341()()()122nnnnaaaaaa当 n 为奇数时：123451()()()nnnsaaaaaaa13222nn变式 3：解： an- an-2=2 （n3）a1,a3,a

16、5, ,a2n-1为等差数列； a2,a4,a6, ,a2n为等差数列当 n 为奇数时：11(1) 22nnan当 n 为偶数时：4(1) 222nnan即 nn+时，1( 1)nnann 为奇数时：1(1)(1 23)2122nnn nsnnn 为偶数时：(1)(1 23)222nnn nsnn考点五例五：解：1111()()kkkkkkkkadaa aaadd aad1111111()()kkkkd aaddaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f

17、 - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -11 / 13 1223111111()()nsdaadaa1111()nnd aa122311111111()()()nndaaaaaa1111()nd aa111(1) na and变式 1：11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324352nsnn1111(1)2212nn变式 2：解：1111(1)(1)nnnannnnnnnn11121321nsnn(21)( 32)(1)nn11n变式 3：思路分析 :分式求和可用裂项相消法求和.

18、 解:)121121(211)12)(12(11) 12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211 (21)121121()5131()311(2121nnnnnnnnaaasnn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -12 / 13 练习 :求nnanaaas32321答案 :)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannsnnn考点六例六：解： (1)由题意得 a15a3(2a22)2，即 d23d40. 所以 d 1 或 d4. 所以 an n11，n n*或 an4n6，n n*. (2) 设数列 an 的前 n 项和为 sn. 因为 d0，由 (1) 得 d 1，an n 11，则当 n11 时， |a1| |a2| |a3| |an| 12n2212n. 当 n12 时， |a1| |a2| |a3| |