2022年数值计算方法教案_插值方法

1、学习必备欢迎下载复习：1. 数值计算方法的含义2误差及误差限3. 误差与有效数字4. 数值计算中应注意的问题第二章 插值方法一插值的含义问题提出：已知函数 yfx 在 n+1 个点01,nxxx上的函数值01,nyyy，求任意一点 x 的函数值 fx 。说明：函数 yfx 可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值 fx 。解决方法：构造一个简单函数p x 来替代未知（或复杂）函数yfx ，则用 p x作为函数值fx 的近似值。二、泰勒（ taylor ）插值1. 问题提出：已 知 复 杂函 数 yfx 在0 x点的 函数 值0fx， 求0 x附近 另 一 点0 xh的 函数

2、 值0fxh 。2. 解决方法：构造一个代数多项式函数npx ，使得npx 与 fx 在0 xx点充分逼近。泰勒多项式为：200000002!nnnfxfxpxfxfxxxxxxxn显然，npx 与 fx 在0 xx点，具有相同的 i 阶导数值（ i=0,1,n） 。3. 几何意义为：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载np x 与 fx 都过点00,xfx；np x 与 fx 在点00,xfx处的切线重合；np x 与 fx 在点00,xfx处具有相同的凹凸性；其几

3、何意义可以由下图描述，显然函数3fx 能相对较好地在0 x点逼近 fx 。x0f(x)f1(x)f3(x)f2(x)4. 误差分析（泰勒余项定理） ：1101 !nnnfpxfxxxn，其中在0 x与x之间。5. 举例：已知函数 fxx ，求115f。分析：本题理解为，已知“复杂”函数fxx 在0 x=100 点的函数值为010fx，求0 x的附近一点0 x+15 的函数值015fx。解：（1）构造 1 次泰勒多项式函数1p x ：1000p xfxfxxx。其中010010fxf，1212fxx，0110020fxf，则有：150.05p xx故有111511510.75fp误差分析：211

4、15115115 1002!fpf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载函数 fx 在100,115区间绝对值的极大值为41002.5 10f，则有：11151150.0281250.05pf于是近似值 10.75有三位有效数字。几何意义：显然，1p x 也过点（ 100,10） ，且1p x 就是函数 fxx 在点（ 100,10）处的切线，如下图所示。（2）构造 2 次泰勒多项式函数2px ：20200002!fxpxfxfxxxxx。把10010f，110020f

5、及41002.5 10f代入，有211511510.721875fp。分析误差32115115115 1003!fpf函数 fx 在100,115区间绝对值的极大值为61003.75 10f，则有21151150.0021093750.005pf于是近似值 10.721875有四位有效数字。运行文件 taylor.m：%已知函数 f(x)=x(1/2) ，求 f(115) %一次泰勒插值subplot(1,2,1); f=inline(x(1/2); p1=inline(5+0.05*x); fplot(f,-50,300); hold on fplot(p1,-50,300); plot(1

6、15,10.75,*) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载line(115,115,0,10.75) %二次泰勒插值subplot(1,2,2); p2=inline(10+1/20*(x-100)-1/4000/2*(x-100)2); fplot(f,-30,300); hold on fplot(p2,-30,300); plot(115,10.72,*) line(115,115,0,10.72) 可以得到以下图形：6. 泰勒插值存在的问题：1.函数 fx

7、必须存在 n+1 阶导函数，即使存在n+1 阶导数，计算的工作量也比较大；2.要求 h 为个小量，若 h 较大，则计算的误差就很大。三拉格朗日（ lagrange）插值1. 问题提出：已知函数 yfx 在 n+1 个点01,nxxx上的函数值01,nyyy，求任意一点 x 的函数值 fx 。说明：函数 yfx 可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值 fx 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2. 解决方法：构造一个 n 次代数多项式函数np x

8、 来替代未知（或复杂）函数yfx ，则用np x作为函数值 fx 的近似值。设2012nnnpxaa xa xa x， 构 造npx即 是 确 定n+1个 多 项 式 的 系 数012,naa aa。3. 构造npx 的依据：当多项式函数npx 也同时过已知的 n+1 个点时，我们可以认为多项式函数npx 逼近于原来的函数 fx 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：20102000201121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy其系数矩阵的行列式d 为范德萌行列式：2000211102111nnijn ijnnnnxxxxxx

9、dxxxxx故当 n+1 个点的横坐标01,nxxx各不相同时，方程组系数矩阵的行列式d 不等于零，故方程组有唯一解。即有以下结论。结论：当已知的n+1 个点的横坐标01,nxxx各不相同时，则总能够构造唯一的n 次多项式函数npx ，使np x 也过这 n+1个点。4. 几何意义精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载f(x)p5(x)5举例：已知函数 fxx ，求115f。分析：本题理解为，已知“复杂”函数fxx ，当 x=81,100,121,144时，其对应的函数

10、值为： y=9,10,11,12，当 x=115时，求函数值115f。解：（1）线性插值：过已知的（100,10）和（ 121,11）两个点，构造 1 次多项式函数1p x ，于是有11211001011100121121100 xxp x则111511510.71428571428572fp。（2） 抛物插值：构造 2次多项式函数2px ， 使得它过已知的（100,10） 、（121,11） 和 （144,12）三个点。于是有 2 次拉格朗日插值多项式：2121144100144100121101112100 121 100 144121 100 121 144144 100 144 121

11、xxxxxxpx则有2115115fp10.72275550536420 6. 拉格朗日 n 次插值多项式公式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1200102002110121011011nnnnnnnnnnnxxxxxxp xyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxx00110nnnnkkkpxlx ylx ylx ylx y其中klx 称为基函数（ k=0,1,.,n） ，每一个基函数都是关于x 的 n 次多项式，其表达式为：0njkj

12、kjjkxxlxxx拉格朗日公式特点：1把每一点的纵坐标ky单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x 的 n 次多项式，分母是一个常数；3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是 x，而分母是kx7. 误差分析（拉格朗日余项定理）101 !nnnkkfpxfxxxn，其中在01,nxxxx所界定的范围内。针对以上例题的线性插值，有1115115115 100 115 1212!fpf函数 fx 在100,115区间绝对值的极大值为41002.5 10f，则有：11151150.011250.05pf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

13、- 第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载于是近似值111511510.71428571428572fp有三位有效数字。针对以上例题的抛物线插值，有2115115115 100 115 121 115 1443!fpf函数 fx 在100,115区间绝对值的极大值为61003.75 10f，则有21151150.001631250.005pf于是近似值2115115fp10.72275550536420有四位有效数字。8. 拉格朗日插值公式的优点公式有较强的规律性，容易编写程序利用计算机进行数值计算。9. 拉格朗日插值通用程序程序流程图如下：精品学习资料

14、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载开始输入 nxi,yi,（i=0,1,n ）t （即插值点 x）p0，k0k=nl 1，j 0jkl l*(t-xj)/(xk-xj)j=j+1j nl l*(t-xj)/(xk-xj)j=j+1j=k+1p=p+l*ykk=k+1输出p结束yyyynnn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载开始输入 nxi,yi,（i=

15、0,1,n ）t （即插值点 x）p0，k0k=n计算l(k)p=p+l*ykk=k+1输出p结束yynl 1，j 0jkl l*(t-xj)/(xk-xj)j=j+1j nl l*(t-xj)/(xk-xj)j=j+1j=k+1yynn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载文件 lagrange.m 如下：% 拉格朗日插值close all n=input(已知的坐标点数 n=?); x=input(x1,x2,.,xn=?); y=input(y1,y2,.,yn

16、=?); xx=input(插值点 =？); syms t %定义 t 为符号量p=0; for k=1:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end for j=k+1:n l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end p=p+l*y(k); end p=inline(p); %把符号算式 p 变为函数形式fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %画多项式函数hold on p(xx) %显示插值点plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %画已知点和插值点在 matlab 命令窗

17、口输入：lagrange 然后有以下对话过程和结果，已知的坐标点数 n=?6 x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11 y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载插值点 =？8 ans = 5.67187500000000 有以下图形：10. 作业1，已知函数 sin(x) 过以下数据点：x 0.79 1.0 1.6 sin(x) 0.710353 0.841471 0.999574 请用线性插值和抛物插值，

18、计算sin(0.63)的值，并分析误差。四牛顿（ newton）插值复习：（1）问题提出：已知函数在n+1 个点的值 (x0,y0),(x1,y1),.(xn,yn),求当 x=x 时，y 的值。（2）解决方法：构造n 次多项式函数np x ，使它也过已知的n+1个点。（3）拉格朗日公式：0nnkkkpxlx y，0njkjkjjkxxlxxx（4）拉格朗日公式的优点：结构规律性强，便于编写程序。（5）拉格朗日插值的缺点：无承袭性（继承性）若算出 3 点的抛物插值精度不够，再进行4 点的 3 次多项式插值时，必须从头算起，前面算出的 3 点抛物插值的计算结果不能利用。而泰勒插值却是具有承袭性的

19、，如线性插值的结果不精确，那么再加上一项，就变成了精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载泰勒抛物插值，如：泰勒 1 次插值：1000p xfxfxxx泰勒 2 次插值：20200002!fxpxfxfxxxxx。而牛顿插值就是具有承袭性的插值公式1. 差商的概念设 n+1 个点01,nxxx互不相等，则定义：ix和jxij 两点的一阶差商为：,ijijijfxfxfx xxxix,jkxx三点的二阶差商为：,ijjkijkikfx xfxxfx xxxxix,jklx

20、xx四点的三阶差商为：,ijkjklijklilfx xxfxxxfx xxxxxn+1 个点01,nxxx的 n 阶差商为：01112010,nnnnf xxxf x xxf xxxxx差商具有对称性：,ijjifx xfxx；,ijkjikfx xxfxx x2. 牛顿插值解决的问题与拉格朗日插值解决的问题相同只是表述 n 次多项式npx 的公式不同。3. 牛顿插公式的推导根据差商的概念，有：000,fxfxf x xxx0,f x x是0,x x两点的一阶差商；001011,f x xf xxfx x xxx01,f x xx是01,x xx三点的二阶差商；010101,nnnnf x

21、xxf xxxfx xxxxx把以上各式从后向前逐次代入，可以得到：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载001001201010110101,nnnnfxfxf x xxxfx x xxxxxfx xxxxxxxxf x xxxxxxxxxnnfxpxrx其中00100120101011,nnnpxfxfxxxxfxx xxxxxfxxxxxxxxx0101,nnnrxf x xxxxxxxxx以上npx 的表达式称为牛顿插值公式，可以证明，n 次牛顿插值多项式与n

22、 次拉格朗日插值多项式完全相同，只是表达形式不同。故，拉格朗日余项定理与牛顿余项定理相同：10100,1 !nnnnnnkkkkfrxpxfxfx xxxxxxxn，其中在01,nxxxx所界定的范围内。则有公式：101,1 !nnffx xxxn4. 牛顿插值差商表xi yi 一阶差商二阶差商n 阶差商* x0 y0 1 x1 y1 fx0,x1 (x-x0) x2 y2 fx1,x2 fx0,x1,x2 (x-x0)(x-x1) x3 y3 fx2,x3 fx1,x2,x3 (x-x0) (x-x2) xn-1 yn-1 xn yn fxn-1,xn fxn-2,xn-1,xn fx0,x

23、n (x-x0) (x-xn-1) 5. 举例例 1：已知函数 f(x) 当 x=-2,-1,0,1时，其对应函数值为f(x)=13,-8,-1,4。求 f(0.5)的值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解：根据已知点，填写以下差商表：xi yi 一阶差商二阶差商三阶差商* -2 13 1 -1 -8 -21 (x+2) 0 -1 7 14 (x+2)(x+1) 1 4 5 -1 -5 (x+2)(x+1)x 则四点三次牛顿插值多项式3p x 为：3132121

24、421521p xxxxxxx故，30.50.51321 0.5214 0.520.5 15 0.520.5 1 0.5fp=3.625 可以在 matlab 下运行程序 newton01.m：p3=inline(13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x); fplot(p3,-2.5,2.5); hold on xi=-2,-1,0,1; yi=13,-8,-1,4; plot(xi,yi,*); plot(0.5,p3(0.5),o); 可以得到以下图形：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

25、15 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 2：已知函数 f(x) 当 x=-2,-1,0,1,2时，其对应函数值为f(x)=13,-8,-1,4,1。求 f(0.5)的值。解：该题目与例 1 相比，就是多了一个点，所以和例1 的差商表相比，只需多一列，多一行：xi yi 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商* -2 13 1 -1 -8 -21 (x+2) 0 -1 7 14 (x+2)(x+1) 1 4 5 -1 -5 (x+2)(x+1)x 2 1 -3 -4 -1 1 (x+2)(x+1)x(x-1) 而 5 个点的 4次牛顿插值多项式4px是在3px的基

26、础上多增加1 项：4132121421521211pxxxxxxxxxx x则40.50.51321 0.5214 0.520.5 15 0.520.5 1 0.50.520.5 1 0.5 0.5 12.6875fp可以在 matlab 下运行程序 newton02.m：p4=inline(13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1); fplot(p4,-2.5,2.5,r); hold on xi=-2,-1,0,1,2; yi=13,-8,-1,4,1; plot(xi,yi,*); plot(0.5,p4

27、(0.5),o); 可以得到以下图形：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载6. 牛顿插值的优点（1）具有承袭性质（2）利用差商表，计算多点插值，比拉格朗日公式计算方便。7. 牛顿插值算法的通用程序以下是程序流程图：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载开始输入 nxi,yi,（i=0,1,n ）t （即插值点 x）fi=yi,i=0,ni=

28、ifk=(fk-1-fk)/(xk-i-xk)k=k-1i=i+1yyynnk=nl=1,j=0j k-1l l*(t-xj)j=j+1yynn输出p结束i=11p=f0,k=11pp+fk*lk=k+1matlab 的通用程序 newton.m 为：% 牛顿插值close all n=input(已知的坐标点数 n=?); x=input(x1,x2,.,xn=?); y=input(y1,y2,.,yn=?); xx=input(插值点 =？); % 计算差商： fx1,x2,fx1,x2,x3,.,fx1,x2,.,xn f=y; for i=1:n-1 % 计算第 i 阶差商 for

29、k=n:-1:i+1 f(k)=(f(k)-f(k-1)/(x(k)-x(k-i); 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 end end syms t % 定义 t 为符号量p=f(1); for k=2:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j); end p=p+l*f(k); end p=inline(p); %把符号算式 p 变为函数形式fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %画多项式函数

30、hold on p(xx) %显示插值点plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %画已知点和插值点在 matlab 命令窗口输入：newton 然后有以下对话过程和结果，已知的坐标点数 n=?6 x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11 y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3 插值点 =？8 ans = 5.67187500000000 有以下图形：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载8. 作业（1）过(0,6) ，(1,7) ，(2

31、,20) ，(3,81) ，(4,250) 五个点做多项式函数p(x) ，并求 p(-2) 的值。（2）给出下列函数表，已知函数f(x) 是一个多项式函数，试求其次数及x 的最高幂的系数。x 0 1 2 3 4 5 f(x) -7 -4 5 26 65 128 （3）请写出下面数列中？的值 2,5,9,15,23,？ 2,8,15,29,50,？,125 五 埃尔米特（ hermite ）插值1问题提出已 知函数 yfx 在 n+1 个 点01,nxxx上 的函 数值01,nyyy及 一阶导 函数 值01,nyyy ，求任意一点x的函数值 fx 。2. 解决方法：构造一个 2n+1 次代数多项

32、式函数21npx ，使得21210,1,niiniipxyinpxy即，多项式函数21npx 也过这 n+1 个点，且函数 f(x)和21npx 在这 n+1 个点上具有相同的切线。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3. 埃尔米特插值公式：当节点横坐标各不相同时，存在唯一的n+1 次代数多项式函数21npx ：22210012nnnkkkkkkkkkpxxxlxlx yxxlx y其中，0njkjkjjkxxlxxx，01nkjkjjklxxx4. 举例例 1求满

33、足下列条件的埃尔米特插值多项式。ix1 2 iy2 3 iy1 -1 解：根据埃尔米特插值公式有：2130001012011101021000120111011 2112xxpxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxyxx把表中值代入，得：3232895pxxxx例 2已知函数3( )2xf xx满足下列数据表：ix1 2 iy1/3 0.2 iy0 -0.14 构造 3 次埃尔米特插值多项式3px 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解：根据埃尔

34、米特插值公式可以构造3px 为：323191694150251075pxxxx在 matlab 命令窗口输入：f=inline(x/(x3+2); p3=inline(19/150*x3-16/25*x2+9/10*x-4/75); fplot(f,0,3); hold on fplot(p3,0,3,r); plot(1,2,1/3,0.2,*); 绘出如下图形例 3. 求二次多项式2px 满足200pxy ，211pxy ，200pxy 。其中01010,xx yyy 为已知常数。解：设2001100pxlx ylx ylx y ，根据已知条件有000100100lxlxlx，101110

35、010lxlxlx，000100001lxlxlx，于是基函数0lx 一定含有因子1xx，基函数1lx 一定含有因子20 xx，基函数0lx 一定含有因子01xxxx。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设01lxxxaxb ，则有0001000110lxxxaxbaxba xx解得：01101axxxx，1001102xxbxxxx则有：110001102xxxxxlxxxxx，201210 xxlxxx，01001xxxxlxxx六 分段插值1龙格 (runge

36、)现象（高次多项式插值的缺陷）针对函数211fxx选取 6 个节点 : xi ：-5,-3,-1,1,3,5；yi ：1/26,0.1,0.5,0.5,0.1,1/26 可以构造 5 次多项式函数5px若选项 11个节点xi ：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5；yi ：1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26 可以构造 10次多项式函数10px利用用拉格朗日插值的通用程序 （或牛顿插值的通用程序） 可以画出 f(x),p5(x)和 p10(x)的图形。程序 runge.m 如下：% 用拉格朗日插值公式分析龙格现象close

37、all n=6; x=-5,-3,-1,1,3,5; y=1/26,0.1,0.5,0.5,0.1,1/26; x6=x; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载y6=y; syms t %定义 t 为符号量p=0; for k=1:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end for j=k+1:n l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end p=p+l*y(k); end p5=inline(p); %把

38、符号算式 p 变为函数形式f=inline(1/(x2+1); fplot(f,-5,5); %画原来的函数hold on fplot(p5,-5,5,g); %画 5 次多项式函数n=11; x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5; y=1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26; syms t %定义 t 为符号量p=0; for k=1:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end for j=k+1:n 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

39、 - - - - 第 24 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end p=p+l*y(k); end p10=inline(p); %把符号算式 p 变为函数形式fplot(p10,-5,5,r); %画 10 次多项式函数legend(f (x),p_5(x),p_1_0(x) plot(x6,y6,*); %画 6 个已知节点plot(x,y,o); %画 10 个已知节点plot(-5,5,0,0,k); %画坐标轴plot(0,0,-0.5,2,k); 运行该程序，可以绘制出如下图形：从图中可以看出，随

40、着节点的增加，采用高次多项式插值，可以在某些区域较好的逼近原来的函数（如在 -2,2区间） ；但在高次多项式的两端出现了激烈震荡的现象，这就是所谓的龙格现象。从该图可以看出，在5x附近时，10px 与 f(x) 偏离很远。例如104.81.8044p，而4.80.0416f。这就说明用高次插值多项式npx 来近似f(x) 的效果并不好，因而通常不用高次插值。2分段线性插值当节点较多时，可以采用分段线性插值，公式如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1111iii

41、iiiiixxxxxyyxxxx，1iixxx以上公式即为两点11,iiiix yxy的线性拉格朗日插值公式。例如针对龙格现在的函数211fxx选取 11 个节点 : xi ：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5；yi ：1/26,1/17,0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26 可以构造 10个 1 次多项式函数，即分段线性函数x 。在 matlab 命令窗口输入：f=inline(1/(x2+1); fplot(f,-5,5); %画原来的函数hold on x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5; y=1/26,1/17,

42、0.1,0.2,0.5,1,0.5,0.2,0.1,1/17,1/26; plot(x,y,o) plot(x,y,r) 可以得到以下图形：显然和龙格现象相比， 分段线性插值函数x 比5px 和10px 都能更好的逼近原函数f(x) 。3三次样条插值（1）样条函数的概念精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载分段线性插值在节点处没有连续的一阶导函数，其光滑性较差。对于飞机的机翼的型线及船舶型往往要求有二阶光滑度（即在节点处要求二阶导函数连续）。样条函数的概念来源于工程设

43、计的实践。所谓“样条”（spline ）是早期工程设计中的一种绘图工具，它是富有弹性的细长条。绘图时，用压铁迫使样条通过指定的型值点，并保证样条的光滑外形。在绕度不大的情况下，样条的曲线即为三次样条函数。（2）几何意义（3）构造三次样条函数的理论分析如上图所示，通过已知的六个点，构造5 个三次多项式函数分别是：红色、蓝色、黑色、紫色和绿色 5根曲线。为确定一根曲线，就需要确定4 个待定系数，所以总共需要4*5=20 个待定系数。另外，分析需要的约束条件。每一根函数都要过已知的左右两个点，则有5*2=10 个约束条件。此外，每两个相邻曲线在相邻点处要求充分光滑，即在连接点处左右两个函数在该点具有 1 次和 2 次的导函数连续，图中有4 个“中间点”，故又有 4*2=8 个约束条件。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 32 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载若在整个图形的两端在加2 个