2022年数值分析整理版试题及答案,推荐文档

1、1 例1、已知函数表x-1 1 2 ( )f x-3 0 4 求( )f x的lagrange 二次插值多项式和 newton 二次插值多项式。解：（1） 由题可知kx-1 1 2 ky-3 0 4 插值基函数分别为1200102121( )121 1126xxxxxxlxxxxxxx0211012121( )1211 122xxxxxxlxxxxxxx0122021111( )1121213xxxxxxlxxxxxxx故所求二次拉格朗日插值多项式为2202( )11131201241162314121123537623k kklxy lxxxxxxxxxxxxx（2）一阶均差、二阶均差分别为

2、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - -2 010101121212011201202303,11204,41234,52,126fxfxf xxxxfxfxf xxxxf xxfxxf xx xxx均差表为kx()kfx一阶二阶-1 -3 1 0 3/2 2 4 4 5/6 故所求 newton二次插值多项式为20010012012,353

3、11126537623pxfxfxxxxf xxxxxxxxxxxx例2、设2( )32f xxx，0,1x，试求( )f x在0, 1上关于( )1x，span 1,x的最佳平方逼近多项式。解：若span 1,x，则0( )1x，1( )xx，且( )1x，这样，有112001100112011000012101,11,3123,32269,324dxx dxxdxfxxdxfx xxdx所以，法方程为01123126119234aa，经过消元得01231162110123aa再回代解该方程，得到14a，0116a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

4、 - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -3 故，所求最佳平方逼近多项式为*111( )46sxx例3、设( )xf xe，0,1x，试求( )f x在0, 1上关于( )1x，span 1,x的最佳平方逼近多项式。解：若span 1,x，则0( )1x，1( )xx，这样，有100012110101100100110,111,31,2,1.7183,1xxdxx dxxdxfe dxfxe dx所以，法方程为01111

5、.7183211123aa解法方程，得到00.8732a，11.6902a，故，所求最佳平方逼近多项式为*1( )0.87321.6902sxx例4、用4n的复合梯形和复合辛普森公式计算积分91xdx。解：（1）用4n的复合梯形公式由于2h，fxx，121,2,3kxk k，所以，有94131129 22 123579217.2277kkxdxthffxf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3

6、 页，共 28 页 - - - - - - - - -4 （2）用4n的复合辛普森公式由于2h，fxx，121,2,3kxk k，12220,1,2,3kxk k，所以，有9413310121429 6114246823573317.3321kkkkxdxshffxfxf例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。123123123123315183156xxxxxxxxx解：先消元1212331518311511161831151233151116rrab212131312332322,31,186,7183115017 3507 617 1831 618311507 617 1831 60

7、17 35183107 617 100mmmmrrmm第1行（）第 2行第2行第1行（）第 3行第3行第2行（）第 3行第3行15831 622 766 7再回代，得到33x，22x，11x所以，线性方程组的解为11x，22x，33x例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -5 12312312311

8、1945611183451282xxxxxxxxx解：设1112132122233132331114561001111003451001122uuualuulullu则由alu的对应元素相等，有1114u，1215u，1316u，21 11211433lul，31 1131122lul，21 12222211460luuu，21 uuu，31 12322232136lulul，31 1332 23333313215l uluuu因此，111100456411100360452361130015alu解lyb，即12310094108382361yyy，得19y，24y

9、，3154y解uxy，即123111456911046045154130015xxx，得3177.69x，2476.92x，1227.08x所以，线性方程组的解为1227.08x，2476.92x，3177.69x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -6 、若a是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵l和上三角阵u，使lua唯一成立。（） 、

10、当8n时 ， newton cotes 型 求积 公 式 会产 生 数 值不 稳 定 性 。（）3、形如)()(1iniibaxfadxxf的高斯（ gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12n。 （）、矩阵210111012a的范数2a。 （）5、设aaaaa000002，则对任意实数0a，方程组bax都是病态的。（用）（）6、设nnra，nnrq，且有iqqt（单位阵） ，则有22qaa。（）7、 区间ba,上 关 于 权函 数)(xw的 直 交 多 项 式 是 存 在 的 ， 且 唯 一 。（）1、 （）2、 （）3、 （）4、 （）5、 （）6、 （）7、 （） 8、 （）

11、一、判断题（ 101）1、 若 a是 n阶非奇异矩阵，则线性方程组 axb一定可以使用高斯消元法求解。 ( ) 2、 解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。( ) 3、 若 a 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式),.,2,1(1niaanijjijii则解线性方程组 axb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。( ) 4、 样条插值一种分段插值。( ) 5、 如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。( ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于

12、任何线性方程组axb。( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - -7 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。( ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。( ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。( ) 1. 用计

13、算机求1000100011nn时，应按照n从小到大的顺序相加。（）2. 为了减少误差 ,应将表达式20011999改写为220011999进行计算。（ 对）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题一、填空题：1、410141014a，则 a 的 lu 分解为a。答案：15561415014115401411a2、 已 知3.1)3(,2.1)2(,0 .1) 1(fff， 则 用 辛 普 生 （ 辛 卜 生 ） 公 式 计 算 求 得31_)(dxxf,用三点式求

14、得)1(f。答案： 2.367，0.25 3、1)3(, 2)2(, 1)1 (fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案： -1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxl4、近似值*0.231x关于真值229.0 x有( 2 )位有效数字；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - -

15、8 5、设)(xf可微, 求方程)(xfx的牛顿迭代格式是 ( )；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx6、对1)(3xxxf,差商3,2 ,1 ,0f( 1 ),4, 3,2, 1 ,0f( 0 )；7、计算方法主要研究 ( 截断)误差和( 舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x)=0 在区间 (a,b)内的根时，二分n 次后的误差限为( 12nab)；10、 已知 f(1)2， f(2)3， f(4)5.9， 则二次 newton 插值多项式中 x2系数为 ( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式10d)(xxf(10)3213()3213(21d)(ffxxf)，代数精度

16、为( 5 )；12、 解线性方程组ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(a 的各阶顺序主子式均不为零 )。13、为了使计算32)1(6)1(41310 xxxy的乘除法次数尽量地少， 应将该表达式改写为11,)64(3(10 xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为199920012。14、 用二分法求方程01)(3xxxf在区间 0,1内的根 ,进行一步后根的所在区间为0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75 。15、 计算积分15.0dxx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309

17、 ，梯形公式的代数精度为1 ，辛卜生公式的代数精度为3 。16、 求解方程组042 . 01532121xxxx的高斯塞德尔迭代格式为20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx， 该迭精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - -9 代格式的迭代矩阵的谱半径)(m= 121。17、 设46)2(,16)1(,0)0(fff,则

18、)(1xl)2()(1xxxl，)(xf的二次牛顿插值多项式为) 1(716)(2xxxxn。18、 求积公式baknkkxfaxxf)(d)(0的代数精度以 ( 高斯型)求积公式为最高，具有( 12n)次代数精度。19、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf( 12 )。20、设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求)1(f( 2.5 )。21、如果用二分法求方程043xx在区间2, 1内的根精确到三位小数，需对分（10 ）次。23、)(,),(),(10 xlxlxln是以整数点nxxx,10为节点的lagrange

19、 插值基函数，则nkkxl0)( 1 )，nkkjkxlx0)(jx)， 当2n时)()3(204xlxxkknkk( 324xx)。26 、 改 变 函 数fxxx( )1(x1) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确xxxf11。27、若用二分法求方程0 xf在区间 1,2 内的根，要求精确到第3 位小数，则需要对分10 次。29、若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。30、写出求解方程组24 .016.12121xxxx的gauss-seidel迭代公式, 1 ,0,4. 026. 111112211kxxxxkkkk

20、，迭代矩阵为64. 006.10，此迭代法是否收敛收敛。31、设a5443,则a9 。32、设矩阵482257136a的alu，则u4820161002u。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - -10 33、若4321()fxxx，则差商2 4 8 16 32 , , ,f3 。34、数值积分公式11218019( )()( )( )f x

21、dxfff的代数精度为2 。35、线性方程组121015112103x的最小二乘解为11。36、设矩阵321204135a分解为alu，则u32141003321002。二、单项选择题：1、 jacobi迭代法解方程组bxa的必要条件是（c ） 。aa 的各阶顺序主子式不为零b1)(acniaii,2, 1,0d1a2、设700150322a，则)(a为( c )a 2 b 5 c 7 d 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( b )。a 2 b5 c 3 d 4 4、求解线性方程组ax=b 的 lu 分解法中， a 须满足的条件是 ( b )。a 对称阵b 正定矩阵c 任意阵d 各阶顺序

22、主子式均不为零5、舍入误差是 ( a )产生的误差。a.只取有限位数b模型准确值与用数值方法求得的准确值c 观察与测量d数学模型准确值与实际值6、3.141580是的有 ( b )位有效数字的近似值。a 6 b 5 c 4 d 7 7、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是 ( c )误差。a 模型b 观测c 截断d 舍入精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - -

23、- - - - - - -11 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( a )。a控制舍入误差b 减小方法误差c防止计算时溢出d 简化计算9、用 1+3x近似表示31x所产生的误差是 ( d )误差。a 舍入b 观测c 模型d 截断10、-3247500 是舍入得到的近似值，它有( c )位有效数字。a 5 b 6 c 7 d 8 11、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为 ( a )。a 05 b 05 c 2 d -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( c )。a 3 b 4 c 5 d 2 13、( d )的 3 位有效

24、数字是 0.236102。(a) 0.0023549103 (b) 2354.82102 (c) 235.418 (d) 235.54101 14、用简单迭代法求方程f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x)，则 f(x)=0 的根是( b )。(a) y=(x)与 x 轴交点的横坐标(b) y=x 与 y= (x)交点的横坐标(c) y=x 与 x 轴的交点的横坐标(d) y=x 与 y= (x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组134092143321321321xxxxxxxxx，第1 次消元，选择主元为( a ) 。(a) 4 (b) 3 (c) 4 (d)9

25、 16、拉格朗日插值多项式的余项是( b ),牛顿插值多项式的余项是( c ) 。(a) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)，(b) )!1()()()()() 1(nfxpxfxrnnn(c) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2) (xxn1)(xxn)，(d) )()!1()()()()(1) 1(xnfxpxfxrnnnn17、等距二点求导公式f (x1) ( a )。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品

26、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - -12 0101101010010101)()()d()()()c()()()b()()()a(xxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxf18、 用牛顿切线法解方程f(x)=0， 选初始值 x0 满足( a ),则它的解数列 xnn=0,1,2, 一定收敛到方程f(x)=0 的根。0)()()d(0)()()c(0)()()b(0)()()a(0000 xfxfxfxfxfxfxfxf19、为求方程x3x21=0 在区间 1.3,1.6内的一个根

27、，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(a )。(a)11:,1112kkxxxx迭代公式(b)21211:,11kkxxxx迭代公式(c)3/12123)1 (:,1kkxxxx迭代公式(d)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式21、解方程组bax的简单迭代格式gbxxkk)()1(收敛的充要条件是（） 。（1）1)(a, (2) 1)(b, (3) 1)(a, (4) 1)(b22、在牛顿 -柯特斯求积公式：baniinixfcabdxxf0)()()()(中，当系数)(nic是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿 -柯特斯求积

28、公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，23、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（） 。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取31 732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（）(a)2816 3；(b)242 3()；(c) 21642 3()；(d) 41631()。27、由下列数表进行newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix1.5 2.5 3.5 ()ifx-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (a)5；(b)4；(c)

29、 3；(d) 2。28、形如112233()()()()bafx dxa fxa fxa fx的高斯（ gauss）型求积公式的代数精度为（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - -13 (a)9；(b)7；(c) 5；(d) 3。29、计算3的 newton 迭代格式为 ( ) (a) 132kkkxxx；(b)1322kkkxxx；(

30、c) 122kkkxxx；(d) 133kkkxxx。30、用二分法求方程324100 xx在区间1 2 , 内的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为 ( ) (a )10；(b)12 ；(c)8；(d)9。32、设()ilx是以0 19(, , )kxk kl为节点的lagrange 插值基函数，则90( )ikklk( ) (a)x；（ b）k；（ c）i；（d）1。33、5 个节点的牛顿 -柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度(a )5；(b)4；(c)6；(d)3。35、已知方程3250 xx在2x附近有根，下列迭代格式中在02x不收敛的是 ( ) (a)3125kkxx

31、； (b)152kkxx； (c)315kkkxxx； (d)3122532kkkxxx。36、由下列数据x0 1 2 3 4 ( )f x1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (a ) 4；(b)2；(c)1；(d)3。37、5 个节点的gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (a)8 ；(b)9；(c)10；(d)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)210()(miyxii，,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(xpn时，)(xpn的次数 n 可以任意取。( ) 2、用 1-22x近似表示 cosx 产生舍入误差。( ) 3、)()

32、(210120 xxxxxxxx表示在节点 x1的二次 (拉格朗日 )插值基函数。( ) 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( ) 5、矩阵 a=521352113具有严格对角占优。( ) 四、计算题：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - -14 1、用高斯 -塞德尔方法解方程组22521824

33、1124321321321xxxxxxxxx， 取t)0,0, 0()0(x， 迭代四次 (要求按五位有效数字计算 )。答案：迭代格式)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxk )(1kx)(2kx)(3kx0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 2、求 a、b 使求积公式11)21()21()1 ()1()(ffbffadxx

34、f的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxi(保留四位小数 )。答案：2, 1)(xxxf是精确成立，即32212222baba得98,91ba求积公式为)21()21(98)1()1(91)(11ffffdxxf当3)(xxf时，公式显然精确成立；当4)(xxf时，左 =52，右=31。所以代数精度为 3。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - -

35、 - - - - - - -15 69286.014097321132/119831131191311113221dttdxxxt3、已知ix1 3 4 5 )(ixf2 6 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xp，并求)2(f的近似值（保留四位小数） 。答案：) 53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31() 5)(4)(3(2)(3xxxxxxxl)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4

36、 -1 0 41)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33xxxxxxxnxp5.5)2()2(3pf6、已知xsin区间0.4，0.8的函数表ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求63891. 0sin的近似值， 如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

37、 - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - -16 答案：解：应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332xmxr尽量小，即应使|)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0 ,6 .0,5 .0最好，实际计算结果596274.063891. 0sin，且41055032.0)7 .063891.0)(6 .0963891.0)(5.063891.0(! 31596274.063891.0sin7、构造求解方程0210 xex的根的迭代格式,2 ,1 , 0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|nnxx。答案：解：令0

38、10)1(, 02)0(,210e)(effxxfx. 且010e)(xxf)(，对x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(xf变形为)e2(101xx则当)1 , 0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx故迭代格式)e2(1011nxnx收敛。取5. 00 x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3 nx0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - -

39、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - -17 nx0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足6671095000000.0|xx.所以008525090.0*x. 8利用矩阵的 lu 分解法解方程组2053182521432321321321xxxxxxxxx。答案：解：2441321153121lua令byl得t)72,10,14(y，yxu得t)3 ,2, 1(x. 9对方程组841025410151023

40、321321321xxxxxxxxx（1） 试建立一种收敛的seidel迭代公式，说明理由；（2） 取 初 值t)0,0 ,0()0(x， 利 用 （ 1 ） 中 建 立 的 迭 代 公 式 求 解 ， 要 求3)()1(10|kkxx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优151023841025410321321321xxxxxxxxx故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取t)0 ,0 ,0()0(x,经 7 步迭代可得：t)010

41、000.1,326950999.0,459991999.0()7(*xx. 10、已知下列实验数据xi1.36 1.95 2.16 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - -18 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0 x1 时，)(xfex，则e)(xf，且xxde10有

42、一位整数 . 要求近似值有 5 位有效数字，只须误差4)(11021)( frn. 由)(12)()(23)(1fnabfrn，只要422)(1102112e12e)e(nnrxn即可，解得30877.67106e2n所以68n，因此至少需将0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组11124112345111321xxx。解：111124111123451111212345411121rr5852510579515130123455795151305852510123455251321312rrrrrr13513505795151301234513123rr回代得3, 6, 112

43、3xxx。12、取节点1, 5 .0,0210 xxx,求函数xxfe)(在区间 0,1 上的二次插值多项式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - -19 )(2xp,并估计误差。解：) 15 .0)(05. 0() 1)(0()10)(5 .00() 1)(5 .0()(5.002xxexxexp)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5

44、 .01)(01()5 .0)(0(15.01xxexxexxxxe又1| )(|max,)(,)(1 ,03xfmexfexfxxx故截断误差| )1)(5.0(|!31|)(|)(|22xxxxpexrx。14、给定方程01e)1()(xxxf1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到5 位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程01e)1(xx（1）改写为xxe1（2）作函数1)(1xxf，xxfe)(2的图形（略）知（ 2）有唯一根)2, 1(*x。2) 将方程（ 2）改写为xxe1构造迭代格式5.1e101xxkxk),2, 1 ,0(k计算结果列

45、表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) xxe1)(，xxe)(当2 ,1 x时，2, 1)1(),2()(x，且1e|)(|1x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - -20

46、所以迭代格式),2, 1 ,0()(1kxxkk对任意2 ,10 x均收敛。15、用牛顿 (切线)法求3的近似值。取 x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解：3是03)(2xxf的正根，xxf2)(，牛顿迭代公式为nnnnxxxx2321，即),2, 1 ,0(2321nxxxnnn取 x0=1.7, 列表如下：n1 2 3 nx1.73235 1.73205 1.73205 16、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2xl及 f (1，5)的近似值，取五位小数。解：)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()

47、2)(1(2)(2xxxxxxxl)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32xxxxxx04167.0241)5.1()5.1(2lf17、n=3,用复合梯形公式求xxde10的近似值（取四位小数） ,并求误差估计。解：7342.1e)ee(2e3201de132310310txxxxxfxfe)(,e)(，10 x时，e|)(|xf05. 0025.0108e312e|e|23trx至少有两位有效数字。18、用 gauss-seidel迭代法求解线性方程组411131103321xxx=815，取 x(0)=(0,0,0)t,列表计算三次，保留三位小数。解：gauss-seidel迭代

48、格式为：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - -21 )8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)1(1kkkkkkkkxxxxxxxx系数矩阵411131103严格对角占优，故gauss-seidel迭代收敛 . 取 x(0)=(0,0,0)t，列表计算如下 : k)(1kx)(2kx)(3kx1

49、 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 -2.526 20、 （8 分）用最小二乘法求形如2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19 25 30 38 iy19.0 32.3 49.0 73.3 解：, 12xspan2222383125191111ta3.730.493.320 .19ty解方程组yaacatt其中3529603339133914aat7 .1799806 .173yat解得：0501025.09255577.0c所以9255577. 0a，0501025.0b21、 （15 分）用8n的复化梯形公式（或复

50、化simpson 公式）计算dxex10时，试用余项估计其误差。用8n的复化梯形公式（或复化simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：001302.0768181121)(12022efhabfrt )()(2)(2)8(71kkbfxfafht36787947.0)41686207.047236655. 05352614.060653066.07788008.08824969.0(21161精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - -

51、- - - - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - -22 6329434. 022、（15 分） 方程013xx在5 .1x附近有根， 把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx对应迭代格式311nnxx； (2)xx11对应迭代格式nnxx111； （3）13xx对应迭代格式131nnxx。 判断迭代格式在5.10 x的收敛性， 选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精确到小数点后第三位。解： （1）321(31)(）xx，118.05. 1 ）（，故收敛；（2）xxx1121)(2，117.05 .1 ）（，故收敛；（3）23)(xx，15.

52、 135.12）（，故发散。选择（ 1） ：5.10 x，3572. 11x，3309.12x，3259.13x，3249. 14x，32476.15x，32472.16x23、 （ 8分）已知方程组fax，其中4114334a，243024f（1）列出 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的分量形式。（2）求出 jacobi 迭代矩阵的谱半径。解： jacobi 迭代法：, 3, 2, 1 ,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkkgauss-seidel迭代法：, 3 ,2, 1 , 0)2

53、4(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk0430430430430)(1uldbj，790569.0)410(85)(或jb25、数值积分公式形如精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - -23 10) 1()0()1 ()0()()(fdfcbfafxsdxxxf

54、试确定参数dcba,使公式代数精度尽量高；（2）设1 , 0)(4cxf，推导余项公式10)()()(xsdxxxfxr，并估计误差。解：将32,1)(xxxxf分布代入公式得：201,301,207,203dbba构造 hermite 插值多项式)(3xh满足1 ,0)()()()(33ixfxhxfxhiiii其中1,010 xx则有：103)()(xsdxxxh，22)4(3)1(! 4)()()(xxfxhxfdxxxfdxxsxfxxr2103)4(10)1(!4)( )()()(1440)(60! 4)()1(! 4)()4()4(1023)4(ffdxxxf27、 （10 分）已

55、知数值积分公式为：)()0()()0(2)(20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(xf显然精确成立；xxf)(时， 11022220hhhhxdxh；2)(xxf时，1212220023322302hhhhhhhdxxh；3)(xxf时，30121024223403hhhhhdxxh；4)(xxf时，6401210255324504hhhhhhdxxh；所以，其代数精确度为3。28、 （ 8 分）已知求)0(aa的迭代公式为：2 ,1 ,00)(2101kxxaxxkkk证明 ：对一切axkk, 2, 1，且序列kx是

56、单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2, 1 ,0221)(211kaxaxxaxxkkkkk故对一切axkk, 2, 1。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - -24 又1)11(21)1 (2121kkkxaxx所以kkxx1，即序列kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、 （ 9 分）数值求积公式30)2()1(23)(ffd

57、xxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为)(xf在基点 1、2 处的插值多项式为)2(121)1 (212)(fxfxxp30)2()1 (23)(ffdxxp。其代数精度为1。30、(6 分 ) 写出求方程1cos4xx在区间 0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)nnnxxxcos1411，n=0,1,2,141sin41xx 对任意的初值 1 ,00 x, 迭代公式都收敛。31、(12 分) 以 100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用 newton 插值方法：差分表：100 121 144 10 11

58、 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 2583 xxf00163.0296151008361144115121115100115! 3 25fr32、 (10 分) 用复化 simpson 公式计算积分10sindxxxi的近似值，要求误差限为5105.0。0.9461458812140611fffs精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - -

59、- - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - -25 0.94608693143421241401212fffffs5-12210933.0151sssi94608693.02si或利用余项：!9!7! 5! 31sin8642xxxxxxxf! 49!275142)4(xxxf51)4(xf54)4(45105.05288012880nfnabr，2n，2si33、(10 分 ) 用 gauss列主元消去法解方程组：276234532424321321321xxxx

60、xxxxx 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.00000 1.9375 9.6875 tx0000.5,0000.3 ,0000.234、(8 分) 求方程组12511213121xx的最小二乘解。baxaatt，2081466321xx，0000.23333. 1x若用 householder变换，则：52073.236603.1052