高中数学 第二单元 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质（一）课件 新人教B版选修1-1

1、第二章 2.3抛物线2.3.2抛物线的几何性质(一)1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一抛物线的几何性质思考1类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？答案范围、对称性、顶点、离心率.思考2类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0).思考3参数p对抛物线开口大小有何影响？答案参数p(p0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点f且垂直于对称轴的

2、弦的长度是2p，所以p越大，开口越大.梳理梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yrx0，yrxr，y0 xr，y0对称轴x轴y轴顶点_离心率e_(0,0)1知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：y22px(p0)|ab|x1x2py22px(p0)|ab|p(x1x2)x22py(p0)|ab|y1y2px22py(p0)|ab|p(y1y2)题型探究类型一由抛物线的几何性质求标准方程例例1已知抛物线的焦点f在x轴上，直线l过f且垂直于x轴，l与抛物线交于a，b两点，o为坐标原点，若oa

3、b的面积等于4，求此抛物线的标准方程.解答由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，所以|ab|2|m|.因为oab的面积为4， 引申探究引申探究等腰直角三角形aob内接于抛物线y22px(p0)，o为抛物线的顶点，oaob，则aob的面积是a.8p2 b.4p2 c.2p2 d.p2答案解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接aob为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线ab与抛物线的对称轴垂直，从而直线oa与x轴的夹角为45.所以易得a，b两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p).把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一

4、次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点p到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程.解答设抛物线的方程为y22ax(a0)，点p(x0，y0).因为点p到对称轴距离为6，所以y06.因为点p到准线距离为10，因为点p在抛物线上，所以362ax0， 所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.类型二抛物线的焦点弦问题例例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点f，且与抛物线相交于a、

5、b两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|ab|的值；解答因为直线l的倾斜角为60，设a(x1，y1)，b(x2，y2).则x1x25.x1x2p，所以|ab|538.(2)若|ab|9，求线段ab的中点m到准线的距离.解答所以x1x26，所以线段ab的中点m的横坐标是3.引申探究引申探究本例中，若a，b在其准线上的射影分别为a1，b1，求a1fb1.解答由抛物线定义|aa1|af|，得aa1fafa1，又aa1x轴，ofa1aa1f，ofa1afa1，同理得ofb1bfb1，a1fob1fo90，即a1fb190.反思与感悟(1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y22px

6、(p0)的焦点的弦的端点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可.跟踪训练跟踪训练2直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于a，b两点，若|ab|8，则直线l的方程为_.xy10或xy10答案解析抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|ab|4，不符合题意.所以可设所求直线l的方程为yk(x1).所以所求直线l的方程为xy10或xy10.类型三抛物线的实际应用例例3某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部

7、分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解答以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知a(4，5)在抛物线上，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于b，b时，木船开始不能通航.设b(2，y)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.反思与感悟在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.跟踪训练跟踪训练3如图，有一座抛物

8、线型拱桥，桥下面在正常水位ab时宽20米，水位上升3米就达到警戒线cd，这时水面宽度为10米.若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点o的)解答设所求抛物线的解析式为yax2.设d(5，b)，则b(10，b3)，即再持续5小时水位到达拱桥顶.当堂训练12345设抛物线y22px或y22px(p0)，p4.1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为a.y28x b.y28xc.y28x或y28x d.x28y或x28y答案解析12345答案解析3.已知过抛物线

9、y28x的焦点作直线l，交抛物线于a，b两点，若线段ab中点的横坐标为3，则ab的值为_.1234510答案解析由y28x，得p4，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，23410.12345答案解析4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).符合抛物线方程为y210 x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)12345由抛物线方程y210 x，知它的焦点在x轴上，所以符合.设点p(2,1)，可得kpokpf1，也符合.而显然不符合，通过计算可知、不合题意.应填.123455.求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；解答因此，所求抛物线的标准方程为y216x或x216y.12345(2)顶点是双曲线16x29y2144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴.解答规律与方法1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用