全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种.1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常

2、过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件.图四M图一M图M图三资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档典型例题精讲【例 1】 如图所示，BN 平分/ ABC, P 为 BN 上的一点，并且 PD 丄 BC 于 D, AB+ BC =2BD .求证：.BAP+ . BCP =180 .【解析】过点 P 作 PE 丄 AB 于点 E.VPE AB, PD 丄 BC,

3、 BN 平分/ABC,：PE二PD.在 Rt APBE 和 Rt APBC 中,BP 二 BPPE =PD，Rt z2PBE 细 t BC ( HL),BE=BD./AB BC =2BD , BC 二 CD BD ,AB=BE -AE, AE 二 CD .PE 丄 AB, PD 丄 BC,. /PEB PDB =90 .在 AFAE 和 Rt APCD 中，PE =PDI gPEB 二.PDC ,AE =DCAE 织 t ACD，/PCB EAP .BAP -EAP=180 , BAP BCP =180 .【答案】见解析.资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请

4、联系网站删除谢谢精品文档【例 2】 如图，已知：.A=90 , AD / BC, P 是 AB 的中点，PD 平分/ ADC,求证：CP 平分/ DCB.【解析】因为已知 PD 平分/ ADC，所以我们过 P 点作 PE 丄 CD，垂足为 E,贝 UPA二PE，由 P 是 AB的中点，得PB =PE，即 CP 平分/ DCB .【答案】作 PE 丄 CD，垂足为 E， PEC = A=90， PD 平分/ ADC，PA二PE，又 B = PEC =90，PB=PE，点 P 在/ DCB 的平分线上， CP 平分/ DCB .【例 3】 已知：.AOB =90，OM 是/ AOB 的平分线，将三

5、角板的直角顶点P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA、OB 交于 C、D .(1)PC 和 PD 有怎样的数量关系是 _资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(2)请你证明(1)得出的结论.资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档【解析】（1） PC = PD .(2)过 P 分别作 PE 丄 OB 于 E, PF 丄 OA 于 F , CFP - DEP =90 ,OM 是/AOB 的平分线，PE =PF, 1 FPD =90，且 AOB =90，二 FPE =90 , 二 2 FPD =90，二 1 =2, 在CFP 和 ADEP 中CPF DEPPF 二 PE,

6、 AZCFP 也 zDEP , PC =PD .1 = . 2【答案】见解析.【例 4】 如图，OP 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:（1）如图，在 ABC 中，/ ACB 是直角，.B =60 , AD、CE 分别是/ BAC、/ BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F，请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图，在 ABC 中，.B =60，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由.【解析】如图所示;(1)FE二FD.OP 所在直线为对称轴的全等三角资料收集于网

7、络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(2)如图，过点 F 作 FG 丄 AB 于 G,作 FH 丄 BC 于 H，作 FK 丄 AC 于 K,AD、CE 分别是/BAC、/BCA 的平分线，二 FG 二 FH 二 FK ,在四边形 BGFH 中，-GFH =360 -60 -902 =120 ,AD、CE 分别是/BAC、/BCA 的平分线， /B =60 ,1. FAC . FCA 180 -60=60 .在AFC 中， /AFC =180 :上 FAC FCA i=180 -60 =120 ,:上EFD ZAFC =120 ，乙 EFG ZDFH , 在 AEFG 和 ADFH 中,EFG

8、 二.DFH比 EGF 二.DHF , AZEFG 也QFH , FE =FDFG 二 FH【答案】见解析.1【解析】(1)得到 ACD =/ACB =30 后再可以证得 AD 二 AB 二AC，从而，证得结论；2(2)过点 C 分别作 AM、AN 的垂线，垂足分别为 E、F，证得 CED BJCFB 后即可得到AD AB =AE _ED AF FB =AE AF，从而证得结论.【例 5】 已知.MAN =120 , AC 平分/ MAN，点 B、D 分别在 AN、AM 上.(1)如图 1，若 ZABC ZADC =90，请你探索线段 AD、AB、AC 之间的数量关系，并证明 之；(2) 如图

9、 2,若.ABC . ADC =180 ,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立， 给出证明; 若不成立，请说明理由.资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档【答案】（1 ）关系是：AD AB =AC .证明： AC 平分/MAN , MAN =120 CAD - CAB =60又.ADC 二 ABC =90 , ACD 二 ACB =301则 AD =AB =-AC （直角三角形一锐角为 30 ,则它所对直角边为斜边一半）2 AD AB =AC ;（2 ）仍成立.证明：过点 C 分别作 AM、AN 的垂线，垂足分别为 E、FAC 平分/MANCE 二 CF （角平分线上点到角两边距离相

10、等） /ABC 4ADC =180 ， /ADCCDE =180 CDE ABC又 CED - CFB =90 ,z.JCED /CFB （AAS ）ED =FB,AD AB = AE -ED AF FB =AE AF由（1）知 AE AAC , AD AB =AC .【例 6】 如图，在 ABC 中，.C =2. B , AD 平分/ BAC，求证： AB _ AC 二 CD .资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档【解析】在 AB 上截取点 E,使得 AE =AC .TAD 平分/ BAC,. EAD ZCAD ,ZADE zADC (SAS) . AED = C , ED 二

11、CD .TC =2 B,AED=2 B. AED =/BEDB,B =/EDB, BE =DE. CD 二 BE = AB -AE 二 AB - AC .【答案】见解析.【例 7】 如图，ABC 中，AB = AC , A =108 ,BD平分.ABC 交 AC 于D点.求证：B AC CD .【解析】在 BC 上截取E点使BE =BA，连结DE.TBD平分 ABC , . ABD = EBD.在ABD与EBD中TAB=EB,- ABD = EBD,BD = BDABD也EBD，/A ZDEBTAB=AE, BADBED, DEC =72 .又TADB =3618 =54 , CDE =72精

12、品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 . CDE 二.DEC , CD 二 CETBC =BE EC, -BC = AC CD【答案】见解析.【解析】在 DA 上截取 DN =DB，连接 NE, NF，贝 U DN =DC ,在 ADBE 和 ADNE 中：【例 8】 已知 ABC 中，.A =60，BD、CE 分别平分.ABC 和.ACB，断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明.【解析】在 BC 上截取一点F使得BF = BE,易证 BOE3、BOF ,在根据.BOC =120 推出.BOE = COF =60，再证明.：OCF：OCD 即可.【答案】BC 二 BE CD .【

13、例 9】 如图：已知 AD ABC 的中线，且 Z1 Z2，乙3 Z4，求证:BE CF EF .BD、CE 交于点 O，试判精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢ZfDN =DB/ = .2ED =EDZDBE /DNE ( SAS), / BE =NE同理可得：CF =NF在AEFN 中，EN FN EF (三角形两边之和大于第三边) BE CF EF .【答案】见解析.【例 10】已知：在四边形 ABCD 中，BC BA , A . C =180，且.C =60 , BD 平分/ ABC,求证:BC =AB DC .【解析】在 BC 上截取BE =BA,BD 平分/ABC ,A

14、BD二EBD,在 ABAD 和 ABED 中，BA =BE；_ABD = EBD ,BD 二 BD./BADBAED, AD =DE,A二BED. BED DEC =180 , A C =180 .C精品文档 C “DEC , DE =DC . DC =AD . C =60 ,.ZCDE 是等边三角形,.DE =CD =CE，二 BC =BE CE =AB CD .【答案】见解析.【例 11】观察、猜想、探究：在厶 ABC 中，.ACB=2. B.(1)如图，当.C =90 , AD 为/BAC 的角平分线时，求证：AB = AC CD ;(2)如图，当.C =90 , AD 为/ BAC 的

15、角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量 关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图，当 AD ABC 的外角平分线时，线段 AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？请 写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.【解析】(1)过 D 作 DE 丄 AB，交 AB 于点 E,理由角平分线性质得到 ED=CD，利用 HL 得到直角三角 形 AED与直角三角形 ACD 全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到 AE=AC ,ZAED ZACB，由/ACB =2EB，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等 边得到BE二DE，由AB二AE * EB，等量代换即可得证；(2)A

16、B =CD - AC，理由为：在 AB 上截取 AG = AC，如图 2 所示，由角平分线定义得到 一对角相等，再由AD =AD，利用 SAS 得到三角形 AGD 与三角形 ACD 全等，接下来同(1) 即可得证；图圍圜资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(3)AB =CD - AC，理由为：在 AF 上截取 AG =AC，如图 3 所示，同(2)即可得证.【答案】(1 )过 D 作 DE 丄 AB,交 AB 于点 E,如图 1 所示，VAD 为/BAC 的平分线，DC 丄 AC, DE 丄 ABDE 二 DC ,在 RtACD 和 Rt AED 中，AD = AD, DE = D

17、C ,RtKCD 职AAED(HL) ,/ AC =AE,ZACB =NAED, ACB =2 B ,AED=2B,又AED B EDB,B EDB,BE =DE =DC，贝UAB =BE AE =CD AC ;(2)AB =CD - AC，理由为：在 AB 上截取 AG 二 AC，如图 2 所示，VAD 为/BAC 的平分线， ZGAD ZCAD ,| AG = AC 在kDG 和AADC 中，！ GAD =. CADAD 二 AD ZADG 也 zADC ( SAS), CD =CG，厶AGD =ACB ,VZACB =2 ZB , 4AGD =2B ,又VAGDMBGDB，三 B GDB

18、 , BE =DG =DC，贝UAB =BG AG =CD AC ;(3)AB =CD -AC，理由为：在 AF 上截取 AG =AC，如图 3 所示，TAD 为/FAC 的平分线， GAD 二 CAD ,在ADG 和AADC 中，AG =AC丿/GAD - CAD ,.ADGADC ( SAS),AD =AD资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档CD 二 GD , - AGD 一 ACD，即 ACB 一 FGD ,VACB =2 B , FGD =2 B，又VFGD = B GDB , B= GDB , BG 二 DG 二 DC，贝UAB 二 BG - AG 二 CD - AC .

19、【例 12】 如图所示， 在 ABC 中， .ABC =3. C , AD 是/ BAC 的平分线， BE 丄 AD 于 F. 求证： BE =1 AC - AB .【解析】延长 BE 交 AC 于点 F.则 AD 为/BAC 的对称轴，BE 丄 AD 于 F ,点 B 和点 F 关于 AD 对称，1BE 二 EF BF ,AB=AF,ABF二 AFB.2 ABF + FBC - ABC =3 C , - ABF - AFB - FBC+ C , FBC + C+ FBC =3 C , FBC = C , FB 二 FC ,11 1 BE FC AC AF ACAB ,2 2 21BE AC

20、AB .2【答案】见解析.资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢【例 13】如图，已知： ABC 中 AD 垂直于/ C 的平分线于 D, DE / BC 交 AB 于 E.求证：EA=EB.【解析】由 AD 垂直于/C 的平分线于 D，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长 AD 交 BC 与点F，得 D 是 AF 的中点，又因为 DE/BC，由三角形中位线定理得EA = EB.【答案】延长 AD 交 BC 与点 F,CD 平分ZACF , /1 Z2，又 AD 丄 CD ,从 DC 迫 FDC , AD=FD,又/DE /BC,

21、EA=EB .【例 14】已知：如图，在 ABC 中，.ABC =3. C , . 1 二/2, BE 丄 AE.求证： AC-AB=2BE .【解析】延长 BE 交 AC 于 M ,BE 丄 AE , AEB AEM =90在AABE 中，/ 13 AEB =180 ,- 3 =90 _ 1精品文档12, 34 ,ABAM资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档BE 丄 AE,.BM =2BE, AC - AB =AC -AM =CM , 2 是厶 BCM 的外角， 4 - C ABC =3 C , ABC = 3 5= 45 3 C = 45 =2 5 C , 5 = CCM =B

22、M , AC - AB =BM =2BE【答案】见解析.【例 15】如图，已知 AB =AC , / BAC =90 , BD 为/ ABC 的平分线，CE 丄 BE,求证：BD =2CE .A【解析】延长 CE，交 BA 的延长线于点 F .BD 为/ABC 的平分线，CE 丄 BE, ZBEF 也 ZBEC,. BC 二 BF , CE = FE . BAC =90 , CE 丄 BE,. ABD = ACF ,又 AB 二 AC，岔 BD 旦 ZACF, BD =CF . BD =2CE .【答案】见解析.资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删

23、除谢谢精品文档精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢课后复习【作业 1】如图所示，在AABC 中，BP、CP 分别是/ ABC 的外角的平分线，求证：点 P 在/ A 的平分线上.【解析】过点 P 作 PE 丄 AB 于点 E, PG 丄 AC 于点 G, PF 丄 BC 于点 F.因为 P 在/EBC 的平分线上，PE 丄 AB, PH 丄 BC,所以PE = PF.同理可证 PF =PG .所以 PG =PE ,又 PE 丄 AB, PG 丄 AC,所以 P 在/A 的平分线上,【答案】见解析.【作业 2】已知：如图， AB=2AC，/ BAD ZCAD ,DA=DB，求证：DC 丄 AC.C资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档1【解析