2022年微积分专题讲座-知识点综述

1、微积分专题讲座（上）第一讲极限与连续大纲要求1. 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2. 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4. 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5. 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6. 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7. 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8. 连续函数的性质和初等函数的连续性. 9. 闭区间上连续函数的性质( 有界性、最大值和最小值定理、

2、介值定理). 一、求极限的方法求极限是重点的内容，必须熟练掌握各类极限（尤其是不定式）的求法. 求极限的方法有：极限的定义；连续的定义；导数的定义（增量比的极限）；定积分的定义（积分和的极限）；两个重要极限（类型与形式的统一：00sin( )1( )xx，11( )(1( )exx（( )0 x） ；无穷小与有界函数的乘积是无穷小；单调有界准则（用于证明极限存在，然后用递推式求极限）；夹逼准则【适当放缩】；极限存在的充要条件（极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等）；初等变形（根式有理化、对数恒等式等）；变量替换（倒代换、线性代换等）；极限运算法则（注意条件）；等价无穷小代换；洛必达法则（适

3、用于00或者且导数之比的极限存在或者为） ；微分中值定理（增量型极限）；泰勒公式（用五个函数e ,sin ,cos ,ln(1),(1)xxxxx的麦克劳林公式） ；积分中值定理（积分型极限）. 二、与极限有关的问题1. 确定极限式中的常数（极限的反问题）；2. 已知一个极限，求另一个极限；3. 无穷小比较；4. 连续性的讨论；5. 间断点的分类；6. 可导性的讨论；7. 渐近线； 8. 用极限定义函数；9. 用极限研究函数的局部性态等. 第二讲导数及其应用大纲要求1. 导数和微分的概念、几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数

4、和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数 . 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达【 lhospital 】法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线【水平、铅直和斜渐近线】、函数图形的描绘. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -8. 函数最大值和最小值及其简

5、单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 一、求函数的导数（或者微分）必须熟练掌握求导公式、求导法则以及各类函数的一、二阶导数的求法：初等函数（正确使用求导公式与法则）；分段函数（分段点必须用定义求导）；隐函数（用两边求导法或者公式法）；参数方程确定的函数（用导数公式：dydydtdxdxdt，22ddyd ydtdxdxdxdt） ；抽象函数（正确使用导数记号，注意2()fx和2()f x的区别）；幂指函数（对数求导法）；反函数（导数公式：1dxdyy） 。二、 函数的零点（方程的根）存在性的证明务必通过例题熟练掌握函数零点存在性的证明方法. 证明步骤：判断零点类型【函数的零点用零点定理，导

6、函数的零点用罗尔定理）；构造辅助函数；验证定理条件；得出结论 . 利用罗尔定理证明零点问题，难点是构造辅助函数. 请记住下面的常用结论：若方程为( )( )0f xxfx，则令( )( )f xxf x；若方程为( )( )0fxf x，则令( )( )xf xf x e；若方程为( )( )( )0fxf x g x，则令( )( )( )g xf xf x e；若方程为( )0f x，且( )f x连续，则令( )( )xaf xf t dt. 若函数有三个点的函数值相等，则导函数有两个零点，二阶导函数有一个零点.三、不等式的证明务必通过例题熟练掌握证明不等式的方法. 证明不等式的方法有：

7、用中值定理利用( )( )( )f bf afba将函数不等式转化为导数不等式或者将导数不等式转化为函数不等式. 用单调性：若)(xf在 , a b上递增，则对,( )( )( )axb f afxf b，特别当( )0f a时，( )0f x；121212, , ,()()x xa bxxf xf x. 用最值：若)(xf在 , a b上有最大值m和最小值m，则对 , ,( )xa bmfxm. 用凸凹性：若)(xf在 , a b上是凹的，则曲线( )yf x任一点的切线位于曲线下方，任意两点的连线（弦）位于曲线上方.用泰勒公式用积分不等式：设 , xa b，( )( )f xg x，则(

8、)( )bbaaf x dxg x dx. 推论( )( )bbaaf x dxf x dx. 用估值不等式：设 , xa b，( )mf xm，则()( )()bam baf x dxm ba. 将常量不等式转化为变量不等式，是证明不等式的重要方法，必须熟练掌握. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -第三讲一元函数积分学大纲要求1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式. 3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-

9、 莱布尼茨【newton-leibniz】公式 .4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分 . 7. 定积分的应用： 平面图形的面积、 平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值一、不定积分求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被积函数化为“22 个函数”之一或者它们的线性组合，利用积分公式和线性性质求出积分.三类典型题1.凑微分（复合）型： ( )( )fxx dx（根据复合抓住u）2.换元（根号）型：被积函数含2222,axxanaxb，n

10、axbcxd，e1x等3.分部积分（乘积）型：uv dx（反对幂指三，逆序找函数）二、定积分定积分的计算计算定积分的方法有：几何意义（要求下限小于上限）；牛顿 - 莱布尼茨公式（基本方法）设( )f x在 , a b连续 .( )f x为( )f x在 , a b上的任意一个原函数，则有( )( )( )baf x dxf bf a.换元法（换元必换限）设函数 , fc a b且函数( )xt满足下列条件：t时，xa；t时，xb；,t时， , xa b；,c，则( ) ( )( )baf x dxftt dt. 分部积分法设函数(1), , u vca b，则bbbbbbaaaaaauv dx

11、udvuvvduuvvudx. 某些特殊函数的积分分段函数（分段积分）；奇偶函数：若( )f x为奇函数，则( )0aaf x dx；若( )f x为偶函数，0( )2( )aaaf x dxf x dx. 周期函数：设( )f x的周期为t，则0( )( )a ttaf x dxf x dx.某些三角函数：2200(sin)(cos )fx dxfx dx；00(sin)(sin)2xfx dxfx dx；记2200sincosnnnixdxxdx，则有递推公式21nnniin. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页

12、 - - - - - - - - -含f，f（用分部积分）变限积分（用分部积分）若)(xf在 , a b上连续，则( )( )xaxf t dt在 , a b上可导，且 , xa b，( )( )xf x. 公式( )( )bxdf t dtfxdx；( )( )( ( )( )xadf t dtfxxdx；( )( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx当被积函数含变量x时不能直接求导， 必须将变量x从被积函数中分离出去，常用的方法是： 提出去或者换元. 二、定积分的证明积分等式的证明：证明关于定积分的等式，要根据被积函数和积分区间，选择适当的方法. 三、定积分的

13、应用1 定积分的元素法设量u对区间具有可加性，计算步骤如下；求量u的分布区间 , a b；求量u相应于小区间 , , x xdxa b的近似值（元素）( )duf x dx，误差为()ox；写出量的积分表达式( )bauf x dx；计算积分 . 关键是：求量u的分布区间 , a b和相应于小区间 , , x xdxa b的近似值（元素）( )duf x dx.第四讲微分方程大纲要求1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等；2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利【bernoulli】方程、全微分方程；3. 可用简单的变量代换求解的某些微

14、分方程、可降阶的高阶微分方程；4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理；5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积；7. 欧拉【 euler 】方程；8. 微分方程的简单应用；一、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是：( ,)0f x y y，解出y：( ,)dyf x ydx，要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 二、 可降阶的微分方程1.( )yf x型的

15、微分方程特点：右端仅含x.解法：积分两次. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -2.( ,)yf x y型的微分方程特点：右端不显含未知函数y.解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下：令yp，则dpypdx，方程化为( ,)pf x p（这是关于变量x，p的一阶方程） ；解出p；再由yp解出y.3.( ,)yf y y型的微分方程特点：右端不显含x.解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下：令yp，则dpdp dydpypdxdy dxdy，方程化为( ,)dppfy pdy（这是

16、关于变量y，p的一阶方程）；解出p；再由yp解出y.二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解. 三、二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式：( )( )( )yp x yq x yf x，若( )0f x，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.二阶常系数线性齐次方程0ypyqy先求出它的特征方程20rprq的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）. 特征方程20rprq的根方程0ypyqy的通解两个不等实根12,r r1212eer xr xycc两个相等实根12rr112()er xycc x两个共轭复根1,2ri12e cos

17、sinxycxcx大纲还要求会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 2.二阶常系数线性非齐次方程( )ypyqyf x的特解考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、 正弦函数、 余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解. 读者要熟练掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积时特解的形式 .1.若( )( )exmf xp x，则令*( )ekxmyx qx，其中0,12k不是特征根；， 是单特征根；， 是二重特征根.2.若( )e ( )cos

18、( )sinxmlf xpxxp xx，则令*e ( )cos( )sinkxnnyxqxxqxx，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -其中max,nm l，0,1iki不是特征根；，是单特征根 .3.欧拉方程2( )x ypxyqyf x令,lntxe tx，则dyxydydt，222(1)d ydyx yd dydtdt，代入欧拉方程，将方程化为二阶常系数线性方程求解.4.含变限积分的方程（积分方程）积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限

19、）. 微积分专题讲座(下) 第一讲向量代数和空间解析几何一、向量代数1 向量的概念既有大小又有方向的量称为向量. 向量a的大小称为向量a的模，记作a，模为 1 的向量称为单位向量，与x轴，y轴，z轴同向的单位向量分别记作i，j，k. 若a为非零向量，则aaea是与a同向的单位向量. 任一向量aaa e，这是表示向量的一种重要方法. 若向量a与b模相等、方向相同（经平行移动能够重合），则称向量a与b相等，记作向量ab. 向量a与b的正方向的夹角，称为向量a与b的夹角，规定0,. 向量a与x轴，y轴，z轴正方向（i，j，k）的夹角,称为向量a的方向角，方向角的余弦cos,cos,cos称为向量a的

20、方向余弦 . 以原点为起点，( , , )a x y z为终点的向量aoa称为点a的向径，( , , )aoaxiyjzkx y z，( , , )x y z称为向量aoa的坐标 . 设(,)xyzxyzaa ia ja kaa a，其模222xyzaaaa，方向余弦cos,cos,cosyxzaaaaaa，且222coscoscos1. 将向量a单位化(cos ,cos,cos )aaea，这是求方向余弦的基本方法. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -例题1.以1111(,)mx

21、 y z为起点，2222(,)mxyz为终点的向量12212121(,)m mxx yy zz. 终点坐标减去起点坐标. 2.求质量为m的质点( , , )x y z对质量为m的质点000(,)xyz的引力 . 解引力大小2mmfgr，与f同方向的单位向量000(,)fxxyyzzer，则引力fff e，其中222000()()()rxxyyzz. 本题求引力的方法在用积分求连续体对质点的引力时很重要. 2 向量的运算进行向量运算时，一要注意运算的可行性，二要掌握向量的运算律. 设向量(,)xyzxyzaa ia ja kaaa，(,)xyzxyzbb ib jb kb b b. 向量的加法a

22、b由平行四边形法则或者三角形法则给出，其坐标运算为(,)xxyyzzababab ab，. .数乘向量a是一个向量， 其模aa，其方向规定为：当0时，a与a同向，当0时，a与a反向，其坐标运算为(,)xyzaaaa. 向量的加法和数乘统称为向量的线性运算，它们的运算律（交换律、结合律、数乘对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同. 向量的数量积cosa ba b，其中为向量a与b的夹角，其坐标运算为xxyyzza ba ba ba b. 向量的数量积的运算律（交换律，对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.向量的向量积ab是一个向量，其模sinaba b，其方向垂直于,a b且, ,a b

23、ab符合右手规则，其坐标运算为xyzxyzijkabaaabbb. 向量的混合积()xyzxyzxyzaaaabcabcbbbccc. 向量的向量积、混合积的运算律可利用它们的坐标运算并结合行列式性质记忆，如0aa，abba，()abcaba c，abcbcacab.进行向量运算时，尤其要注意向量运算和实数运算的差别：向量的向量积不满足交换律，即a bba；向量的数量积和向量积不满足零因子律，即0a b0a或者0b，0ab0a或者0b；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -向量的数量积

24、和向量积不满足消去律，即a ba cbc，abacbc. 3 向量在几何上的应用由数量积的定义知2a aa；cosa ba b；0aba b. 因此可以用数量积求向量的模（长度）；求两个向量的夹角；讨论向量的垂直关系. 由向量积的定义知以向量,a b为邻边平行四边形的面积sab；,aba a bb；/0,ababr ba或者yxzxyzaaaabbbb. 因此可以用向量积求平行四边形的面积和三角形的面积；判断三点共线：三点,a b c共线的充要条件是0abac，求一个同时垂直于, a b的向量 . 由混合积的几何意义知，混合积abc的绝对值等于以向量, ,a b c为共点棱的平行六面体的体积.

25、 因此可以用混合积求平行六面体的体积和四面体体积；判断四点共面：四点,a b c d共面的充要条件是()0abacad. 向量在平面、直线问题中有广泛应用：推导平面的点法式方程推导直线的点向式（对称式）方程求平面与平面的夹角（法向量的夹角）、直线与直线的夹角（方向向量的夹角）、直线与平面的夹角（方向向量与法向量夹角的余角） ；讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系；推导点到平面的距离公式；推导点到直线的距离公式；求两条异面直线的公垂线的长；解决平面几何、立体几何问题，推导余弦定理. 二、平面与直线(一) 平面的法向量与平面方程主要内容有1.平面的法向量任何垂直于平面的非零向量.

26、 2.平面的方程平面的点法式方程过点000(,)xyz且法向量为( ,)na b c的平面方程为000()()()0a xxb yyc zz；平面的一般式方程0axbyczd；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -平面的截距式方程1xyzabc. 3.求平面方程的方法利用平面的点法式方程，关键是找出平面上一点和平面的法向量，这是求平面方程的基本方法. 利用平面的一般方程，这种方法主要用于求特殊位置的平面方程. 利用过直线l：1111222200axb yc zda xb yc zd的平

27、面束方程11112222()0axb yc zda xb yc zd，关键是由题设条件确定其中的参数. 利用求点的轨迹的一般方法. (二) 直线的方向向量与直线方程主要内容有：1.直线的方向向量任何平行于直线的非零向量2.直线的方程直线的点向式（对称式）方程过点000(,)xyz且方向向量为(, ,)sm n p的直线方程为000 xxyyzzmnp；直线的参数式方程000 xxm tyyn tzzp t；直线的一般式（面交式）方程1111222200a xb yc zda xb yc zd3.求直线方程的方法利用直线的点向式（对称式）方程，关键是找出直线上一点和直线的方向向量，这是求直线方程

28、的基本方法. 利用直线的一般方程，关键是找出直线所在的两个平面.(三) 平面与平面的夹角、直线与直线的夹角、直线与平面的夹角？如何讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系平面与平面的夹角定义为它们的法向量的夹角；直线与直线的夹角定义为它们的方向向量的夹角；直线与平面的夹角定义为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角，并规定这些夹角取值范围为0,2. 平面与平面平行的充要条件是它们的法向量平行；平面与平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；直线与直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；直线与直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向

29、量垂直；直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行. 综上所述，平面与平面、直线与直线、直线与平面的夹角、垂直、平行问题均转化为它们的法向量和方向向量的夹角、垂直、平行问题( 四)点到平面的距离，点到直线的距离其几何意义是以0,pp s为邻边的平行四边形的高. 三、曲面与曲线精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -（一）旋转曲面旋转曲面是曲线绕定直线旋转所形成的曲面，该曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的轴. 求旋转曲面方程的方法有：利用已知结论：yoz面上的曲线

30、( , )0fy z绕z轴旋转所得旋转曲面方程为22(, )0fxyz，yoz面上的曲线( , )0fy z绕y轴旋转所得旋转曲面方程为22( ,)0f yxz. 例如yoz面上的曲线2zy绕z轴旋转所得旋转曲面方程为22zxy，绕y轴旋转所得旋转曲面方程为222xzy.利用求曲面方程的一般方法. （二）柱面柱面是直线沿曲线平行移动所形成的曲面，该曲线称为柱面的准线，该直线称为柱面的母线. 母线平行于z轴的柱面方程为( , )0f x y，方程中不含z. （三）曲线与曲线在坐标面上的投影空间曲线可以看作两个曲面的交线. 1.曲线方程曲线的一般方程( , , )0( , , )0f x y zg

31、 x y z曲线的参数方程( )( )( )xx tyy tzz t2.空间曲线在坐标平面上的投影空间曲线的方程为( , , )0( , , )0f x y zg x y z，由曲线方程消去z得到投影柱面方程( ,)0h x y，从而得到在xoy面上的投影方程( , )00h x yz（四）二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面和椭圆锥面）考纲要求了解常用二次曲面的方程及其图形（用截痕法）.椭球面的标准方程：2222221xyzabc；抛物面的标准方程：2222xyzpq（0pq时为椭圆抛物面，0pq时为双曲抛物面） ；双曲面的标准方程：2222221xyzabc（单叶） ,2222221xyzab

32、c（双叶）；椭圆锥面的标准方程：2222220 xyzabc.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -（五）立体的图形作立体图，重要的是把关键的点、线、面画出来，如立体的边界曲面与坐标面的交线，找出它们的公共点，画出立体的边界曲面的交线，从而画出立体图形. 第二讲多元微分学一、多元微分学概念及其关系1.极限二元函数( ,)fx y在点00(,)xy处的极限00lim( , )xxyyf x ya表示( ,)p x y以任何方式趋近于000(,)p xy，函数( ,)zf x y趋近于常

33、数a.若找到两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim00yxfyyxx不存在，则可断言),(yxf在点),(000yxp处极限不存在，这种证明极限不存在的方法称为特殊路径法.2.连续如果0000lim( ,)(,)xxyyf x yfxy，则称函数( , )f x y在点00(,)xy处连续 . 关于多元函数的连续性有如下结论多元初等函数在其有定义的区域内是连续的有界闭区域上的连续函数有最值定理和介值定理. 3.偏导数二元函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数0000000(,)(,)(,)limxxf xx yfx

34、yfxyx；函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数为0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy. ),(00yxfx实质上是一元函数0( ,)zf x y在点0 x处的导数0 xxdzdx，因此),(00yxfx只能反映一元函数0( ,)zf x y在点0 x处的连续性、可微性. 偏导数的几何意义：偏导数),(00yxfx是曲面),(yxfz被平面0yy所截得的曲线在点),(,(00000yxfyxm处的切线xtm0对x轴的斜率；偏导数),(00yxfy是曲面被平面0 xx所截得的曲线在点0m处的切线ytm0对y轴的斜率 . 4.全微分：如果函数),(yx

35、fz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oybxaz，其中22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，ybxa称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即dz=ybxa. 若函数),(yxfz在点),(yx可微，则全微分zzdzdxdyxy. 函数),(yxfz在点),(yx可微00( , )( , )lim0 xyxyzfx yxfx yy. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - -二元函数( , )f x y在点00(,

36、)xy处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：函数),(yxfz在点),(00yx(极限存在 ) (连续 )(可微 )(偏导数连续 ) (可偏导 )( 方向导数存在)2 二元函数的极限的计算（二重极限）求二元函数的极限是一件困难的事情，读者只要会求一些简单的极限就可以了，求简单极限的主要依据是：一元函数极限的四则运算和幂指运算法则对二元函数成立；一元函数极限的某些结论（无穷小乘有界函数、两个重要极限）对二元函数成立；二元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的二、偏导数和全微分的计算：1 基本求导运算：类似一元函数，对一个自变量求偏导数，其余的自变量看

37、作常数.2 抽象复合函数的一、二阶偏导数首先要弄清函数、中间变量、自变量，然后正确运用复合函数求导法则：设函数( , )uu x y及( ,)vv x y都在点( , )x y具有偏导数，函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数，则复合函数 ( , ), ( , )zf u x yv x y在点( , )x y的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz.法则表明：复合函数对自变量求导必须通过所有中间变量.复合函数求导时，除了正确使用法则外，还要正确理解和使用记号. 1f表示对第一个中间变量求导，12f表示先对第一个中间变量求导，再对第

38、二个中间变量求导，其余记号有类似含义；对中间变量的偏导数1f，2f仍然是两个中间变量的函数；如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域d内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 . 本题中1221ff，应该合并 . 3 隐函数的偏导数求隐函数的偏导数的方法有：两边求导法；公式法，使用时务必正确理解和运用隐函数求导公式：设函数( )yf x由方程( ,)0f x y确定，则yxffdxdy. 设函数( , )zf x y由方程( , , )0f x y z确定，则zxffxz，zyffyz. 全微分法，使用时务必正确理解和运用全微分形式的不变性：精品学习资料 可选择

39、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -无论,u v是自变量还是中间变量，函数( , )zf u v的全微分uvdzf duf dv. 三、方向导数与梯度（一）方向导数1.概念三元函数),(zyxfu在点0000(,)p xyz沿方向l的方向导数0000000000(,)(cos ,cos,cos )(,)limtxyzf xtytztf xy zflt，其中cos，cos，cos为l的方向余弦 .2.计算公式若函数),(zyxfu在点( , , )x y z可微，则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在

40、，且有coscoscosfffflxyz，其中cos，cos，cos为l的方向余弦 . 3.计算步骤求),(zyxfu在点0000(,)p xy z的三个偏导数；求方向向量l并单位化，得(cos,cos,cos)llel；代入公式coscoscosfffflxyz. （二）数量场的梯度：关键是理解概念、掌握计算方法.设三元函数),(zyxfu在点( , , )x y z可微，则称grad( , , )( , , )ffff x y zf x y zijkxyz为函数),(zyxfu在点( , )x y z的梯度 .梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数最大的方向，梯度的模为方向导数的最大值，常用

41、于求质点运动轨迹. 四、偏导数的几何应用（一）曲线的切线和法平面方程求切线方程的关键是：切点和切向量（切线的方向向量）. 空间曲线( )( )( )xx tyy tzz t在点000(,)m xyz处的切向量000( ),( ),( )x ty tz t.切线方程为000000()()()xxyyzzx ty tz t.法平面是过切点m且与切线垂直的平面，其方程为000000( )()( )()( )()0 x txxy tyyz tzz. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -如果

42、空间曲线方程为( , , )0( , , )0f x y zg x y z，则它在000(,)m xy z处切向量xyzxyzmijkfffggg. （二）曲面的切平面和法线求切平面的关键是：切点和法向量. 曲面：0),(zyxf在0000(,)mxyz处的法向量为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx. 法线是过切点0m且垂直于切平面的直线，其方程为),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx. 如果曲面方程为( ,)zf x y，即( , )0f x yz，则它在0000(,)mxyz

43、处的法向量0000(,),(,), 1)xynfxyfxy.五、多元函数的极值与最值大纲要求理解二元函数极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值. 1.必要条件定理 1 若( , )f x y在点00(,)xy具有偏导数， 且00(,)f xy是极值，则00(,)0 xfxy，00(,)0yfxy， 即00(,)xy是( , )f x y的驻点 . 2.充分条件定理 2 设( , )f x y在点00(,)xy的某邻域内具有连续的二阶偏导数，00(,)0 xfxy，00(,)0yfxy，记000000(,),(,),(,)xxxyyyafxybfxycfxy，则

44、20acb时，00(,)f xy是极值，且0a时，00(,)f xy是极大值，0a时，00(,)f xy是极小值；20acb时，00(,)f xy不是极值 . 3.求二元函数),(yxfz极值的步骤是：解驻点方程( , )0,( ,)0,xyfx yfx y得驻点00(,)xy；求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xxxyyyafxybfxycfxy；判别： 若20acb，则00(,)f xy是极值， 且0a时，00(,)f xy是极小值，0a时00(,)f xy是极大值；若20acb，则00(,)f xy不是极值 . 4 条件极值：函数(,)zfx y在条件(,)0 x y

45、下的极值000000000(,) ,(,) ,(,) )xyznfxyzfxyzfxyz精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -求条件极值的步骤是：先构造拉格朗日函数( , , )( , )( , )f x yfx yx y；解驻点方程( , )( , )0,( , )( , )0,( , )0.xxxyyyffx yx yffx yx yfx y得00(,)xy；求出相应的函数值00(,)f xy. 注这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函

46、数( , )uf x y z在条件( , , )0 x y z，( , )0 x y z下的极值 . 先构造拉格朗日函数12( , , ,)( , , )f x y zf x y z12( , , )( , , )x y zx y z，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标 . 5 有界闭区域d上连续函数的最值由于有界闭区域d上连续函数的最值一定存在，所以只要求出函数在d的内部和d的边界上可能取得最值的点，并求出这些点处的函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值. 请读者结合下面的例子归纳出求有界闭区域d上连续函数的最值的步骤. 第三讲重积分二重积分1、 二重积分的概念、性质(类似定积分 )

47、2、 二重积分计算公式若果积分区域d 为 x 型区域：)()(21xyyxy，bxa则)()(21),(),(xyxybaddyyxfdxdyxf如果积分区域d 为 y 型区域：)()(21yxxyx，dyc则)()(21),(),(yxyxdcddxyxfdydyxf如果积分区域d：)()(,21rrr，则21( )()( , )( cos ,sin)( cos , sin)ddrf x y df rrrdrddf rrrdrr3、 利用对称性计算二重积分(1) 若区域 d 关于x(或者y)轴对称，),(yxf关于y(或者x)是奇函数，则( , )0df x y d(2) 若区域 d 关于x

48、(或者y)轴对称，),(yxf关于y(或者x)是偶函数，则1),(2),(dddyxfdyxf(3) 若区域 d 关于x轴和y轴都对称，),(yxf关于y和x都是偶函数，则1),(4),(dddyxfdyxf(4) 若区域 d 关于直线y=x对称，则( , )( , )ddf x y df y x d，特别地，( )( )ddf x dfy d4、 计算二重积分的步骤（1）画出积分区域d；考察对称性、选择坐标系、积分次序并确定积分限(关键 )；（2）表为二次积分并计算二次积分；注意：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27

49、页 - - - - - - - - -(1)选择坐标系、积分次序的依据是被积函数和积分区域：当积分区域为圆域、环域及其部分域，被积函数含22yx时，可以考虑采用极坐标计算二重积分(2)计算二重积分的关键是确定积分限，要熟练的掌握确定积分限的方法(直角坐标：投影找区间，穿刺找线段；极坐标：旋转找区间，穿刺找线段) 三重积分1、三重积分的概念、性质(类似定积分 )；2、三重积分的计算方法一：坐标面投影法(先一后二法 ) 若是xy型区域，即12,x y z zx yzzx yx yd，且bxaxyyxyyxdxy,21，则222111,( , )( , )( , )zx ybyxzx yzx yay

50、xzx ydf x y z dvf x y z dz dxdydxdyf x y z dz. 坐标面投影法是计算三重积分的基本方法，计算步骤如下：(1)画出的图形 (至少要画出投影域xyd的图形 )；(2)表为三次积分 (关键是确定积分限，方法是：投影找区域，穿刺找底面)；(3)计算三次积分方法二：坐标轴投影法(截面法、先二后一法) 设空间闭区域12,zx y zx ydczc，其中zd是竖标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域（截面） ，则21( , )(, )zccdf x y z dvdzf x y z dxdy. 计算步骤如下：画出的图形；确定积分限（投影找区间，垂直找截面），21

51、(, ,)(, , )zccdf xyzd vd z f xyz d x y当, ,( )fx y zz时，21( )( )zccdz dvdzz dxdy21( ) ()czcz a ddz，其中()za d为zd的面积 . 方法三：用柱面坐标计算若的投影域为圆域、环域及其部分域，被积函数含有22yx，常用柱面坐标计算方法四：用球面坐标计算若为球域及其部分域，被积函数含有222zyx，常用球面坐标计算3、利用对称性简化三重积分的计算若关于xoy面对称，( , )f x y z关于z是奇函数，则( , , )0f x y z dv；若关于xoy面对称，( , )f x y z关于z是偶函数，则

52、1( , )2(, )f x y z dvf x y z dv. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -若关于,x y对称（即,x y互换，不变），则( , )(, , )f x y z dvfy x z dv. 第四讲曲线积分与曲面积分第一类曲线积分利用曲线的参数方程将第一类曲线积分化为定积分是计算第一类曲线积分的基本方法，计算步骤如下：(1)写出曲线l的参数方程：( ),( ),xx tyy tt；(2)根据计算公式将曲线积分表为定积分(把, ,x y ds依次化为( )x t、

53、( )y t、dtyxtt2)(2)(，并注意积分下限小于积分上限 )：dtyxtytxfdsyxfttl2)(2)()(),(),(3)计算定积分注意1、将曲线积分化为定积分的关键是写出曲线l的参数方程，读者应熟悉曲线的直角坐标方程、极坐标方程、面交式方程化为参数方程的方法2、计算第一类曲线积分时，还可以(1)利用曲线l的方程简化被积函数(此方法仅仅适用于曲线、曲面积分)，(2)利用对称性 (类似二重积分 )简化第一类曲线积分的计算：第二类曲线积分计算第二类曲线积分的方法有：1、利用曲线的参数方程化为定积分，其步骤如下：写出曲线l的参数方程：( ),( )xx tyy t，t从到；根据计算公

54、式将曲线积分表为定积分（注意积分下限对应起点，积分上限对应终点） ：( , )( ,)( ( ),( )( )( ( ),( )( )lp x y dxq x y dyp x ty tx tq x ty ty t dt；(3)计算定积分2、利用格林公式化为二重积分注意 (1)验证格林公式的条件以及条件不满足时的处理办法(封闭化、连续化) (2)方向性环形区域的正向边界曲线：外边界为逆时针方向，内边界为顺时针方向3、利用斯托克斯公式化为第二类曲面积分注意 (1)方向性：曲线的方向与曲面的侧符合右手规则(2)当曲线为平面0axbyczd与曲面的交线 (截交线 )时，可考虑用斯托克斯公式，这是，通常

55、取曲面为0axbyczd，其单位法向量ne222),(cbacba，前面的正负号由的侧确定4、利用曲线积分与路径无关计算第二类曲线积分计算第二类积分时，还可以(1)利用曲线l的方程简化被积函数：(2)利用垂直性简化第二类曲线积分的计算：若曲线l垂直于 x轴，则 x 型积分0lpdx；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -若曲线l垂直于 y轴，则 y 型积分0lpdy全微分方程若微分方程0pdxqdy满足：(1),p qc，qpxy，则称此方程为全微分方程. 求解全微分方程的方法有三种

56、：凑微分法：通过凑微分，得pdxqdydu，通解为( , )u x yc偏积分法：利用,uupqxy，通过偏积分求出( , )u x y，通解为( ,)u x yc线积分法：求出00(, )(,)( , )x yxyu x ypdxqdy，通解为( , )u x yc. 第一类曲面积分计算第一类曲面积分( , , )f x y z ds的步骤是：写出曲面的方程( , )zz x y；求出曲面在xoy面上的投影区域d；利用公式将曲面积分表为二重积分22( , , )( , , ( ,) 1xydf x y z dsf x y z x yzz dxdy；计算二重积分. 在计算第一类曲面积分时，还可

57、以利用曲面的方程简化被积函数；利用对称性简化第一类曲面积分的计算：若关于xoy面对称，( , , )f x y z关于z是奇函数，则( , , )0f x y z ds；若关于xoy面对称，( , , )f x y z关于z是偶函数，则1( , , )2( , )f x y z dsf x y z ds；若曲面关于x，y对称（交换x、y，的方程不变） ，则( , , )( , , )f x y z dsf y x z ds. 第二类曲面积分计算第二类曲面积分的方法有：1、分面投影法分面投影法是计算第二类曲面积分的基本方法，计算曲面积分( , , )r x y z dxdy的步骤如下：写出曲面的

58、方程( , )zz x y；确定曲面的侧（上侧或者下侧） ；求出曲面在xoy面上的投影区域xyd；表为二重积分( , )( , , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x ydxdy，公式中的正负号由曲面的侧确定：上侧取正号，下侧取负号；计算二重积分.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -2、合一投影法：设光滑曲面的方程为( , ),(, )zz x yx yd，则(coscoscos )pdydz qdzdxrdxdypqrdsxydyxyxdxdyrzqzpd

59、xdyrzqzp)()()()(公式中的正负号有曲面的侧确定3、利用高斯公式化为三重积分利用高斯公式计算第二类曲面积分的时候应该注意：(1)验证高斯公式条件(掌握不满足条件时的两种处理方法) (2)方向性：区域边界曲面的外侧计算第二类曲面积分时还可以(1)利用曲面的方程简化被积函数；(2)利用垂直性简化第二类曲面积分的计算：若曲线垂直于xoy面，则xy型积分( , , )0r x y z dxdy，其余类似梯度、散度与旋度数量场的梯度：关键是理解概念、掌握计算方法.设三元函数),(zyxfu在点( , , )x y z可微，则称grad( , , )( , , )ffff x y zf x y

60、 zijkxyz为函数),(zyxfu在点( , )x y z的梯度 .梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数最大的方向，梯度的模为方向导数的最大值，常用于求质点运动轨迹. 向量场的散度与旋度要求了解散度与旋度的概念，并会计算. 1.设向量场(1)( , , )( , , )( , , )( , , )f x y zp x y z iq x y z jr x y z kc，称divpqrfxyz为f在点( , , )x y z处的散度 . 2.向量场(1)( , , )( , , )( , , )( , , )f x y zp x y z iq x y z jr x y z kc，称rotijk