2022年微积分习题册

1、1 微积分练习题册参考解答第一章函数判断题（）1. 1yx是无穷小量；（）2. 奇函数与偶函数的和是奇函数；（）3. 设arcsinyu，22ux，这两个函数可以复合成一个函数2arcsin2xy；（ ）4. 函数1lg lgyx的定义域是1x且10 x；（）5. 函数2xye在(0,)内无界；（）6. 函数211yx在(0,)内无界；（）7. 21( )cosxf xx是奇函数；（）8. ( )f xx与2( )()g xx是相同函数；（）9. 函数xye是奇函数；（）10. 设( )sinf xx，且2 ( )1fxx，则( )x的定义域是(0,1)；（）11. yx 与2yx是同一函数；

2、（）12. 函数31yxx是奇函数；（）13. 函数1arcsin2xy的定义域是( 1,3)；（）14. 函数cos3yx的周期是3；（ ）15. yx 与2xyx不是同一个函数；（）16. 函数cosyxx是偶函数。填空题1.设23 ,tan ,uyuvvx则复合函数为( )yf xx2tan3；2. 设cos,0( ),0 xxf xxx，则(0)f1；3. 设xxxf24)(2，则( 2)f0；4. 设xxf1)(，xxg1)(，则( )f g xx11；5. 复合函数2(sin)xye是由uey, 2vu, xvsin函数复合而成的；精品学习资料 可选择p d f - - - - -

3、 - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - -2 6. 函数43yx的反函数是)3(41xy；7. 已知11()1fxx，则(2)f2；8.141yxx，其定义域为)1 , 4x；9. 设函数2( )1xfxx，则( 1)f23；10. 考虑奇偶性，函数2ln(1)yxx为奇函数 ；11. 函数2xye的反函数是1ln2yx它的图象与2xye的图象关于yx对称；选择题1. 函数32xxy的定义域是

4、（d ）（a）(2,)（b）2,（c）(,3)(3,)u（d）2,3)(3,)u2. 函数22)1(xxy在区间(0,1)内（d ）（a） 单调增加（b） 单调减少（c） 不增不减（d） 有增有减3. 下列函数中，是奇函数的是（ c ）（a）42yxx（b）2yxx（c ）22xxy（d）22xxy4. 已知函数2,0( )1,0axbxf xxx，则(0)f的值为（c ）（a）ab（b）ba（c）1 （d）2 第二章极限与连续判断题（）1. 函数在点0 x处有极限，则函数在0 x点处必连续；（）2. 0 x时，x与 sin x 是等价无穷小量；（）3. 若00(0)(0)f xf x，则)(

5、xf必在0 x点连续；（）4. 当0 x时，2sinxx与x相比是高阶无穷小；（）5. 函数221yx在(,)内是单调的函数；（）6. 设)(xf在点0 x处连续，则00(0)(0)f xf x；（）7. 函数21sin,0( )0 ,0 xxf xxx在0 x点连续；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - -3 （）8. 1x是函数122xx

6、y的间断点；（）9. ( )sinf xx是一个无穷小量；（）10. 当0 x时，x与)1ln(2x是等价的无穷小量；（）11. 若)(lim0 xfxx存在，则)(xf在0 x处有定义；（）12. 若x与y 是同一过程下的两个无穷大量，则xy 在该过程下是无穷小量；（）13. 22xy是一个复合函数；（ ）14. 21sinlim0 xxxx；（）15. 01limsin1xxx；（）16. 22lim(1)xxex；（ ）17. 11, 0, 0, 0,48l1数列收敛2；（）18. 函数1sinyxx在0 x点连续；（ ）19. 0,11xxxx:当时；（ ）20. 函数1( )cosf

7、 xxx，当x时为无穷大；（ ）21. 当1x时，ln x与1x是等价无穷小量；（）22. 0 x是函数ln(2)xyx的间断点；（ ）23. 以零为极限的变量是无穷小量；（）24. sinlim1xxx；（）25. 0sin 25limsin 52xxx；（）26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；（）27. xx )1ln(；（ ）28. 1limsin1xxx；（ ）29. 110lim(1)xxxe；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

8、- - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - -4 （ ）30. 0tanlim1xxx；填空题1. sinlimxxx0；2. 711lim1xxx7；3. limsinxxxx1；4. 函数922xxy在3x处间断；5. 223lim521nnnn53；6. 函数xyln是由uy，vuln，xv复合而成的；7. 22111arcsinxxy的定义域是) 1, 1(；8. 当0 x时，1cos x是比x高阶的无穷小量。9. 当0 x时， 若sin 2x与ax是等价无穷小量，则a2；10. 0()limsinxxxxx1；11.

9、设sin 2,0( ),0 xxf xxax连续，则a2；12. 0limhxhxhx21；13. 函数yx在点0 x连续，但不可导；14. 2lim(1)xxx2e；15. 0ln(13 )limsin 3xxx1；16. 设21,0( )0,0 xexf xx在0 x处是（是、否）连续；17. 当0 x时，42x与93x是同阶（同阶、等价）无穷小量；选择题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

10、 4 页，共 34 页 - - - - - - - - -5 1 当0 x时，xy1sin为 （c ）（a）无穷小量（b）无穷大量（c）有界变量但不是无穷小量（d）无界变量21x时，下列变量中为无穷大量的是（a ）（a）113x（b）112xx（c）x1（d）112xx3. 已知函数22,( )1,1,f xxx11001xxx，则1lim( )xf x和0lim( )xf x（ c ）（a）都存在（b）都不存在（c ）第一个存在，第二个不存在（d）第一个不存在，第二个存在4. 函数( )12xfx11xx的连续区间是（ c ）（a）(,1)（b）(1,)（c）(,1)(1,)（d）(,)5.

11、 函数4cos 2yx的周期是（ c ）（a）4（b）2（c）（d）26.设232,0( )2,0 xxf xxx，则0lim( )xf x（ d ）（a） 2（b）0（c）1（d）27. 函数1,0( )1,0 xf xx，在0 x处 （ b ）（a）左连续（b）右连续（c）连续（d）左、右皆不连续8. 当n时，1sinnn是 （ d ）（a）无穷小量（b）无穷大量（c）无界变量（d）有界变量9.02lim5arcsinxxx（c ）（a） 0 （b）不存在（c）25（d）1 10.( )f x在点0 xx处有定义，是( )f x在0 xx处连续的（ a ）（a）必要条件（b）充分条件（c）

12、充分必要条件（d）无关条件11.下列极限存在的有（ a ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - -6 （a）2(1)limxx xx（b）01lim21xx（c）10limxxe（d ）21limxxx计算与应用题1.设)(xf在点2x处连续，且232,2( )2,2xxxf xxax求a解：axxxxxxxfxxx12)1)(2(lim22

13、3lim)(lim22222.求极限20cos1lim2xxx解：20cos1lim2xxx414sinlim0 xxx3.求极限121lim()21xxxx解：121lim()21xxxxexxxx23212)1221()1221(lim4.解：3344412121limlim0551xxxxxxxxx5.解：xxx10)41(lim41)41(40)41 (limexxx6.解：2)211 (limxxx212)21(20)211()211 (limexxxx7.解：20cos1limxxx212sinlim0 xxx8.解：211lim(22n1)2n0011(1)122limlim(1

14、)11212nnnn9.解：22lim(1)nnn44)21(lim2ennn10. 解：11111lim()lim()lim11(1)xxxxxxxxxxe11. 解：211limlnxxx22lim2lim2111xxxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - -7 12. 解：201limxxexx112lim0 xexx13. 解：2

15、1002lim(1)xxx41004)21 ()21(lim2exxxx14. 解：3813lim2xxx)31)(24)(2()24)(31)(31(lim33233238xxxxxxxxx2)31)(8()24)(8(lim3238xxxxxx15. 解：21lim()1xxxx42121211)1()1(lim)11(limexxxxxxxxx16. 解：3131lim()11xxx)1)(1()1 (3lim221xxxxxx1)1(2lim21xxxx第三章导数与微分判断题（）1. 若函数)(xf在0 x点可导，则00()()fxf x；（）2. 若)(xf在0 x处可导，则)(li

16、m0 xfxx一定存在；（）3. 函数xxxf)(是定义区间上的可导函数；（）4. 函数xxf)(在其定义域内可导；（）5. 若)(xf在 , a b上连续，则)(xf在( , )a b内一定可导；（）6.()(),( )fxfxyeyefx已知则；（）7. 函数22,1( )ln,014xxf xxx在1x点可导；（）8. 若( ),nf xx则()(0)!nfn；（）9. 2()2d axbax；（）10. 若( )f x在0 x点不可导，则( )f x在0 x不连续；（）11. 函数( )fxx x在点0 x处不可导. 填空题1.2( )ln1f xx，则(0)f0；2.曲线3yx在点(

17、1,1)处的切线方程是23xy；3.设lnexeyxexe， 则y= 11exexex；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - -8 4.),1sin(xeydy= cos(1)xxeedx ；5.设222exyx，则y=2ln2221xxxx；6.设exyn，则( )ny！n；7.曲线xexy在点(0,1)处的切线方程是12xy；8.若)(x

18、u与)(xv在x处可导，则)()(xvxu=2)()()()()(xvxvxuxvxu；9.()xx= ) 1(ln xxx；10. 设)(xf在0 x处可导，且axf)(0，则hhxfhxfh)3()2(lim000用 a 的代数式表示为a5；11. 导数的几何意义为切线的斜率；12. 曲线1yx在(1,1)处的切线方程是2321xy；13. 曲线31yx在( 1,0)处的切线方程是)1( 3 xy；14.32sin(1)yxx则dydxxxxx)1cos(2)1sin(32422；15. 曲线2yx在点(0,0)处切线方程是0y；16.dyy的近似值是0； 17.nyx（n是正整数）的n阶

19、导数是！n；选择题1.设)(xf在点0 x处可导，则下列命题中正确的是（a ）（a）000( )()limxxf xf xxx存在（b）000( )()limxxf xf xxx不存在（c）00( )()limxxf xf xx存在（d）00( )()limxf xf xx不存在2.设)(xf在0 x处可导，且0001lim(2 )()4xxf xxf x， 则0()fx等于 （d ）（a） 4 （b） 4 （c） 2 （d） 2 3.设21,10( )1,02xxf xx，则)(xf在点0 x处（a ）（a）可导（b）连续但不可导（c）不连续（d）无定义4.设( )yf x可导，则(2 )(

20、 )f xhf x= （b ）（a）( )( )fx ho h（b）2( )( )fx ho h（c）( )( )fx ho h（d）2( )( )fx ho h精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - -9 5.设(0)0f，且0( )limxf xx存在，则0( )limxf xx等于（b ）（a）( )fx（b）(0)f（c）(0)f（d）

21、1(0)2f6.函数)( xfey，则y（d ）（a）)(xfe（b）)()(xfexf（c）2)()( xfexf（d）)()( 2)(xfxfexf7.函数xxxf)1()(的导数为（d ）（a）xxx)1(（b）1)1(xx（c）xxxln（d）)1ln(1)1(xxxxx8.函数)(xf在0 xx处连续，是)(xf在0 x处可导的（b ）（a） 充分不必要条件（b） 必要不充分条件（c） 充分必要条件（d） 既不充分也不必要条件9.已知lnyxx，则(10)y（ c ）（a）91x（b）91x（c）98!x（d）98!x10.函数xxxf)(在0 x处（d ）（a）连续但不可导（b）

22、连续且可导（c）极限存在但不连续（d） 不连续也不可导11.函数1,0( )1,0 xf xx，在0 x处 （ b ）（a）左连续（b）右连续（c ）连续（d）左、右皆不连续12.设xxyee，则y（ a ）（a）xxee（b）xxee（c）xxee（d）xxee13.函数0,0( )1,0 xfxxx，在点0 x不连续是因为（ c ）（a）(00)(0)ff（b）(00)(0)ff（c）(00)f不存在（d）(00)f不存在14.设1(2)1f xx，则( )fx（ a ）（a）21(1)x（b）21(1)x（c ）11x（d）11x15.已知函数2lnyx，则dy（a ）精品学习资料 可选

23、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - -10 （a）2dxx（b）2x（c）21x（d）21dxx16.设21cos,0( )0,01tan,0 xxxf xxxxx，则( )f x在0 x处（d ）（a） 极限不存在（b） 极限存在，但不连续（c） 连续但不可导（d） 可导17.已知sinyx，则(10)y（ c ）（a）sin x（b）cos x（c ）s

24、in x（d）cos x计算与应用题1.设22( )arccosaf xxaax（0a） ，求( 2 )fa解：222222222221( )()2()1( )xaxafxaxaxaxaxxax325)4(442)2(222222aaaaaaaaf2.设ln()yxy确定y是x的函数，求dxdy解：)(1)(1)ln(xyyxyxyxyxyy)1(yxyyxyyyxy3.设xxy1cos1ln，求dy解：xxxxxxxy1sin11)1()1sin()1(222dxxxxdy)1sin11(24.设21(1)arctancos2yxxx，求y解：1sin21arctan2xxxy5.设xyey

25、ln确定y是x的函数，求dxdy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - -11 解：ln(ln)yyydyyeyyxxdxx ex6.设)ln(lnxy，求dy解：dxxxdxxxxdxydyln1211ln17.221arcsinxyexyx， 求y及 dy解：2221122()sin11xyyexyarcxxx22222(1)11arc

26、sinxyexxxyx22222(1)11arcsinxyexxxdyy dxdxx8.ln tan2xy, 求y及 dy解：xxxycsc212sec2tan12，xdxdxydycsc9.sin()yxy，求y及 dy解：)1()cos(yyxy)cos(1)cos(yxyxydxyxyxdxydy)cos(1)cos(10.221cos5lnxxy，求y及dy解：322sin2xxxydxxxxdxydy)2sin2(3211.arctanxye，求y及dy解：xxeyx2111arctandxxxedyx)1(21arctan12.xyeyx, 求y及dy解：xyyeyxxyeyx1d

27、xxyedyx113. 已知2cos 3yx，求y解：xxxy6sin33)3sin(3cos2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - -12 14. 设22sin0yxy， 求y解：0cos22yyyyycos2215. 求1 3cosxyex的微分解：1 31 31 3( 3cossin)(3cossin )xxxdyy dxexex

28、dxexx dx16. 设2ln(1)yxxx，求y解：22211ln(1)(12 )12 1yxxxxxxx2211)1ln(xxx17. 设cos2 xye，求dy解：cos2( sin 2 ) 2xyexxex2sin22cosdxydy=xdxex2sin22cos18. 方程0yxeexy确定y是x的函数，求y解：0 xyyeyexy，y=xeyeyx19. 设22arctan()1xyx，求y解：22212()211()1xyxxx=22222)1()2(2)1(2)12(11xxxxxx=212x20. 方程2cos0yyxe确定y是x的函数，求y解：0sincos22yexyx

29、yyy，y=yexyxycos2sin221.3coscosxyxxe，求dy解：dxxexxxxdxydyx)sinsincos3(cos3222.lnyxx, 求y解：ln1yx，1yx23. 已知22ln()yxxa，求y解：222211(12 )2yxxxaxa221xa24. 设xyx，求y解：xxylnln，1ln1xyy，y=)1(ln xxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

30、 12 页，共 34 页 - - - - - - - - -13 25. 已知( )sin3f xx，求()2f解：( )3cos3fxx，( )9sin 3fxx，3()9sin922f26. 求2 xeyx的微分；解：222222(21)xxxe xeexyxx22(21)xexdydxx第四章导数的应用判断题（ ）1. y 轴是曲线24(1)2xyx的铅垂渐近线；（ ）2. 曲线3yxx 在(,0)是下凹的，在(0,)是上凹的；（ ）3. 1x是31( )3f xxx在2, 2上的极小值点；（）4. 曲线3yx在0 x点没有切线；（ ）5. 函数可导，极值点必为驻点；（ ）6. 函数的极

31、值只可能发生在驻点和不可导点；（ ）7. 直线2y是曲线2) 1(42xxy的水平渐近线；（）8. 12x是曲线234161xxy的拐点；（）9. 若)(xf在 , a b上连续，在( , )a b内可导，12axxb，则至少存在一点12(,)x x，使得)()()(abfafbf；（ ）10. 若0)(0 xf，0)(0 xf，则)(0 xf是)(xf的极大值；（ ）11. 函数)12ln()(xxf在0,2上满足拉格朗日定理；（）12. 若0 xx是函数)(xf的极值点，则0)( 0 xf；（）13. 函数)(xf在 , a b上的极大值一定大于极小值；（）14. 当x很小时，ln(1)

32、xx；（）15. 30sin1lim3xxxx；（ ）16. 曲线3yx的拐点是(0,0)；（ ）17. 函数( )yf x在0 xx点处取得极大值，则0()0fx或不存在；（）18. 0()0fx是可导函数( )yf x在0 xx点处取得极值的充要条件；（ ）19. 曲线1lnyx没有拐点；（ ） 20. 设( )() ( )f xxax， 其中函数( )x在xa处可导，则( )( )faa；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

33、- - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - -14 （）21. 因为1yx在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内1yx必有最大值。填空题1.求曲线53(2)yx的拐点是(2,0)；2.求曲线21xyx的渐近线为1x；3.limnaxxxe（0,an为正整数） = 0；4.幂函数yx（为常数）的弹性函数是；5.221yxx的单调递增区间为(, 1)；6.函数3( )3xf xx的间断点为x3；7.函数112xy的单调下降区间为), 0(；8.设322axxy在点1x处取得极小值，则a4；9.设3)(axy在(1,)是上凹的，则a1；10.若

34、函数)(xf在区间( , )a b内恒有)(xf 0，则曲线)(xfy在( , )a b内的凹向是上凹 ( 下凸）；11.若3)(xxf，则曲线)(xfy的拐点横坐标是3；12.函数32yx在3x处的弹性是32；13.函数33yxx的单调递减区间是），（ 11；14.xye的渐近线为0y；15.设需求函数(83 )qpp，p为价格，则需求弹性值2peqep2；16.函数24(1)(2)xyxx有2个间断点；17.函数5yxx在0,5上满足拉格朗日中值定理的103；18.函数2(1)yx的单调递增区间是(,1)；19.函数2cosyxx在区间0,2上的最大值是36；20.曲线yx的下凹区间是(0

35、,)；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - -15 21.函数22yxx在0,2上满足拉格朗日中值定理的1；22.函数yxx在区间0,1上的最小值是14；选择题1.函数sinyx 在区间 0, 上满足罗尔定理的 = （c ）（a） 0 （b）4（c）2（d）2.曲线21xyx的铅垂渐近线的方程是（ c ）（a）1y（b）1y（c ）1x（

36、d ）1x3.函数( )yf x在点0 xx处取得极大值，则必有（ d ）（a）0()0fx（b）0()0fx（c）0()0fx且0()0fx（d）0()0fx或不存在计算与应用题1.解：极限11lim()1lnxxxx111ln1ln1limlim1(1)lnln(1)xxxxxxxxxxxxx21111lim21xxxx2.设某产品价格与销量的关系为105pq（q为销量） ，求：（1） 销量为 30 时的总收益；（2） 销量为 30 时的平均收益；（3） 销量为 30 时的边际收益；（4） 销量为 30 时，销量对价格的弹性。解：510)510(2qqqqqpr(1)12053030102

37、30qr(2)43012030qr(3)qr5210，230521030qr(4)505304qpqp（时，），精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - -16 pppppepeq10)550(55032103030qqppepeq3. 某商品的需求函数为275qp （p为价格， q 为需求量）(1)求4p时的边际需求；(2)求4p时的需求弹

38、性，说明经济意义；(3)4p时，若价格上涨1% ，总收益变化百分之几？(4)p为多少时，总收益最大？最大总收益是多少？解：(1) pq2，48pq(2) 22222(75)7575eqpppeppp24422320.547559ppeqpepp价格为 4 时，价格上涨 1%，需求量下降 0.54% (3) 3275)75()(ppppqppr, 2332753(75)7575erppppepppp242753270.467559perppepp总收益增加 0.46% (4) 0375)(2ppr，5p，35(5)(75)250prpp价格为 5 时总收益最大，最大总收益是250 4. 设某糕点

39、加工厂生产 a 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是22( )10020.02( )70.01c xxxr xxx(1)求边际利润函数；(2)当产量分别是 200 公斤， 250 公斤和 300 公斤时的边际利润，并说明其经济意义。解：(1) ( )( )( )l xr xc x222(70.01)(10020.02)0.015100 xxxxxx502.0)(xxl(2) 1520002.0)200(l产量为 200时，产量增加一个单位，利润增加一个单位。0525002.0)250(l产量为 200时，产量增加一个单位，利润不变。1530002.0)300(l精品学习资料 可选择p d f

40、- - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - -17 产量为 200时，产量增加一个单位，利润减少一个单位。5. 设商品的需求函数为4pqe，求：(1) 需求弹性函数；(2) 当4p时的需求弹性，并说明其经济意义。解：(1) 44()4ppeqppeepe(2) 4414ppeqpep价格为 4 时，价格上涨1%需求量减少 1% 6. 某商品的成本函数为41000)(2qqcc

41、，求：(1)20q时的总成本，平均成本及边际成本；(2)产量 q为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。解：(1) 总成本11004201000)20(2c，平均成本55201100)20(c2)(qqc，边际成本10220)20(c(2) 41100)()(qqqqcqc，0411000)(2qqc，20q10，1020q时平均成本最小，最小平均成本为10104102010201000)1020(c7. 工厂生产某种产品总成本( )8125c xx（万元） , 其中x为产品件数，将其投放市场后， 所得到的总收入为2( )120.004r xxx（万元） 。问该产品生产多少件时，所获得利润最

42、大，最大利润是多少？解：( )( )( )l xr xc x=20.0044125xx，( )0.0084l xx令( )0l x得500 x( )0.0080l x(500)0l该产品生产 500 件时所获利润最大，最大利润是(500)875l（万元）8.某工厂生产某种产品吨，所需要的成本( )5200c xx（万元）, 将其投放市场后，所得到的总收入为2( )100.01r xxx（万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大，最大利润是多少？解：( )( )( )l xr xc x=20.015200 xx，( )0.025l xx精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

43、- - - - - - - - 第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - -18 令( )0l x得250 x( )0.020l x(250)0l该产品生产 250吨时所获利润最大，最大利润是(250)425l（万元）9.某产品的总成本c（万元）与总收益r（万元）都是产量x（百台）的函数，其边际成本函数为cx，边际收益函数为83rx，(1)产量多大时，总利润最大？(2)从利润最大的生产量又生产了100 台，总利润改变了多少？解：

44、(1) 设( )( )( )l xr xc x，( )( )( )l xr xcx令( )0l x得( )( )r xcx即832xxx又3,1rcrc即22rc（ ）（ ）由最大利润原则，有2x百台时，总利润最大。(2)3322( )(83)l x dxxx dx32322(84 )(82)2x dxxx即总利润减少了 2 万元。10. 已知某产品的需求函数为105qp，成本函数为202cq，求产量为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。解：()()()l qr qc q2()102025qp qc qqq2()85l qq，令()0l q得20q又2()05l q，所以符合最大利润原

45、则。11. 设某商品的需求函数5pqe，求(1)需求弹性函数；(2)3p , 5p , 6p时的需求弹性。解：(1) 551()()55ppeqpppq peepq pe(2) 335peqep，51peqep，665peqep第五章不定积分判断题（ ）1. ( )( )fx dxf xc ；（）2. cxfdxxfdxd)()(；（）3. 若)(xf可导，则)()(xfxdf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

46、 - - - - 第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - -19 （ ）4. sin x是cosx的一个原函数；（）5. 3( ),f x dxxc则2( )f xx；（）6.设( )1fx且(0)0f, 则21( )2fx dxxxc；（）7.cossin2cosxxdxxxxc填空题1.dxx11cx1ln；2.设sinxex是)(xf的一个原函数，则( )fx= xexsin；3.dxxxln1ln ln xc；4.5yx的原函数是cx661；5.分方程220 x dxy dy的通解是cyx33；6.数1x的原函数是ln(5)x；7.若( )arcsin 2f x d

47、xxc，则(0)f2；8.函数3yx是23x的一个原函数；9.若2( )fx dxxc，则2(1)xfxdx422xxc；选择题1.若)()(xgxf， 则必有（c ）（a）)()(xgxf（b）dxxgdxxf)()(（c）dxxgddxxfd)( )( （d）dxxgddxxfd)()(2.设)()(xgxf，则 （b ）（a）)()(xgxf为常数（b）)()(xgxf为常数（c）0)()(xgxf（d）dxxgdxddxxfdxd)()(3.下列等式中，正确的是（ d ）（a）( )( )df x dxfx（b）( )( )df x dxf x dxdx（c）( )( )df xf x

48、cdx（d）( )( )df x dxfx dx4.设( )( )d f xdg x，则下列各式不一定成立的是（ a ）（a）( )( )f xg x（b）( )( )fxg x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - -20 （c）( )( )dfxdg x（d）( )( )dfx dxdg x dx5.已知函数( )f x的导数是sin

49、x，则( )f x的所有原函数是（b ）（a）cos x（b）cosxc（c）sin x（d）sin xc6.下列计算过程正确的是（b ）（a）21sin1cos(cos )222xxdxdxxxc（b）21cos1cos(sin )222xxdxdxxxc（c）21cos1cos(sin )222xxdxdxxxc（d）21sin1cos(cos )222xxdxdxxxc7.若22( )xf x dxx ec，则( )f x（ d ）（a）22xxe（b）222xx e（c）2xxe（d）22(1)xxex计算与应用题1.求不定积分dxeexx1解：dxeexx112(1)(1)21xxx

50、ed eec2.求不定积分dxeexx12解：dxeexx12ceedexxx) 12ln(21) 12(121213.dxxx211解：dxxx211dxxxx)111(22)1 (112111222xdxdxx2arcsin1xxc4.arctanxxdx解：arctanxxdxdxxxxxxxd2222121arctan21)21(arctancxxxxdxxxxarctan2121arctan21)111 (21arctan212225.dxxx241精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 34 页 - - - - -

51、- - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 34 页 - - - - - - - - -21 解：dxxx241cxxxdxxxdxxxarctan31)111(11)1(322246.dxxa22解：令taxsin原式dttadttatadtaa)2cos1(2cos)sin(sin222222cttatacttatdtacossin22)2sin2(4)2()2cos1(2122222222arcsin22axxaxca7.求221xdxx解：221xdxxcxxdxxdxxxarctan)111(11)1(222

52、8.求2xxe dx解：2xxe dxcexdexx2221)(2129.的特解。满足求方程0)1(1xxxydxeydye解：dxeeydyxx1两边积分得ceyxln)1ln(212)1(ln22xecyc 为任意常数01xy11ce212ln1xeye10.1)(1)0y dxx dy解微分方程（解：dyxdxy)1()1 (即xdxydy11两边积分得cxyln)1ln()1ln(即)1(1xcyc 为任意常数11.求dyxdxy解微分方程；解：xdxydy两边积分得222212121rxy即222rxyr为任意常数12.求不定积分3xxe dx解：原式 =333111()333xxx

53、xdexee dx3311 1(3 )33 3xxxee dx=331139xxxeec精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - -22 13.求不定积分1xxedxe解：原式 =1(1)ln(1)1xxxdeece14.211xdxx解：原式2222111(1)1121xdxdxd xxxx211dxx2ln1arctanxxc15.求11

54、xdxe解：21ln(1)xtext令则原式=2211122211(1)(1)tdtdtdtttttt11()11dtttln1ln1ttc11 1lnln111xxteccte16.计算32221()dxax解：2tansecxatdxatdt令则原式=2222221111cossinsecxdttdttccataaaax17.计算301xdxx；解：231021txtxtdtdxxt时，时则令原式=38)3(221213212tttdttt18.求lnxxdx解：原式22222111111ln()lnln22224xdxxxxdxxxxcx第六章定积分判断题（） 1. 设)(xf在区间 ,

55、 a b上连续，则函数xadttfxf)()(在区间 , a b上一定可积；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - -23 （） 2. xaxfdxxfdxd)()(；（ ）3. 定积分11dxx在1是收敛的；（）4. 若( )f x在 , a b上连续，则( )( )badf x dxf xdx；（）5. 积分1211dxx不能用牛顿莱不

56、尼兹公式计算；（）6. 221132dxx；（）7. 若( )f x在 , a b上连续，则( )0badf x dxdx；（）8. 设,01( )1,12xxf xx , 则20( )2f x dx；（）9.( )( )badf x dxf xdx；（ ）10.141sin0 xxdx；（）11. 定积分11dxx在1时是收敛的；填空题1.定积分1211xdxx0；2.定积分112121xe dxx= ee2；3.若广义积分2011kdxx， 其中k 为常数，则k = 2；4.定积分1321sinxxdx = 0；5.1211xdxx0；精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

57、 - - - - - - - - 第 23 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 34 页 - - - - - - - - -24 6.30(sin)xtt dt3sin xx；7. 广义积分211dxx1；8. dxxfdxdba)(= 0；9. 设)(xf在 , a b 上连续，则babadttfdxxf)()(= 0；10. 2xy与1y所围面积为34面积单位；11. 若函数)(xf在 , a b上连续,)(xh可导，则( )( )h xadf t dtdx=)()(x

58、hxhf；12. 当x0时，xtdttexf02)(有极值；13. 设0( )xtfxte dt，则(0)f1；14. 若02kxedx，则k21；15.21(ln)edxxx1；16. 2131xx e dx0；17. 20sinxdttdtdxxx sin2；18. 若20(23)0kxxdx，则k10 或；19. 1211x xdxx0。选择题1.0arctanxxdx（b ）（a）1112x（b）21arctanln(1)2xxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 34 页 - - - - - - - - -精品学习

59、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 34 页 - - - - - - - - -25 （c）1112x（d）211x2.下列积分可直接使用牛顿莱不尼兹公式的有（ a ）（a）53201xdxx（b）1211xdxx（c）43202(5)xdxx（d）11lneedxxx3.设)(xf为连续函数，则( )xaf t dt 为 （c ）（a）( )f t的一个原函数（b）( )f t的所有原函数（c）)(xf的一个原函数（d）)(xf的所有原函数4.011( )( )22xf t dtf x，且(0)1f，则( )f x（c ）（a）2

60、xe（b）12xe（c）2xe（d）212xe5.1211dxx（d ）（a） -2 （b） 2 （c） 0 （d）发散计算与应用题1.求定积分0()cosxxdx解：0()cosxxdx 00coscosxxdxxdx00(sin )cosxdxxdx2)cossin(0 xxx2.求定积分12201xdxx解：12201xdxx110201(1)(arctan )114dxxxx3.求定积分30(1 sin)x dx解：30(1 sin) x dx200sinsindxxxdx020(cos)cos1(dxdx34)cos31(cos030 xxx精品学习资料 可选择p d f - - -