2022年微分方程在经济学中的应用

1、1 第四节微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题 一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用一、供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说， 某商品的供给量 s及需求量 d 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为s a1b1p, d a bp, 其中 a1,b1,

2、a,b 均为常数，且b10,b0； p 为实际价格供需均衡的静态模型为).()(,11pspdpbasbpad显然，静态模型的均衡价格为pe11bbaa对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（alras）假设：超额需求 d(p) s(p)为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求d s成正比，即tpddk(d s)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为).()(),(),(11pspdktptpbastbpaddd整理上述模型得tpdd(pep), 其中k(b b1)0,这个方程的通解为p(t) pec

3、et假设初始价格为p(0) p0,代入上式得， c p0pe,于是动态价格调整模型的解为p(t) pe(p0pe)et，由于0，故lim( )tp tpe这表明，随着时间的不断延续，实际价格p(t)将逐渐趋于均衡价格pe二、索洛 (solow) 新古典经济增长模型精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -2 设 y(t)表示时刻t 的国民收入，k(

4、t)表示时刻t 的资本存量， l(t)表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：.),(),1 ,(),(0tlltsytkrlflkfyedd其中 s 为储蓄率 (s 0)， 为劳动力增长率( 0)，l0表示初始劳动力(l00)，rlk称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量将k rl 两边对 t 求导，并利用tlddl，有rltrltlrtrltkdddddddd又由模型中的方程可得tkddslf(r,1), 于是有trddr sf(r,1)(10 4 1) 取生产函数为柯布道格拉斯 (cobb douglas)函数，即f(k,l) a0k l1 a0lr，其中 a00，

5、01 均为常数易知 f(r,1) a0r，将其代入 (10 4 1)式中得trddr sa0r(10 4 2) 方程两边同除以r ，便有rtrddr1sa0令 r1z,则tzdd(1)trdd,上述方程可变为tzdd(1) z sa0(1)这是关于z 的一阶非齐次线性方程，其通解为z ce(1)t0sa(c 为任意常数 )以 z r1代入后整理得r(t)110)1(sacte当 t 0 时，若 r (0) r0,则有c r01sa0于是有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料

6、 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -3 r(t)110)1(010(saasrt)e-因此，110)()(limastrt事实上，我们在(10 4 2)式中，令trdd0,可得其均衡值re110)(as. 三、新产品的推广模型设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率txdd与 x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量n，统计表明txdd与尚未购买该产品的潜在顾客的数量n x(t)也成正比，于是有txd

7、dkx(n x)，(10 4 3) 其中 k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)kntcne1(10 4 4) 方程 (10 4 3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10 4 4)也称为逻辑斯谛曲线由txdd221kntkntckcnee以及22txdd3231) 1(kntkntkntcckcneee，当 x(t*) n 时，则有txdd0， 即销量 x(t)单调增加 当 x(t*)2n时，22txdd0;当 x(t*) 2n时，22txdd0；当 x(t*)2n时，22txdd0即当销量达到最大需求量n 的一半时，产品最为畅销，当销量不足n 一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半

8、时，销售速度逐渐减小国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10 4 4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到 80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -

9、4 习题 10 4 1 某公司办公用品的月平均成本c 与公司雇员人数x 有如下关系：c c2ex2c且 c(0) 1,求 c(x)2 设 r r(t)为小汽车的运行成本，s s(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：rsa, sbs, 其中 a,b 为正的已知常数，若r(0) 0,s(0) s0(购买成本 )，求 r(t)与 s(t)3 设 d d(t)为国民债务， y y(t)为国民收入，它们满足如下的关系：dy, yy其中, , 为正已知常数(1) 若 d(0) d0,y(0) y0,求 d(t)和 y(t); (2) 求极限)()(limtytdt4 设 c c(t)为 t 时刻的消费水平，i i(t)为 t 时刻的投资水平，y y(t)为 t 时刻的国民收入，它们满足下列方程.0,0, 10,为常数均为常数kckibababaycicy(1) 设 y(0) y0，求 y(t),c(t),i(t); (2) 求极限)()(limtityt5 某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼5000 条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y是时间t 的函数 y y(t)，实验表明，其变化率与池内鱼数y 和池内还能容纳的鱼数(5000 y)的乘积成正比， 若开始放养的鱼为400 条，两个月后池塘内鱼的数量为550 条，求放养