拉普拉斯变换和逆变换ppt课件

1、 4.4 4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 主要内容主要内容 重点：重点：部分分式分解部分分式分解 难点：难点：部分分式分解中系数的求解问题部分分式分解中系数的求解问题部分分式分解部分分式分解用留数定理求逆变换（自己看）用留数定理求逆变换（自己看）1；. 从象函数从象函数F(s)F(s)求原函数求原函数f (t)f (t)的过程称为拉普拉斯反变换。的过程称为拉普拉斯反变换。简单的拉普拉斯反变换只要应用表简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-14-1以及上节讨论的拉氏以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数。变换的性质便可得到相应的时间函数。求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部

2、分分式求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于F(s)F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分，为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分，它的适用范围更广。它的适用范围更广。2；.一一、部分分式分解部分分式分解01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。 , 为有理真分式为有

3、理真分式当当sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零点零点极点极点 0)(0)( sFsA 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsAzzzzm,0,321 的极点的极点称为称为的根的根是是sFsBppppn,0,321 )(0)(sFsB3；. 按照极点之不同特点，部分分式分解方法按照极点之不同特点，部分分式分解方法 有以下几种情况有以下几种情况 （1 1）极点为实数，无重根；）极点为实数，无重根； （2 2）包含共轭复数极点）包含共轭复数极点 （3 3）有多重极点）有多

4、重极点4；.1.1.第一种情况：第一种情况：极点为实数，无重根极点为实数，无重根的情况）先考虑为不同的实数根nm( ,321npppp)()()()(21npspspssAsF nnpskpskpsksF 2211)( 展开为部分分式展开为部分分式即可将即可将求出求出sFkkkkn,321然后再根据常用信号的拉氏变换进行逆变换然后再根据常用信号的拉氏变换进行逆变换5；.(1)找极点找极点 )3)(2)(1(3322 ssssssF(2)展成部分分式展成部分分式 321321 sksksksF362511)( ssssF6116332)(232 ssssssF 1 stueLt根据根据 065)

5、(:32 teeetfttt得得(3)逆变换逆变换求系数求系数例：求下列函数的逆变换例：求下列函数的逆变换6；.如何求系数如何求系数k k1 1, k, k2 2, k, k33？11 k1, 1 ss且令且令对等式两边同乘以对等式两边同乘以11321321)1(kskskskss 右边右边1)()1( ssFs左左边边1)3)(2)(1(332)1(12 sssssss, 5)()2(:22 ssFsk同理同理6)()3(33 ssFsk362511)( ssssF7；.第二种情况：第二种情况：包含包含共轭复数共轭复数极点极点 22 ssDsAsF jsjssF 1共轭极点出现在共轭极点出现

6、在 j .21 jsKjsKsF jssFjsK 1 jjF21 jssFjsK 2 jjF22 成成共共轭轭关关系系：可可见见21,KKjBAK 1*12KjBAK 8；.求求f(t)f(t)jBAK 1*12KjBAK jsKjsKLtfC211 ttteKeKe *11 tBtAet sincos2 9；.例题例题。的逆变换的逆变换求求)()52)(2(3)(22tfsssssF )2)(21)(21(32 sjsjsssF21212210jsKjsKsK 02, 1 取取 57)2(20 ssFsK521)21)(2(32121jjsssKjs 52,51 BA 02sin522cos

7、512572 ttteetftt10；. 22 sssFF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法 2222 ssssF 0sincos ttetetftt 求下示函数求下示函数F(s)的逆变换的逆变换f(t)：解：解：求得求得另一种方法另一种方法 222)(cos)(sin ssteLsteLtt利用利用11；.第三种情况：有多重极点第三种情况：有多重极点11121111)()()()( kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求k11，方法同第一种情况，方法同第一种情况：求其它系数，要用下式求其它系数，要用下式11)()()(11

8、11pskpssFpssFk kisFsikpsiii, 3 , 2 , 1)(dd)!1(111111 1)(dd, 2112pssFsKi 当当1)(dd21, 312213pssFsKi 当当12；.例：求下列函数的逆变换例：求下列函数的逆变换232122)1(12)1)(2()( skskskssssF4)1)(2()2(2221 sssssk1)1)(2()1(12223 sssssk为重根最高次系数为重根最高次系数为单根系数为单根系数31,kk如何求如何求k2?13；.如何求如何求k k2 2? ?设法使部分分式只保留设法使部分分式只保留k k2 2，其它分式为，其它分式为0 03

9、2122)1(2)1(2ksksksss 0)2()1()2)(1(222211 ksskkss22222)2(4)2()2(22dd ssssssssss32 k2)1( s对原式两边乘以对原式两边乘以两边再求导两边再求导若求若求只能求出只能求出时时令令, 1,123kks 3212)1(2)1(ddkksskss右边右边 )()1(dd2sFss 左边左边2, 1ks 右右此此时时令令3)2(4122 ssss左边左边14；.逆变换逆变换2)1(11324)( ssssF 034)()(21 tteeesFLtfttt二、用留数定理求逆变换（自己看）二、用留数定理求逆变换（自己看）15；.

10、思考题思考题 1. 1. 拉普拉斯逆变换的求解方法？拉普拉斯逆变换的求解方法？16；.17；.第一章第一章 函数及其图形函数及其图形 14.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念14.2 拉氏变换的运算性质拉氏变换的运算性质14.3 拉氏变换的逆变换拉氏变换的逆变换14.4 拉氏变换及其逆变换的应用拉氏变换及其逆变换的应用18；.14.1 14.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念定义定义 设函数设函数( )f t的定义域为的定义域为0,) ， 如果广义， 如果广义积分积分 0( )edstf tt在在 s 的某一范围内取值收敛，则由此积分确定了一个的某一范围内取值收敛，则由此积分确定了

11、一个关于关于 s 的函数，记作的函数，记作( )F s，即，即 0( )( )edstF sf tt （1） 函数函数( )F s叫做函数叫做函数( )f t的的拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换）变换，简称简称拉氏变换拉氏变换，记作，记作 ( )( )L f tF s函数函数( )F s也可叫做也可叫做( )f t的的像函数像函数19；.若若( )F s是是( )f t的拉氏变换，则称的拉氏变换，则称( )f t是是( )F s的的拉氏拉氏逆变换逆变换（或叫做（或叫做( )F s的的像原函数像原函数） ，记作） ，记作1( ) ( )f tLf s 注意注意 1在拉氏变换中，只要求在拉

12、氏变换中，只要求( )f t在在0,)内内有定义即可为了研究方便，以后总假定在有定义即可为了研究方便，以后总假定在(,0)内，内，( )0f t 在以后的研究中，规定所研究的在以后的研究中，规定所研究的 t 均属于均属于0,)； 2在此我们规定只讨论在此我们规定只讨论 s 是实数的情况；是实数的情况； 3拉氏变换的作用是通过建立拉氏变换的作用是通过建立( )f t的一个新的函的一个新的函数，来化繁为简数，来化繁为简 20；.例例 1 求单位阶梯函数求单位阶梯函数0,0( )1,0tu tt的拉氏变换的拉氏变换解解 由拉普拉斯变换的定义，知由拉普拉斯变换的定义，知0 ( )( )edstL u

13、tf tt此积分在此积分在0s 时收敛，且有时收敛，且有0edstt(0)s 所以所以 1 ( )(0)L u tss21；.例例 2 求指数函数求指数函数( )eatf t （a 是常数）的是常数）的拉氏变换拉氏变换解解 由式（由式（1）有）有 L L eat=0e edatstt= =()0eds a tt= =1sa(0)s 例例 3 3 求求( )f tat（a 为常数）的拉氏变换为常数）的拉氏变换解解 L L a t =0edstatt= =20eeststaass= =2as22；.0,01( ), 00,0tttt 其中其中 是很小的正数当是很小的正数当0 时，时，( ) t的极

14、限的极限0( )lim( )tt叫做叫做狄利克莱狄利克莱函数函数，简称，简称( ) t的图形的图形如图如图 14-1 所示所示 狄利克莱狄利克莱函数函数(函数函数):在许多实际问题中，常常在许多实际问题中，常常会遇到一种集中在极短时间内作用的量，这种瞬间作用会遇到一种集中在极短时间内作用的量，这种瞬间作用的量不能用通常的函数表示为此假设的量不能用通常的函数表示为此假设图图11-1O( ) t1t23；.狄利克莱狄利克莱函数的特点函数的特点是：当是：当0t 时，时，( )0t，而而当当0t 时，时，( ) t的值为无穷大，即的值为无穷大，即 0,0( ),0ttt，显然，对任何显然，对任何0，有

15、，有1d1d)(0ttt所以规定所以规定 1d)(tt工程技术中常将工程技术中常将( ) t叫做叫做单位脉冲函数单位脉冲函数24；.内容小结：内容小结： 拉普拉斯变换的概念设拉普拉斯变换的概念设函数函数( )f t的定义域为的定义域为0,) ，则广义积分，则广义积分0( )edstf tt(如果收敛）称为函数如果收敛）称为函数( )f t的（定义域为的（定义域为0,) 拉普拉斯变换，拉普拉斯变换，记作记作( )F s 25；.14.214.2 拉氏变换的运算性质拉氏变换的运算性质 性质性质 1 1（线性性质）（线性性质） 若若a、b是常数，且是常数，且11( )( )L f tF s,22(

16、)( )L f tF s,则则12( )( )L af tf t12( )( )aL f tbL f t12( )( )aF sbF s. . 性质性质 1 可以推广到有限个函数的线性组合的情形可以推广到有限个函数的线性组合的情形26；.例例 1 1 求函数求函数1( )f ta1 eat的拉氏变换的拉氏变换解解 由性质由性质 1，有，有111 e1 eatatLLaa 11eatLLa1 111assas sa 性质性质 2 2（平移性质）（平移性质） 若若 L f tF s ，则，则 atL e f tF sa .性质性质 2 表明，像原函数乘以表明，像原函数乘以eat，等于其像函数作，等

17、于其像函数作位移位移a，因此性质，因此性质 2 称为平移性质称为平移性质 27；.例例 2 2 求求eatL t 及及esinatLt 解解 由平移性质及由平移性质及 2221,sinL tLtss,得得 21eatL tsa 22esinatLtsa. .性质性质 3 3（延滞性质）（延滞性质） 若若 L f tF s ，则，则 easL f taF s. .28；. 注 意注 意 函 数函 数()f ta与与( )f t相比， 滞后了相比， 滞后了a个单位， 若个单位， 若t表示时间，性质表示时间，性质 3 表明，时间表明，时间延迟了延迟了a个单位，例如：正弦个单位，例如：正弦型函数曲线型

18、函数曲线Asin()4yx起起点是点是(,0)4，比曲线，比曲线Asinyx的起点滞后了的起点滞后了4个单位，相当个单位，相当于像函数乘以指数因子于像函数乘以指数因子eas， 因， 因此这个性质叫做延滞性质如此这个性质叫做延滞性质如图图 14-2 所示所示()f ta( )f t( )f tOat图图14-229；.例例 3 3 求函数求函数0,1,tau tata的拉氏变换的拉氏变换解解 由由 1L u ts 及性质及性质 3 可得可得 1easL u tas性质性质 4 4（微分性质）（微分性质） 若若 L f tF s ，并，并设设 f t在在0,上连续，上连续， ft为分段连续函数，则

19、为分段连续函数，则 0L ftsF sf 30；.推论推论 若若 L f tF s ，则，则 112000nnnnnL fts F ssfsff 特别地，若特别地，若 10000nfff，则，则 (1,2,)nnL fts F sn性质性质 4 使我们有可能将使我们有可能将( )f t的微分方程化作的微分方程化作( )F s的的代数方程因此性质代数方程因此性质 4 在解微分方程中有重要作用在解微分方程中有重要作用31；.例例 4 4 利用微分性质求利用微分性质求sinLt 解解 令令 sinf tt，则，则 00f， cosftt ， 0f ， 2sinftt ,由上式及推论得由上式及推论得

20、22sin00LtL fts F ssff,即即 22sinsinLts Lt,移项并化简，即得移项并化简，即得22sinLts32；.性质性质 5 5 （积分性质）（积分性质） 若若 L f tF s ， 且， 且( )f t在在0,上连续，则上连续，则 0( )dtF sLf xxs 性质性质 5 表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数个函数的拉氏变换除以参数s性质性质 5 也可以推广到也可以推广到有限次积分的情形，即有限次积分的情形，即 000dd( )dntttnFsLttfxts 次， 1,2,)n （33；. 性 质性

21、质 6 6 若若 L f tF s ， 则 当， 则 当0a 时 ，时 ，1 ()( )L f atF sa性质性质 7 7 若若 L f tF s ，则，则 ( )( 1)nnnL t f tFs 性质性质 8 8 若若 L f tF s ，则，则 dsf tLF sst常用函数的拉氏变换列于下表常用函数的拉氏变换列于下表 14- -1（供查用） 供查用） 34；.表表 1414- -1 1 序号序号( )f t( )F s1( ) t12( )u t1s3t21s4, (1,2,)ntn 1!nns5eat1sa61 eat()as sa7teat21()s sa 35；.8e , (1,

22、2,)nattn 1!()nnsa9sint22s10cost22ss 11sin()t 22sincos+ss12cos()t 22cossin+ss13sintt2222()ss14costt22222()ss 36；.wteatcos序号 1615 f（t）F（s）wteatsin22)(asas22)(as37；.例例 5 5 查表求查表求sintLt解解 由表由表 14-1 中公式中公式 9，得，得 21sin1LtF ss,再由性质再由性质 8，得，得2sin1darctanarctan12sstLsssts 38；.内容小结内容小结拉氏变换的性质：拉氏变换的性质：1线性性质线性性

23、质2平移性质平移性质3延滞性质延滞性质4微分性质微分性质5积分性质积分性质6其它性质其它性质39；.14.3 14.3 拉氏变换的逆变换拉氏变换的逆变换 设设11( )( )L f tF s, ,22( )( )L f tF s, , ( )( )L f tF s, ,则有则有 性质性质 1 1（线性性质）（线性性质） 1111212LaF sbFsaLF sbLFs 12aftaft, (, (a b,是常数是常数) ). . 性质性质 2 2（平移性质）（平移性质） 11eeatatLF saLF sf t. . 性质性质 3 3（延滞性质）（延滞性质） 1easLF sf ta u ta

24、 40；. 解解 （1）由表由表 14-1 中的中的 5，取取3a 得得 131e3tf tLs. . （2）由表）由表 14-1 中的中的 7，取，取2a 得得 1221= e2tf tLts. . 例例 1 1 求下列函数的拉氏逆变换：求下列函数的拉氏逆变换： （1） 13F ss； （2） 212F ss； （3） 225sF ss； （4） 2434sF ss. . 41；.（3）由性质）由性质 1 及表及表 14-1 中的中的 2、3,得得 1225=sf tLs 11211= 25LLss = 25t. . （4）由性质）由性质 1 及表及表 14-1 中的中的 9、10,得得 1

25、2112243=+432= 4+42+4sf tLssLLss 3= 4cos2sin22tt. . 42；. 解解 112323251422s+s+f t = L= Ls - s+s -+ 11152= 22141422s -L+Ls -+s -+ 5= 2e cos2 +e sin22tttt 5= e2cos2 +sin22ttt. . 例例 2 2 求求 23252s+F s =s - s+的拉氏逆变换的拉氏逆变换. . 43；. 解解 设设 232+3+3=+4+4+2ssssss s2ABC=+2+2sss, , 用待定系数法求得用待定系数法求得 331A =, C =442, B

26、, , 所以所以 232+33 13111=+4+444+22+2sF sssssss, , 即即 1123 1 3111442 22LF s= L-ss+s+ 例例 3 3 求求 32344sF ssss的拉氏逆变换的拉氏逆变换. . 44；.1112313111=44+22+2LLLsss 22331=ete442tt. . 内容小结内容小结 拉氏变换的逆变换拉氏变换的逆变换 求拉氏变换逆变换的要点：通过初等变换将目标求拉氏变换逆变换的要点：通过初等变换将目标函数函数( )F s分解成几个简单函数的代数和的形式，再通分解成几个简单函数的代数和的形式，再通过拉氏变换逆变换的性质及查拉氏变换表

27、（表过拉氏变换逆变换的性质及查拉氏变换表（表 14141 1）求出其原像函数求出其原像函数. . 45；.14.4 14.4 拉氏变换及其逆变换的应用拉氏变换及其逆变换的应用拉普拉斯变换及其逆变换可用来求解常系数一阶乃至拉普拉斯变换及其逆变换可用来求解常系数一阶乃至高阶线性微分方程高阶线性微分方程 解解 我们先对方程两边求其拉氏变换，并设我们先对方程两边求其拉氏变换，并设 L y = F s，则，则 +3=0 ,3 0L yyLL yL y, 0( )3 ( )0 x=sF syF s, , 将将=0=1xy代如上式，得代如上式，得 1( +3) ( ) =1,( ) =+3sF sF ss，

28、 例例 1 求微分方程求微分方程+3 = 0yy的满足初始条件的满足初始条件=01xy的特解的特解. .46；.再利用拉氏变换的逆变换可求出方程的解为再利用拉氏变换的逆变换可求出方程的解为 1131 ( )e3ty= LF s = L=s+. . 求线性微分方程的解的一般步骤：求线性微分方程的解的一般步骤： ( (1) )利用拉氏变换将常系数线性微分方程化成像利用拉氏变换将常系数线性微分方程化成像函数的代数方程；函数的代数方程； ( (2) )从像函数的代数方程求出像函数；从像函数的代数方程求出像函数； ( (3) )利用拉氏变换的逆变换求出像原函数，该像原利用拉氏变换的逆变换求出像原函数，该

29、像原函数就是方程的解函数就是方程的解. . 47；. 解解 对方程两边求其拉氏变换，并设对方程两边求其拉氏变换，并设 =sL yF，则则 22+4-5= e ,+4 5 =e,ttL yyyLL yL yL yL 2=0=0=01( )+4( )45 ( ) =2xxxs F ssyysF ssyF ss, , 将将=0=0= 2,=1xxyy代入上式，得代入上式，得 2251829( )(1)(2)(5)(1)(5)s + s -s+F s =s -s -s+s -s+ 例例 2 2 求微分方程求微分方程2+45= etyyy的满足初始条的满足初始条件件=0=0= 2,=1xxyy的特解的特解. . 48；.利