2015届高考数学二轮解题方法篇：专题3 解题策略 第8讲

1、第8讲构造法在解题中的应用方法精要在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径构造法就是这样的手段之一构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维其本质特征是“构

2、造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法题型一构造向量解决不等式的问题例1若直线1通过点M(cos，sin)，则()Aa2b21Ba2b21C.1D.1破题切入点根据点在直线上可以得到1，联想向量的数量积的坐标运算法则，可以构造向量答案D解析设向量m(cos，sin)，n(，)，由题意知1，由m·n|m|n|可得1.题型二构造不等式解决证明问题例2已知a，b，c>0，证明：.破题切入点直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分

3、母，为此可以做变换：在不等式两端都加上，即我们证明不等式- 2 - / 13abc，这时把拆成，就可以构造轮换不等式了证明证明，即证abc，即证abc.又因为a，b，c，所以所证三式相加，不等式成立题型三构造函数最值、比较大小的问题例3已知f(x)34x2xln2，数列an满足<an<0,f(an)(nN*)(1)求f(x)在，0上的最大值和最小值；(2)判断an与an1(nN*)的大小，并说明理由破题切入点(1)直接按照导数研究函数的方法解决(2)根据给出的条件f(an)，可以构造函数g(x)f(x)2x1，通过研究这个函数解决问题解(1)f(x)(14x)ln4，当<x&

4、lt;0时，0<14x<，f(x)>0，f(x)34x2xln2在，0上是增函数，f(x)maxf(0)2；f(x)minf()ln2.(2)由f(an)，记g(x)f(x)2x1得g(x)f(x)2x1ln2(12x4x)ln4，当<x<0时，<2x<1，<4x<1.故12x4x<1<0，所以g(x)<0，得g(x)在(，0)上是减函数，所以g(x)>g(0)f(0)20，f(an)21an>0，即>0，得an1>an.题型四构造数列解决数列求和的问题例4已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，

5、an2Sn·Sn1(n2)(1)求出通项公式an.(2)求证：SSS.破题切入点(1)首先根据已知条件求出Sn的通项公式，进而求出通项an.(2)利用放缩法和拆项法证明(1)解因为an2Sn·Sn1(n2)，所以SnSn12Sn·Sn1，两边同除Sn·Sn1，得2(n2)，所以数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列所以(n1)·d22(n1)2n，所以Sn.又因为an2Sn·Sn1(n2)，所以当n2时，an2Sn·Sn12·，所以an(2)证明因为S<()，S，所以当n2时，SSS<(1)()，当n

6、1时，S.综上SSS.总结提高用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即以什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造1在空间四边形ABCD中，···的值是()A1B0C1D不确定答案B解析如图，选取不共面的向量，为基底，则原式·()·()·()··

7、3;···0.2已知数列an中，a11，an2an11，则数列an的通项公式为()Aan2n11Ban2n11Can2nDan2n1答案D解析因为an2an11，所以an12(an11)，所以数列an1是以a112为首项，2为公比的等比数列，所以an12×2n12n，所以an2n1.3函数f(x)的值域是()A(5，) B5，)C5，) D(5，)答案B解析f(x)其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)和N(5，1)的距离之和(如图)，为求其值域只要求其最值即可，易知当M，N，P三点共线(即P在线段MN上)时，f(x)取得最小值，f(x)

8、min|MN|5，无最大值，故得函数的值域为5，)4.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球O的体积等于_答案解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|2R，所以R，故球O的体积V.5已知aln，bln，cln，则a，b，c的大小关系为_答案a>b>c解析令f(x)lnxx，则f(x)1.当0<x<1时，f(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数1>>>>0，a>b>c.6若a>b&

9、gt;c>0，则，的大小关系是_答案<<解析构造函数f(x)log2(x1)，问题就是函数f(x)图象上的三个点(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)与原点连线的斜率在比较大小，观察图象即得7若x2y23，a2b24(x，y，a，bR)，则axby的取值范围是_答案2，2解析构造向量m(x，y)，n(a，b)，为m与n的夹角，则axbym·n|m|n|cos×cos2cos.1cos1，22cos2.axby的最小值为2，最大值为2.8在平面直角坐标系中，椭圆1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M.若过点P(，0)，所

10、作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_答案解析过点(，0)作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB是一个正方形，即圆心O到点P(，0)的距离等于圆的半径的倍，即a，故e.9设a>b>c且abc1，a2b2c21，求ab的范围解由abc1得ab1c，将的两边平方并将a2b2c21代入得abc2c，由可知，a，b是方程x2(c1)x(c2c)0的两个不等的实根，于是(c1)24(c2c)3c22c1>0，解得：<c<1，又由ab1c>2c，得c<，<c<.即<1(ab)<，<ab<.10求证：.(提示：|a

11、b|a|b|，当且仅当ab0时取等号)证明设f(x)(x0)，由|ab|a|b|，又f(x)在0，)上是一个单调递增函数，所以有f(|ab|)f(|a|b|)，所以.11求值cos5°cos77°cos149°cos221°cos293°.解以单位长1为边长作正五边形A1A2A3A4A5，且与x轴正方向夹角为5°.由正五边形内角108°，得x轴正方向逆时针转到，的角分别为77°，149°，221°，293°.0，又因为和向量的投影等于各个向量投影的和，在x轴上投影的和为0，即|cos5

12、°|cos77°|cos149°|cos221°|cos293°0，cos5°cos77°cos149°cos221°cos293°0.12设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足a4Sn4n1，nN*，且a2，a5，a14恰好是等比数列bn的前三项(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记数列bn的前n项和为Tn，若对任意的nN*，(Tn)k3n6恒成立，求实数k的取值范围解(1)当n2时，由题设知4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，aa4an4(an2)2，an>0，an1an2.当n2时，an是公差d2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列，aa2·a14，(a26)2a2·(a224)，解得a23，由条件