衡阳市中考数学试卷中数学思想方法的分析

1、衡阳市中考数学试卷中数学思想方法的分析数学与计算科学系 数学与应用数学专业14690111 贺梅 指导老师：黄灿摘 要 本文通过对衡阳市近五年中考数学试卷中所包含的数学思想方法进行较全面的分析与归纳，以期对我们今后的教学工作有一定的指导作用。关键词 中考数学；数学思想方法；研究启发the analysis of mathematical thought method in the mathematics examination paper of hengyang citydepartment of mathematics and computational sciencesmathematic

2、s and applied mathematics14690111 he mei tutor: huang canabstract this paper makes a comprehensive analysis and summary of the mathematics thought and methods contained in the mathematics test paper in hengyang city in the past five years, in order to have certain guidance for our teaching work in t

3、he future.keywords mathematics in senior middle school entrance；mathematics thought method；research inspiration1 引言数学思想方法最早是在古希腊数学家欧几里得写的几何原本中出现，二十世纪五十年代，美籍匈牙利数学家波利亚发表了数学与猜想一书，这本书主要是研究分析数学结果的思想起源2。我国首次出现是在魏晋时期伟大数学家刘徽所著的九章算术中，二十世纪 80 年代以后，解恩泽和赵数智编著的数学思想方法纵横论，从纵向和横向两个方面剖析了数学思想方法的演化过程，在研究对数学的本质及规律认识的同时

4、，进一步阐述数学思想方法的进展和形成10；根据2011年颁发的义务教育数学课程标准（2011年版）1的要求，学生通过学习，掌握基本的数学知识和数学思想方法，学会把数学知识和数学思想方法结合起来去分析问题、解决问题，培养学生的思考、推理和制造能力3。中考数学试卷中考查了学生对数学基础知识的掌握情况，还考查了学生对数学思想方法的运用能力，所以学生既要学习和掌握基本的数学知识，也要学习和掌握数学思想方法，学会运用数学思想方法去分析和解决问题。2 衡阳市（2013年-2017年）中考数学试卷中数学思想方法的统计分析2.1 衡阳市中考试卷中体现数学思想方法的主要类型通过对近五年衡阳市中考数学试卷中数学思

5、想方法体现类型的各题号、题量的收集和整理。表1衡阳市中考数学试卷中数学思想方法体现类型的题号汇总表类型年份化归思想方程思想数形结合思想函数思想分类协商思想2013年13、14、17、18、2111、25、26、27、282、4、6、12、15、22、24、25、26、27、2825、27、28272014年14、19、2124、255、7、10、15、17、22、23、26、27、2827、2825、282015年15、16、19、21116、12、14、18、22、23、25、26、27、2825、277、252016年13、14、19、9、3、12、18、20、21、24、25、2612、

6、23、26262017年15、169、23、25、274、5、8、11、12、20、21、23、24、25、26、2724、26、2724从表1中我们可以得知，在衡阳市近五年的中考数学试卷中主要体现的几种数学思想方法是化归思想、方程思想、数形结合思想、函数思想和分类协商思想，当中有些的数学思想方法体现在同一道题目中，而有些的则体现在不同的题目中。表2 五种数学思想方法出现的总题量数量汇总表思想方法类型化归思想方程思想数形结合思想函数思想分类协商思想题量171320137通过表2我们可以看出体现化归思想和数形结合思想的题目最多，方程思想和函数思想次之，体现分类协商思想的题目最少，这说明近五年衡阳

7、市中考试卷中数学思想方法考查的最多的是化归思想和数形结合思想，而分类思想考查的最少。2.2 衡阳市中考试卷中体现数学思想方法的题型分析衡阳市中考数学试卷根据题目类型可分为选择、填空以及解答三种题型，2013年-2017 年体现五种数学思想方法的各题型数量和分值如表3所示：表3 2013年-2017 年各题型数量和分值汇总表年份选择题题量选择题分值填空题题量填空题分值解答题题量解答题分值2013123682486020141236824860201512368248602016123661886620171236618966表4 中考中数学思想方法在各题型分布数量统计表化归思想方程思想数形结合思

8、想函数思想分类协商思想选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题20134114416312014122325222015221226211201621121512120172135731如果对 2013年-2017 年衡阳市中考数学试卷中这五种数学思想方法在各题型分布数量作一汇总，统计如表5 所示：表5 五种数学思想方法在各题型分布数量汇总表思想方法类型化归思想方程思想数形结合思想函数思想分类协商思想表现题型选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题选择题填空题解答题题量0116409166291012106从表5

9、的统计中可看出，化归思想主要体现在填空题和解答题当中，方程思想主要体现在选择题和解答题当中，数形结合思想则在选择题、填空题和解答题三种题型中都有体现，解答题和选择题相对解答题来说体现的更多一些。函数思想和分类协商思想都只体现在选择题和解答题中，其中解答题中出现的最多。2.3 衡阳市中考试卷中数学思想方法所占分值比从图1中可以看出2013年衡阳市中考试卷中数形结合的思想所占的分值最多，占试卷总分值的52.5%，其次是方程思想和函数思想，分别占试卷总分值的32.5%和23.3%，化归思想占试卷总分值的15.0%，分类协商思想所占的分值最少，占试卷总分值的8.3%。从图2中可以看出2014年衡阳市中

10、考试卷中数形结合的思想所占的分值最多，占试卷总分值的45.8%，其次是函数思想和分类协商思想，分别占试卷总分值的16.7%和15.0%，方程思想占试卷总分值的11.7%，化归思想所占的分值最少，占试卷总分值的10%。从图3中可以看出2015年衡阳市中考试卷中数形结合的思想所占的分值最多，占试卷总分值的50.0%，其次是化归思想和函数思想，分别占试卷总分值的12.5%和15.0%，分类协商思想占试卷总分值的9.2%，化归思想所占的分值最少，占试卷总分值的2.5%。从图4中可以看出2016年衡阳市中考试卷中数形结合的思想所占的分值最多，占试卷总分值的44.2%，其次是函数思想，占试卷总分值的19.

11、2%，化归思想和分类协商思想所占分值一样，都是占试卷总分值的10.0%，方程思想所占的分值最少，只占了试卷总分值的2.5%。从图5中可以看出2017年衡阳市中考试卷中数形结合的思想所占的分值最高，占试卷总分值的58.3%，其次是方程思想和函数思想，分别占试卷总分值的24.2%和25.0%，分类协商思想占试卷总分值的6.7%，化归思想所占的分值最少，只占了试卷总分值的5.0%。通过以上图表中可以得知，衡阳市近五年的中考数学试卷中对化归思想、方程思想、数形结合思想、函数思想和分类协商思想这五种主要的数学思想方法考查的比较多，都有涉及到，不同的数学思想方法在不同的题型中体现，所占的分值也不同，数形结

12、合思想所占分值总是最多，在题目中体现的也最多；有些思想方法虽然体现的题目多，但所占分值很少，而有些思想方法体现的题目少，所占分值却要多。如分类协商思想。3 中考数学试卷中几种主要数学思想方法的例证分析3.1化归思想例1 （2013年21题）先化简，再求值： ，其中.解原式当时原式例2 （2014年19题）分式方程的解为 .解去分母得去括号得解得经检验是分式方程的解故答案为：3.2方程思想例3 （2014年24题）学校去年年底的绿化面积为平方米，估量到明年年底增加到平方米，求这两年的平均增长率.解设这两年的平均增长率为根据题意得即开方得或解得，或（舍去）答：这两年的平均增长率为.3.3 函数思想

13、例4 （2015年25题）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物试验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式.（2）问血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间多少小时？图6解：（1）当时，设直线解析式为将代入得解得故直线解析式为 当时，设反比例函数解析式为将代入得解得故反比例函数解析式为（2）当，则解得当，则解得（小时）答：血液中药物浓度不低于微克/毫升的持续时间小时3.4 数形结合思想例5 （2015年22题）为了进一步了解义务教育阶段学生的

14、体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为 ；（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；（3）若该校九年级有400名学生，估量该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人；图7图8解：（1）“合格”的百分比为故答案是（2）抽测的总人数是（人）则抽测结果为“不合格”等级的学生有（人）故答案是16（3）该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有（人）故答案是例6 （2017年24题）为响应绿

15、色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员支付两种支付方式，下图描述了两种方式用支付金额（元）与骑行时间（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题.（1）求手机支付金额（元）与骑行时间（时）的函数关系；（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定哪种支付方式比较合算.图9解：（1）当时当时，设手机支付金额（元）与骑行时间（时）的函数关系式为则解得即当时，手机支付金额（元）与骑行时间（时）的函数关系式为由上可得，手机支付金额（元）与骑行时间（时）的函数关系式为 （2）设会员卡支付对应的函数解析式为则解得即会员卡支付对应的函数解析式为令

16、解得由图象可知，当时，会员卡支付廉价.答：当时，李老师选择手机支付比较合算当时，李老师选择两种支付都一样 当时，李老师选择会员卡支付比较合算3.5 分类协商思想例7 （2016年26题）如图10，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于（），点坐标为（），点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上.（1）求该抛物线的函数关系式（2）点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为、，当四边形为正方形时，求出点的坐标（3）将（2）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，求的值；若不存

17、在请说明理由图10解：（1）因为点是点关于轴的对称点所以抛物线的对称轴为轴所以抛物线的顶点为（）故抛物线的解析式可设为又因为（）在抛物线上所以解得所以抛物线的函数关系表达式为（2）当点f在第一象限时，如图11令得解得（舍去）所以点的坐标为（）设直线的解析式为则有解得所以直线的解析式为设正方形的边长为，则（）因为点（）在直线上所以解得所以点的坐标为（）当点在第二象限时同理可得：点的坐标为（）此时点不在线段上，故舍去综上所述：点的坐标为（）（3）过点作于，如图12则od，oe因为点和点重合时停止运动所以当时，则（）当时，则（） 在中在中， , 所以当时解得当时解得当时解得因为所以综上所述，当是等腰

18、三角形时，的值为，或图11图12例8 （2014年28题）二次函数的图象与轴的交点为两点，与轴交于点（其中），顶点为.（1） 求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）.（2） 如图13，当时，点为第三象限内的抛物线上的一个动点，设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数关系式及s的最大值.（3） 如图14，当取何值时，以为顶点的三角形与相似？ 图13图14解：（1）因为抛物线与轴交点为所以抛物线的解析式为将点代入上式，得所以所以抛物线的解析式为（2）当时，抛物线的解析式为则设直线的解析式为则有解得所以如答图15，过点作轴于点，交于点，则所以所以所以与之间的关系式为当时，有最大值为.（3）因为

19、所以顶点坐标为如答图16，过点作轴于点，则过点作轴于点，则由勾股定理得因为与相似，且boc为直角三角形所以必为直角三角形若点为直角顶点，则即整理得所以此种情形不存在若点为直角顶点，则即整理得因为所以此时，可求得的三边长为：的三边长为：两个三角形的对应边不成比例，不可能相似所以此种情形不存在若点为直角顶点，则即整理得 因为所以此时，可求得的三边长为：的三边长为：又因为所以满足两个三角形相似的条件所以综上所述，当时，以为顶点的三角形与相似图15图164 如何在初中数学教学中渗透数学思想方法数学思想方法在中考试卷中是一个重要考查内容，需要学生学习和掌握数学思想方法，学会用数学思想方法去分析数学中的一

20、些难题，并加以解决，因此，教师可以在课堂教学中渗透数学思想方法，引导学生灵活运用数学思想方法解题。在传统的课堂中教师只注重对知识的讲解，学生只是初步掌握了书本上的基础知识，却没有学会运用数学思想方法去解题，为了让学生两者都能掌握，教师应该将两者联络起来，使学生在课堂中不仅学习数学知识，还能学会运用数学思想方法去分析和解决数学问题。针对教师在初中数学教学中如何做到数学思想方法的渗透，将给出以下建议。4.1在情境创设中渗透数学思想方法 在教学中，许多教师在教学中都会通过创设情境的方式来导入本节课的学习内容，激发学生的学习兴趣，为了让学生在课堂学习中能够更快的运用数学思想方法解题，其实，我们就可以在

21、创设的情境中慢慢地渗透数学思想方法，引导学生对数学思想方法有更深入的认识和理解，。比如：让学生了解数学的进展史，领悟其中的数学思想方法9；再比如：在学习勾股定理时，教师可以借助“勾股圆方图”进行导入和证明，它不仅将代数和几何很好的结合起来了，也很好的体现了数形结合思想，使学生能够更好地理解数形结合的思想。除了这些，教师还可以查找数学史中有关其他数学思想方法的事例，创设与其有关的情境，这样有利于学生更好的学习数学思想方法。 4.2 在探究实践的过程中渗透数学思想方法 知识是通过不断探究得到的，探究的过程就是知识产生的过程，也伴随着数学思想方法的产生。所以,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思

22、考过程,问题的发觉过程、规律的被揭示过程等等,都渗透了数学思想方法,是训练思维很好机会10。例如：“平行四边形性质”，在课前，教师可以适当的引导学生回忆长方形有哪几条性质，把长方形与平行四边形做比较，再提问两者之间的相同点与不同点分别是哪些，最终得出平行四边形有哪些，在这个探究过程中就渗透了从格外到一般及类比的数学思想方法。4.3 在总结归纳中渗透数学思想方法初中数学的教学过程就是一个学生自主探究、摸索的过程，学生自己归纳其中所蕴含的数学思想方法，不断积存思考方法和提高实践能力。在教学中，教师要有目的、有步骤地引导学生参加数学思想的总结归纳过程，将统领知识的数学思想方法归纳出来，增加学生对数学

23、思想的认识及运用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力10。例如在讲解圆与圆的位置关系时，教师可以借助分析和探究的教学方式来归纳出两圆半径和或差与圆心距的关系，在这个过程中就体现了数形结合思想和归纳思想。像这样，通过不断地探究、实践、归纳，举实例再加以拓展的方式，能够让学生更深刻的理解和更好的掌握数学思想方法，结论通过本课题的研究，我们可以发觉数学思想方法是学习数学的关键，也是中考数学试卷中必考查的内容。因此，教师在教学过程中应当注重运用数学的思想方法，把数学思想方法渗透到教学过程中去，使学生在学习数学知识的过程中还能掌握数学思想方法，从而可以运用数学思想方法去分析问题，以及解决问题。教师在备课时要把数学思想方法渗透教学设计中去，明确在教学过程中渗透数学思想方法的方式及渗透程度。在课堂上，要让学生积极参加进来，以学生为主，让他们自己去思考问题，探究问题，解决问题，使他们在思考、探究和解决问题的过程中学习和掌握数学思想方法，再通过归纳总结，加深学生对数学思想方法的认识、理解和掌握，还可以出一些具有针对性的题目来加强学生在运用数学思想方法解题方面的训练，从而使数学知识与数学思想方法联络起来。除此之外，数学思想方法之间也并不是彼此孤立，而是相互渗透、相互促进的，一个问