2018-2019学年北京161中九年级(上)期中数学试卷

1、2018-2019学年北京161中九年级（上）期中数学试卷一. 选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的1.（2分）已知£ =丄，则凹的值是（ h 2 bB. Z32. （2分）抛物线y = （X-T）?+2的对称轴是（）A. x = -lB. X = ID x = 2在 RlABC 中，ZC = 90o, AC = 4, AB = 59 则 COSA 的值是（）3（2分）如图,A.第1贞（共1页）4. （2分）如图，在ABC中，DE HBC.分别交AB，AC于点D, E若AD = I DB = 3,则MDE的面积与ABC的而积的比等于（）3

2、A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位A. (-2J)C. (一&4)或(&-4)B. (-8.4)D. (2,1)或(2,-1)7. （2分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37。方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处.这 时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）北4IA. 40 海里B 40tan37°海里 C. 40cos37o海里 D 40sin37o海里8. （2分）已知二

3、次函数y=x2-2nn（m为常数），当-1a2时，函数值y的最小值为-2,则加的值是（）A.B近C.丄或、D. 丄或返2 2 2二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. （2分）如果IanQ =書，那么锐角Q的度数是_10. （2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，=.11. （2分）如图所示，圆O的半径为5, AB为弦，OC丄AB,垂足为E,如果CE = 2,那么AB的长是12. （2分）如图.在MBC中，点F分别在AB, AC上，若AEFs ABC,则需要增加的一个条件是 （写岀一个即可）BC13.(2 分)如图，直线 y lcxn(k 0)与抛物线 y2 = ax2

4、 + bx + c(a 0)分别交于 A(-LO) >B（2,-3）两点,那么当y1>y2时 x的取值范用是.714. (2 分)在 RtABC 中，ZACB = 90o, CD 丄 AB 于 £>, Sin ZBCD = - , CB = 2, AB =15. (2 分)在 WC 中，ZA = 30o, M = 4, BC = 3,贝IJAC =16. （2分）已知抛物线y = ax2+bx + c（x为任意实数）经过下图中两点M（L-2） . N（n,0）, 其中M为抛物线的顶点，N为氾点下列结论： 若方程 v' +bx +c = O 的两根为 Xl ,

5、 x2（1 < x2） 则-1 <x1 <0 , 2 < X2 < 3 : 当 <加时，函数值y随自变量X的减小而减小. ">0, b<0 9 c>0 垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分別为s、/,则5+/=2 其中正确的是 （写序号即可）刀65-4-3-2-1IlllIIllll I <-6 -5 -4 -3 -2 叫.1 2V3 4 5 6 -2-34-5-三、解答题（本题共68分，第17-22®,每小题5分，第2326题，每小题5分，第27, 第1页（共1页）28题，每小题5分）解

6、答应写出文字说明.演算步骤或证明过程17. （5 分）计算：sin30°+ 3tan60o-cos245° 18. （5分）先化简，再求值：伽+沁!）*吐！，英中山是方程+a-3 = 0的根.m n19. （5分）已知二次函数y = x2+4x + 3（1）用配方法将二次函数的表达式化为y = a（x-h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系Xoy中，画岀这个二次函数的图象：（3）观察图彖，直接写出当-3W0时y的取值范|羽6V543211111111、-6 -5 -4 -3 -2 -101 2 3 4 5 6 X-2-3-420. （5 分）如图，在 AABC 中，ZA

7、= 30o, COSB =AC = 63 求 AB 的长. 521（5分）在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有 圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 儿何？ ”用现代语言表述为：如图，AB为C）O的直径，弦CD丄AB于点E, AE = I寸，CD=IO寸，求直径A3的长.请你解答这个问题22. （5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线交于点F 第1贞（共1页）(1)求证：DF = 2BF ；23. （6分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示隧道中公路的宽度AB = Sm, 隧道的最高点C到公路的距离为6加.（I）建立适当的平面

8、直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）现有一辆货车的高度是4.4 ,货车的宽度是2加，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5/;/,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道（1）求证：无论R取任何实数时，该函数图象与X轴总有交点；（2）如果该函数的图象与X轴交点的横坐标均为整数，且R为整数，求R值.25. （6 分）如图，RtAABC 中，ZC = 90。，AC = BC. AB = 4cm.动点 D沿着 ACB 的方向从A点运动到3点.DE丄初，垂足为E.设AE长为XC”，BD长为ycm （当D与 A重合时，y = 4;当D与3重合时y = 0）.小云根据学习函数的经验，对函数，随自变量X

9、的变化而变化的规律进行了探究.下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了X与y的几组值，如下表：XICm00.511.522.533.54y / Cm43.53.2t2.82.11.40.70补全上而表格，要求结果保留一位小数贝I"怎（2）在下而的网格中建立平而直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点, 画出该函数的图象.(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB = AE时，A£的长度约为I - 1 T - -1- I1126. (6分)在平而直角坐标系0y中，抛物线y = ax2 -4ax+4a-3(aQ)的顶点为A(1) 求顶点A的

10、坐标；(2) 过点(0,5)且平行于X轴的直线/,与抛物线y ax2-4ax+4a-3(aQ)交于B , C两点 当“ =2时，求线段BC的长； 当线段BC的长不小于6时，直接写出的取值范I卞76543一2-1IIIIlllA5 71-3-2-1(9-112 3 4 5-2一-3一-427. (7分)数学课上，老师给出了如下问题：如图，在ABC中，点D是边AC上一点(1) 如图 1,ZABD = ZC.求证：AB2 = ADC :(2) 如图2,点E是BD的中点，且ZDCE = ZABZ儿 若AB = 3, C = 4,求CD的长. 小宇观察图1.发现第(I)问可以通过证明两三角形相似得岀比例

11、式，进而化为等积式： 他猜想，第(2)问是否可以构造类似图1那样的相似三角形，小宇把这个猜想与同学们交 流，通过讨论，发现可以借助点E是BD的中点，在形内或形外构造类似图1的相似三角形 的目的，进而求解.第1贞(共1页)请你参考小宇的发现、猜想及与同学们的交流内容，解答问题.第1贞（共1页）28. (7分)对于平而直角坐标系XQV中的点M和图形G ,若在图形G上存在一点N ,使M ,N两点间的距离等于1,则称M为图形G的和睦点.(1)当G)O的半径为3时，在点片(1,0), (3, 1),呂(？，0),片(5,0)中，G)O的和睦2点是:(2 )若点P(4,3)为0O的和睦点，求OO的半径r的

12、取值范用：(3) 点A在直线y = -l±,将点A向上平移4个单位长度得到点"，以M为边构造正方形ABCD,且C, D两点都在AB右侧.已知点E(2, 2),若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写岀点A的横坐标心的取值范用.2018-2019学年北京161中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试題解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的.1.（2分）已知Z =丄，则凹的值是（ b 2 bB. Z3【分析】根据两内项之积等于两外项之积求出b = 2a.然后代入比例式进行汁算即可得解.【解答】解：.乱,/. b =

13、 2c“ + b _ “ + 加 _ 3 b 2a 2故选：【点评】本题考査了比例式的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之枳，需熟记2. （2分）抛物线y = （X-T）?+2的对称轴是（）D x = 2A x = -lB. X = I【分析】直接根据抛物线顶点式即可求得.【解答】解：抛物线V = （A-I）2+2,对称轴为直线x = l.故选：B.【点评】本题考查的是二次函数的性质，即二次函数y = ax2+bx + c（a0）的顶点坐标是4仇一戻4a）,对称轴直线AC = 4, AB = 5,则 CoSA 的值是（A.B.C.D.【分析】根据余弦的泄义计算即可.【解答】解：在RtABC中

14、，cos = -=-,AB 5故选：B.【点评】本题考查的是锐角三角函数的左义，掌握锐角A的邻边b与斜边C的比叫做ZA的 余弦是解题的关键.4. （2 分）如图，在 ABC 中，DEllBC.分别交 A, AC 于点 D, E.若 AD = I, DB = 3, 则ADE的而积与WC的面积的比等于（）ZBCA.-B.-C.丄D.丄34916【分析】通过证明adesabc，可得 = （-）2=丄 SW A16【解答】解：.AD = 1, DB = 3,.AB = 4,V DE/BC,. SADESABC,-SS AD 2 _ 1SM AB 16故选：D.【点评】本题考查了相似三角形的判立和性质.

15、掌握相似三角形的判定是本题的关键.5. （2分）将抛物线y = -3平移，得到抛物线y = -3 （X-I）2-2,下列平移方式中，正确的是（）A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根拯抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.【解答】解:Vy =-3x2的顶点坐标为（0,0）, y = -l）2-2的顶点坐标为（L-2）将抛物线y = -3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y = -3(x-l) A. 40 海里B. 40t

16、an37°海里 C. 40cos37o海里 D. 40sin37o海里【分析】根据已知条件得出ZBAP = 37。，再根据AP = 40海里和正弦定理即可求出貯的长-2.故选：D.【点评】本题考査的是二次函数的图象与几何变换，熟知''上加下减，左加右减”的法则是 解答此题的关键.6. (2分)在平而直角坐标系中，已知点E(,2), F(-2,-2),以原点O为位似中心，相似比为丄，把EFO缩小，则点E的对应点F的坐标是()2A. (-2,1)B. (-8,4)C. (-8,4)或(&Y)D. (-2,1)或(2,1)【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换

17、是以原点为位似中心，相似比为R ,那么 位似图形对应点的坐标的比等于R或-E进行计算即可.【解答】解：.点E(Y,2),以O为位似中心,相似比为丄，2点E的对应点E的坐标为：(-41, 2x1)或(YX(丄)，2x(-1),2 2 2 2即(2,1)或(2,-1),故选：D.【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为£ ,那么位似图形对应点的坐标的比等于斤或7 .7. (2分)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37。方向，距离灯塔40海里的Ami虽37TT 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处.这 时，B处与

18、灯塔P的距离BP的长可以表示为()【解答】解：. 一艘海轮位于灯塔P的南偏东37。方向，.= 37°,. AP = 40 海里，. BP = APsin 37° = 40Sin 37° 海里；故选：D.【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三 角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有 机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.8. （2分）已知二次函数y=x2-2nvj（m为常数），当-12时，函数值y的最小值为-2,则加的值是（）A. -B. 2C.丄或 JD. J 或J2 2 2【分析】将二次函数配方成顶点

19、式，分m<-. m>2和-12三种情况，根据y的最小 值为-2,结合二次函数的性质求解可得.【解答】解：y = X2 -2nx = （X-m）2 -nr ,I）若 MV 1,当 X =1 时，y = 1 + Im = -2,3解W: ;n = -;2 若m>2 $ 当 = 2时，y = 4-4m = -2 ,3解得:n = - <2 （舍）：2 若一 1"2 > 当 x m 时，y = 一=-2,解得：刃=或加= -<-l （舍），加的值为-丄或J,2故选：D.【点评】本题主要考査二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键.二、填空题

20、（本题共16分，每小题2分）9. （2分）如果Iana = 3,那么锐角Q的度数是_60。_.【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案第1贞（共1页）【解答】解：.lan = T, 锐角的度数是：60°.故答案为：60°.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.10. （2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，V= -X2+2x案不唯一）.【分析】直接利用二次函数的性质分析其"，C的值进而得出答案.【解答】解：.开口向下，. a<0,T抛物线过坐标原点，.c = 0 »答案不唯一，如j =

21、-+2a-.故答案为：y = -x2+2x （答案不唯一）.【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确确定“，c的值是解题关键.11. （2分）如图所示，圆O的半径为5, AB为弦,OC丄AB,垂足为E,如果CE = 2,那么AB的长是8.【分析】如图，连接Q4：首先求出OE的长度：借助勾股圧理求出AE的长度，即可解决 问题.【解答】解：如图，连接OA：OE = OC-CE = 5-2 = 3：. OC 丄 AB,.AE = BE:由勾股泄理得：AE2=OA2-OE2, . OA = 5， OE = 3 /.AE = 4 AB = 2AE = 8 .故答案为8.C【点评】该题主要考查了勾股圧理

22、、垂径肚理等的应用问题：作辅助线，构造直角三角形, 灵活运用勾股龙理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键.12. (2分)如图.在ABC中，点E, F分别在AB, AC上，若AEFsABC,则需要 增加的一个条件是_EFIIBC_ (写出一个即可)【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 进行添加条件.【解答】解：当EFllBC时，AEFMBC故答案为EFIlBC【点评】本题考查了相似三角形的判泄：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似.13. (2 分)如图，直线 yl =x + n( 0)与抛物线 y2=ax2 +

23、 bx+c(a 0)分别交于 A(-1,O),B(2,-3)两点，那么当y1 > y2时，x的取值范围是_一IVXV2_【分析】根据图象得出取值范用即可.【解答】解：因为直线X=ZgO)与抛物线y2=ax2+bx + c(a0)分别交于(-kO),B（2,-3）两点,所以当 yl > y2时，-l<x<2t故答案为：-l<x<2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根拯图象得出取值范围.14. （2 分）在 RtABC 中，ZACB = 90。，CD 丄 于 D, SinZBCD = -> CB = 2, AB = 33第1贞(共1页)【分析】利用同

24、角的余角相等得岀BCD = ZA,再依据锐角三角函数即可求出答案【解答】解:VzACB = 90% CD丄AB9.Zfi + ZBCD = 90° = ZB + ZA,.ZBCD = ZA,在 RtAABC 中,Sin =BCBCSin /BCDBCSinA故答案为：3.【点评】本题考查同角的余角相等的性质和锐角三角函数的意义，理解和掌握锐角三角函数 的意义是正确解答的前提.15. （2 分）在ABC 中，ZA = 30% AB = 4 , BC = 3,则 AC =-23 ÷5<23-5【分析】根据三角形的髙3D的位置，分两种情形讨论即可解决问题：【解答】解：此题存

25、在两种情况：（1）当高BD 1ABC内时，在 RtABD 中，VAB = 4 > ZA = 30%.BD = 1aB = 2, AD = BD = 2®2在RlBCD 中，CD = JBe'-BD2 .AC = AD + CD = 23÷5 ,(2)当髙 3£> 任 ABC 外时，AC = AD- DCt = 23 - 5 .故答案为2÷5或2J-G【点评】本题考查了勾股左理的灵活运用，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键 是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解.16. （2分）已知抛物线y = ax2+bx + c（x为

26、任意实数）经过下图中两点M（1,一2）、NOW,0）,其中M为抛物线的顶点，N为泄点.下列结论： 若方程cr +bx + c = 0 的两根为舛 > x2（x1 <x2） 则-1 <x1 <0 , 2 < X2 < 3 ； 当天5时，函数值y随自变量X的减小而减小. >0, b<0, c>0 垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点,其C、D两点的横坐标分別为s、/,则5+/=2 其中正确的是_ （写序号即可）刀65-4-3-2-1IllIIllll I <-6 -5 -4 -3 -2 叫.1 2V3 4 5 6 -2-34-5-【分析

27、】利用函数图彖条件二次函数的性质一一判断即可.【解答】解：若方程Cix2 +bx + c = 0的两根为X, X2 （x1 <x2）,则-1 <x1 <0 , 2 < X2 <3 , 故正确： 当x<l时，函数值y随自变疑X的减小而减小，故错渓： a>0, b<0. cv故错误： 垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为$、/ ,根据 二次函数的对称性可知v + r = 2,故正确；故答案是：.【点评】本题考査二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常 考题型.三、解答题（本题共68分，第1722题

28、，每小题5分，第2326题，每小题5分，第27,28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. （5 分）计算：SinBOO+ 3tan60o-cos245°.【分析】将特殊角的三角函数值带入求解.【解答】解：原式=丄+3苗一丄2 2= 33 【点评】本题考査了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.18. （5分）先化简，再求值：伽+沁1）_竺芒，英中山是方程+a-3 = 0的根.m n【分析】根据分式的混合运算法则，化简后利用整体的思想代入计算即可.【解答】解：原式/'"", + I.用m m +1（n +

29、l）2 m2=mm +1= /?（/?+ 1）=m2 + m ,. WI是方程x2+x-3 = O的根，. m2 + m 3 = O , 即 Hr + m = 3 ,则原式=3【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，需要注意 最后结果化成最简分式或整式.19. （5分）已知二次函数y = x2+4x + 3.（1）用配方法将二次函数的表达式化为y = a（x-h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系Xoy中，画岀这个二次函数的图象：（3）观察图象，直接写出当-3W0时y的取值范国654321IlllIlllll,-6 -5 4 -3 -2 普_ 1 2 3 4

30、5 6 2-34【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式;（2）列表、描点、连线，画出图象即可：（3）观察图彖即可求解.【解答】解：（1） > = x2+4x + 3= x2+4 + 22 -22 +3= （x+2）2-1 :（2）列表:X-4-3-2-1O.y3O-1O3.描点、连线，画出图象为:（3）观察图象可得，当-3x0时y的取值范围是-l,v<3【点评】本题考査了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，利用数形结合是解此题的关键.20. （5 分）如图，在 AABC 中，ZA = SQP , COSB = , AC = 63 求 AB 的长

31、5【分析】如图，过点C作CD丄AB于点D分别在RtAACD, RtACDB中，求出AD，DB 即可.【解答】解：如图，过点C作CD丄AB于点D.在 RtACDA 中，ZA = 30。，/ CD = ACsin30o = 3, AD = ACXCoS30。= 9，在 RtCDB 中，CosB = - = -,BC 5.设 DB = 4x , CB = 5x .CD = 3x/. a, = 3 .DB = 4x = 43 ,.AB = AD+ DB = 9 + 4更第1贞（共1页）C【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线, 构造直角三角形解决问题，属于基础

32、题.21. （5分）在我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有 圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 儿何？ ”用现代语言表述为：如图，AB为Oo的直径，弦CD丄AB于点E, AE= 1寸，CQ = Io寸，求直径AB的长.请你解答这个问题.【分析】连接0C,由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CZ）的中 点，由CD的长求出DE的长，设OC = OA = X寸，贝IJAB = 2x寸，OE = （X-I） 寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长.【解答】解：如图所示，连接0C.弦CD丄AB, 为圆。的直径，.E为CD的中点，又

33、VCZ) = IO 寸，:.CE = DE =-CD = S-2设 OC = OA = X 寸，贝! AB = 2x 寸，OE = (X-I)寸,第1页(共1页)由勾股定理得：OE1+CE2= OC2,即(x-l)2+52 =x2,解得：X = I3,.AB = 26 寸，即直径的长为26寸.【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理山垂 直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用 勾股定理来解决问题.22. (5分)如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线3D交于点F .(1) 求证：DF = 2BF;(2) 当 ZAfB =

34、90。且 tan ZABD =丄时，若 CD =点，求 AQ 长.第1页（共1页）【分析】(1)证明得出对应边成比例，即可得岀结论：AP 1BF 2(2)求岀tailZABD =一，设AF = I 则BF = 2x,由勾股立理求岀x = AF = I,BF = 2,得岀DF = 4,再由勾股泄理即可得岀答案【解答】(1)证明：.四边形ABCD为平行四边形.DBC, D = BC , AB = CD, 点E为BC的中点，.BE = -BC = -AD92 2 AD/BC9ABEFADAF,BE BF 1AD"dF"2 '.DF = 2BF(2)解：VCD = 5,.A

35、B = CD = fAP .在 RtABF 中，ZAM = 90o, /. IanZABD = -=-,BF 2.设 AF = Jv,则 BF = 2a, AB = AF2 + BF2 = 5 r = 5 ,.-x = l, AF = I, BF = 2,. DF = 2BF,.DF = 4,：.AD=af7Tdf=7.【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判左与性质、勾股龙理，掌握平行四边形的对边平等且相等和相似三角形的判定与性质是解题的关键.23. （6分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度AB = Smf 隧道的最高点C到公路的距离为6加.（1）建立适当的平面直

36、角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4Am ,货车的宽度是2?，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5W,通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道.【分析】（1）以AB所在直线为X轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角 坐标系Xo,如图所示，利用待定系数法即可解决问题.（1）求出X = I时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题.【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以所在直线为X轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系XQy,如 图所示.A（-4,0）, B（4,0）, C（0,6）.设这条抛物线的表达式为y = 67（-4）（x + 4）.抛物线经过点C,3.

37、a =8/.抛物线的表达式为y = -x2+6, (-4x4) 845(2)当X = I 时，y =-,845 4.4 + 0.5 = 4.9<-,8这辆货车能安全通过这条隧道【点评】本题考查二次函数的应用、平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型24. （6分）已知二次函数y =用+伙+ l） + l伙HO）.（1）求证：无论R取任何实数时，该函数图象与X轴总有交点；（2）如果该函数的图象与X轴交点的横坐标均为整数，且R为整数，求R值.【分析】（1）根据根的判别式可得结论；（2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与X轴交点

38、的横坐标均为 整数，且R为整数，可得k=±.【解答】（I）证明： = （ + l）2-4×l = （jl-l）20无论斤取任何实数时,该函数图象与X轴总有交点;（2）解:当 y = 0时，也 + 伙 + l)x +1 = 0 ,Ik-l± 伙一1）1IX = 9 Xl= ，X> = 1 T2k1 k.该函数的图象与X轴交点的横坐标均为整数，且R为整数，:.k =±1.【点评】本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数y = OX2 +bx + c（a , b , C是 常数，0）的交点与一元二次方程ClXIbx +c = 0根之间的关系： = b2-4

39、ac决定抛物线与X轴的交点个数.厶=1-4心>0时，抛物线与X轴 有2个交点；Z=Z-4M = O时， 抛物线与X轴有1个交点； = b2-4ac <0时，抛物线与X轴没有交点也考查了二次函数与一元二次 方程的关系25. （6 分）如图，RtAABC中，ZC = 90。，AC = BCt AB = Acm.动点 D沿着CB 的方向从A点运动到点.DE丄AB,垂足为£.设AE长为皿加，BD长为ycm （当D与 A重合时，y = 4；当D与3重合时y = 0）.小云根据学习函数的经验，对函数y随自变疑X的变化而变化的规律进行了探究.下面是小云的探究过程，请补充完整：（1）通过

40、取点、画图、测量，得到了X与y的几组值，如下表：XICmO0.511.522.533.54y/ Cm43.53.2t2.82.11.40.7O补全上而表格，要求结果保留一位小数.贝O/2.9 .（2）在下而的网格中建立平而直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当DB = AE时，AE的长度约为Cm .【分析】（1）按题意，认真测量即可;第1贞（共1页）（2）利用数据描点、连线;（3）当DB = AE时，y = ,画图形测量交点横坐标即可【解答】解：（I）根据题意虽:取数据为2.9故答案为：2.9（2）根据已知数据描点连线得:在

41、（2）图中,画y=.v图象，测量交点横坐标为23.故答案为：2.3【点评】本题以考査画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想.26. （6分）在平而直角坐标系Xoy中，抛物线y = ax2-4ax + 4a-3（a0）的顶点为A.（I）求顶点A的坐标：（2）过点（0,5）且平行于X轴的直线与抛物线y =4"x + 4"-3（"h0）交于B, C两点 当“ =2时，求线段BC的长； 当线段BC的长不小于6时，直接写出的取值范帀7-6-5-4-3-2一1IIII1 II IA5432 -1(91 2 3 4 5-1一2一-3一-4【分析】（1）配方得到y

42、= Or2-4q + 4"-3r心-2）3,于是得到结论：（2）当“ =2时，抛物线为y = 2x2-8x + 5,如图.令y=5得到2x2-8a+5 = 5,解方程 即可得到结论；令v = 5得到 -4or + 4“-3 = 5,解方程即可得到结论.【解答】解：（1） y = Clxl -4v + 4t-3 = U（X-2）2 -3,顶点A的坐标为（2,-3）；(2)当=2时,抛物线为y = 2x2-8x+5如图.令y = 5,得2x2 -8x + 5 = 5, 解得，Xl= 0 a,2 = 4 >亜线段BC的长为4,U令 y = 5 > 得 Cix2 4<tv

43、+ 4“ 一 3 = 5 ,解得，A-2a + 2f2a2a - 2Jla1 ' A2aU线段BC的长为也La线段肚的长不小于6, 2¾6，a【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的顶点坐标，正确的作出图象是解题的关 键.27. （7分）数学课上，老师给出了如下问题：如图，在ABC中，点D是边AC上一点.（1）如图 1,若 ZABD = ZC，求证：AB2 =ADACi（2）如图2,点£是加的中点，且ZDCE = ZABD,若AB = 3, AC = 4,求CD的长. 小宇观察图1,发现第（1）问可以通过证明两三角形相似得出比例式，进而化为等积式： 他猜想，第

44、（2）问是否可以构造类似图1那样的相似三角形，小宇把这个猜想与同学们交 流，通过讨论，发现可以借助点E是3D的中点，在形内或形外构造类似图1的相似三角形 的目的，进而求解.请你参考小宇的发现、猜想及与同学们的交流内容，解答问题.【分析】（1）根拯相似三角形的判泄证得ABDsACB,再根拯相似三角形的性质可证得 结论：（2）延长DC到点F ,使CF = DC,连接3F,由三角形中位线的性质得到ECHBF,由 平行线的性质得到乙DCE = ZF,由（1）得到ABD-AE,根据相似三角形的性质得到 AB2 = AFAD .设CD = CF = X,贝IJAD = AC-CD = 4-x, AF = AC + CF = 4+x ,代入上 式求解可得结论.【解答】（1）证明：.