专题七 距离空间的可分性与完备性(投)

1、距离空间的可分性距离空间的可分性 有理数在实数集中的稠密性有理数在实数集中的稠密性 专题七专题七 距离空间的可分性与完备性距离空间的可分性与完备性距离空间的完备性距离空间的完备性 实数的完备性实数的完备性 一般距离空间的完备化一般距离空间的完备化已知：已知：在实直线上，在实直线上， 存在一个处处稠密的可数子集存在一个处处稠密的可数子集Q,Q, 且成立完备性定理（即柯西收敛原理且成立完备性定理（即柯西收敛原理) )。问题：问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密 的可数子集？完备性定理是否总成立？的可数子集？完备性定理是否总成立？ 一、距离空间的可分

2、性1.1.距离空间中的稠密子集距离空间中的稠密子集 定义定义1（稠密性稠密性) 设设X是距离空间是距离空间，A X，B X. (1) B在在A中稠密中稠密, 若对于若对于 x A, xn B, 使使xnx (n) (2) B B在在X中处处稠密中处处稠密(或或B是是X的一个稠密子集的一个稠密子集), 若对于若对于 x X, xn B, 使使x xn nx (nx (n).). 注注: 1): 1)B在在A中稠密中稠密 x A,0, S(x, )内含有内含有B中的点中的点 x A, 有有x B或或x BA B 2)B在在X中稠密中稠密 x X,0, S(x, )内含有内含有B中的点中的点 x X

3、, 有有x B或或x B X B B=X 例例1 有理数集在有理数集在R中处处稠密中处处稠密例例2 Rn中的有理点集在中的有理点集在Rn中稠密可数中稠密可数例例3 多项式集合多项式集合P在在C a,b LPa,b中处处稠密中处处稠密(魏尔斯特拉斯一致逼近定理魏尔斯特拉斯一致逼近定理: x(t) Ca,b, pn(t) P,使使pn(t)x(t)(n), 即即pn(t)按按Ca,b中的距离收敛于中的距离收敛于x(t).例例4 a,b上的有界可测函数集合上的有界可测函数集合Ba,b在在Lpa,b(p 1)中处中处处稠密处稠密. 证证: x(t) Lpa,b, 做函数列做函数列xn(t) (n=1,

4、2,)是是a,b上的有界可测函数上的有界可测函数, 且有且有x(t) Lpa,b x(t)p L1a,b0, 0, 使当使当E0 E=a,b,m(E0)N时时, m(E(xn)0, =( /2K)p, y(t) Ca,b使得使得 m(E(x(t) y(t) (由鲁金定理由鲁金定理) 不妨设不妨设 y(t) K, E0=E(x(t) y(t)pEppbapEmKdttytxdttytx0)()2()()()()(0,(x,y)0, p(t) P Ca,b,使使 (x,p)=max|x(t)-p(t)|0, p0(t) P0 P, 使使 (p,p0)=max|p(t)-p0(t)|, p0(t)

5、P0 P Ca,b, 使使 (x,p0)=max|x(t)-p0(t)| max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| 0, 有理系数多项式有理系数多项式 p0(t) P0，使，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)| /(b-a)1/ppbappLababdmtptxpxp)()()(),(,00例例5 LPa,b是可分的是可分的.（多项式集合（多项式集合P在在C a,b LPa,b中稠密中稠密有理系数多项式集合有理系数多项式集合P0在在Lpa,b中稠密可数）中稠密可数）例例6 lp(p 1)与与c 都都是可分的是可分的. （有理点集（有理点集A=x=(x1,xn,

6、0,)|xi Q在在lp (p 1)和和c中都处处稠密）中都处处稠密）例例7 设设X是离散距离空间是离散距离空间, 证明证明X可分可分X是可数集是可数集 证证：在离散距离空间中没有稠密真子集，所以在离散距离空间中没有稠密真子集，所以X X中唯一中唯一的稠密子集只有的稠密子集只有X X自身自身。 故故X X可分可分X X可数。可数。 注注：可见可见并非所有的距离空间都是可分的并非所有的距离空间都是可分的。注：注：定义在任何一个势为定义在任何一个势为( (即不可数即不可数) )非空集合上的离散非空集合上的离散距离空间一定是不可分的。距离空间一定是不可分的。( (上例中的上例中的A A也是不可分的。

7、也是不可分的。) ) 2）证明证明m中没有可数稠密子集中没有可数稠密子集(反证法反证法) 设设m可分可分A0=x=( 1, 2, n,)| i| K m可数可数, 且在且在m中稠密中稠密A0=x1,x2,xk, 其中其中xk=( 1(k), 2(k), n(k) ， 且且A mS(xk,1/3） (k=1,2,)A0可数可数, A不可不可x,y A, x y, 并并 x0 A0, 使使S(x0,1/3) x,y1= (x,y)(x,x0)+ (x0,y)0, N=N( ), 当当m, nN时时, 有有 (xm,xn)0, N, 当当m,nN时时, 同时有同时有 (xn,x) /2, (xm,x

8、) N时时, 有有 (xm,xn)(xn,x)+ (xm,x)0, N=N( ), 当当m,nN时时, 有有 (xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N时时，有有|xn(t)-xm(t)|N时时,有有 )()(jikixx设设xi(k)xi (k) (i=1,2,n) , 令令x=(x1,xn) Rnxxxxxxkniikik2112)()(),(（k）Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的. xi(k)是基本列是基本列, 因而因而xi(k)收敛收敛0, N,当当k,jN时时,有有 0, N,当当kN, j时，有时，有 例例6 空间空间LPa,b、lp、

9、l (orm)、c 均为完备的距离空间。均为完备的距离空间。证证: x(k) l 为一基本列为一基本列, ,.),.,()()(2)(1)(knkkkxxxx)()(1)()(sup),(jikiijkxxxx对于对于i=1,2,n, 当当k,jN时时,有有|xi(k) xi(j)|N时，有时，有,.2 , 1,lim)()()(ixxxxkijikijix(k) l xi(k)Mk,(k=1,2,) xixi-xi(k) + xi (k)+Mk, i=1,2, x=x1,x2,xn,) l 完备lxxNkxxxxknikiik)()(1)(lim)(sup),(0, N,当当k,jN时时,有

10、有 例例6 有理数集有理数集Q按距离按距离 (x,y)=|x-y|是距离空间是距离空间,但不完备但不完备. 事实上，在有理数集事实上，在有理数集Q中，有理数列中，有理数列(1+1/n)n收敛收敛,因而因而是基本列是基本列, 但其极限为但其极限为e Q，故，故Q不完备不完备.例例7 a,b上实系数多项式全体上实系数多项式全体Pa,b按按Ca,b中通常的距中通常的距离构成离构成Ca,b的子空间的子空间, 但它是不完备的距离空间。但它是不完备的距离空间。事实上事实上, 存在多项式列存在多项式列 pn(t)一致收敛于一致收敛于x(t): x(t) Ca,b.x(t) Pa,b(但是确实存在着不但是确实

11、存在着不完备的距离空间完备的距离空间)例例9 C0,1按距离按距离 构成的距离空间构成的距离空间 101,dttytxyx是是L10,1的子空间，但它按的子空间，但它按 1(x,y)不完备不完备. 证证:构造函数列构造函数列xm(t) C0,1:1121, 112121),21(210, 0)(tmamttmttxmm(m=1,2,),( , 01121),(1mnmnxxnmxm C0,1是基本列。是基本列。011/2am011/2aman如果存在如果存在x(t) 使使 1(xm,x)0(m), 由于由于 0,112112121210101mmmmmmmdttxtxdttxtxdttxtxd

12、ttxtxxx )210( , 0)(lim)(01210ttxtxdttxtxmmm 1)(lim)(011121txtxdttxtxmmmm12/1 , 12/11 , 0)()(1tttxtxm显然显然x(t) C0,1，所以，所以C0,1按距离按距离 1 (x,y)不完备。不完备。可以证明可以证明xm在在C0,1 中按中按 1(x,y)不收敛。不收敛。例例10 Ca,b按距离按距离 构成的距离构成的距离 2121,badttytxyx空间是空间是L2a,b的子空间，的子空间，但它按但它按 2(x,y)不完备不完备. ,.)2 , 1()2(arctan)(nbatntxn证证:构造函数

13、列构造函数列xn(t) Ca,b:|xn(t) |0, N0, 当当nN时时, (xn,x)N, mN时时, (xn,xm)(xn,x)+ (x,xm)m)xn Sn Sm(xm,xn) rm0 (m,nm)xn X是基本列是基本列 X完备完备 x X,使使 xnx (n) (xn,xm) rm, xnx(xm,xn)(xm,x) rm (m=1,2,) x S(xm) (m=1,2,)nnSx12）唯一性唯一性nnnnSySx11,(x,y) rn0 (n)(x,y)=03. 3. 完备距离空间的两个基本定理完备距离空间的两个基本定理 定义定义5 （稀疏集与第二纲集）设（稀疏集与第二纲集）设

14、X是距离空间是距离空间 1）若）若X中任一个球都含有某一个球，使后者不含中任一个球都含有某一个球，使后者不含A的的点，则称点，则称A为为X中的稀疏集（疏朗集）。中的稀疏集（疏朗集）。 2）若）若A= An，每个，每个An都在都在X内稀疏，则称内稀疏，则称A是在是在X内内的第一纲集的第一纲集, 而而X内的非第一纲集的集合称为第二纲集内的非第一纲集的集合称为第二纲集. 注：注：1在稀疏集定义中，在稀疏集定义中，“任意球任意球”可以是开球或闭可以是开球或闭球球. 2在在R中，有理数集是第一纲集，而无理数集是中，有理数集是第一纲集，而无理数集是第二纲集。第二纲集。 定理定理3 设设X是距离空间，是距离

15、空间，A是稀疏集是稀疏集A不在不在X的任意的任意球中稠密。球中稠密。证证 “” 设设A稀疏稀疏 S(x0, ), S(x1 , ) S(x0, ),使使S(x1, ) A= A不在不在S(x0, )中稠密中稠密 “” 设设A不在任一球中稠密不在任一球中稠密 S(x0, ), x1 S(x0, ),但但x1 A S(x1, ) S(x0, ),使使S(x1, ) A= 定理定理4(第二纲集定理第二纲集定理) 设设X是完备的距离空间，则是完备的距离空间，则X是是第二纲集。第二纲集。推论：给定完备的距离空间推论：给定完备的距离空间X，若，若A X是第一纲集，则是第一纲集，则AC 是第二纲集。是第二纲

16、集。 例如：由于有理数是例如：由于有理数是R内的第一纲集，故无理数是内的第一纲集，故无理数是R内内的第二纲集。的第二纲集。注：注：1 1）闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；刻划了距离空间的完备性；刻划了距离空间的完备性；是实数中的康托区间套定是实数中的康托区间套定理的推广。理的推广。 2）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。 完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用，对于不完备的距离空间，它在应用上将会造成很多困难。RQ 4. 4. 距离空间的完备化距离空间的完备化问题：能否在不完备的距离空间中补充一些新“点”， 使之成为完备的距离空间？例如在有理数集Q中加入“无理数”，便得到完备巨龙间R，并且Q在R中稠密。这就是所谓的距离空间完备化问题。定义定义6 （等距映射与等距同构）设（等距映射与等距同构）设(X, X)和和(Y, Y)是两是两个距离空间个距离空间,如果存在一个满射如果存在一个满射T:XY, 使得使得 x,y X,有有 Y(Tx,Ty)= X(x,y)则称则称T使使X到到Y的的等距映射等距映射，并称，并称X与与Y是是等距同构等距同构的。的。 定义定义7 （完备化空间）设（完备化