二次函数的值域

1、二次函数的值域二次函数的值域一、定义域为一、定义域为R R的二次函数的值域的二次函数的值域;44,0;,440442022222abacaabacyaabacabxayRxacbxaxy值域为时当时当为时的值域是先把它配方当求二次函数另外也可以从函数的图象上去理解。另外也可以从函数的图象上去理解。4,4) 1(32:22值域为如xxxy2 21 1-1-12 21 1-1-13 30 02 21 1-1-12 21 1-1-13 30 02b4acbA(,)2a4a2b4acbA(,)2a4a二、定义域不为二、定义域不为R R的二次函数的值域的二次函数的值域练习练习322 xxy、的值域的值域

2、当当x x(2,3 时时, 求函数求函数例例1 1 3, 03, 2( yx时时从图象上观察得到当从图象上观察得到当)4, 1) 1 ( x322 xxy的值域的值域在下列条件下求函数在下列条件下求函数)11, 2) 1 ( y答答24x4321y1(1,4)3-1求函数 的值域sincos21y解：由已知得解：由已知得22 sinsiny2112(sin)48sin11 ，当当x=1时时max3y当当x= 时时14min18y函数的值域为函数的值域为1,38设点设点p(x,y)是椭圆是椭圆C:22(2)146xy上的动点，求上的动点，求x2+y2的最值的最值解得解得04x解：由已知得解：由已

3、知得2236(2)02yx222236(2)2xyxx22116(6)1822xxx 当当 时，时，0 x 22xy取最小值取最小值0当当 时，时，4x 22xy取最大值取最大值16设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。2yxo13a 当当x=0时，时，ymax=3 当当x=a时，时，ymin=a2-2a+31.当当0a1时，函数在时，函数在0，a上单调递减，上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值三

4、、定函数动区间的二次函数的值域域 当当x=0时，时，ymax=3 当当x=a时，时，ymin=a2-2a+3 ,函数在函数在0,1上单上单 调递减调递减,在在1,a上单调递增上单调递增, 当当x=1时时,ymin=2 当当x=0时，时，ymax=3yxo1322a解解:函数图象的对称轴为直线函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上抛物线开口向上例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。2.当当1a2时时1.当当a1时，函数在时，函数在0，a上单调递减，上单调递减， ,函数在函数在0,1上单调上单调 递减递减,在在1，a上单调

5、递增上单调递增, 当当x=1时时,ymin=2, 当当x=a时时,ymax= a2-2a+3yxo132a2例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。3.当当a2时时2.当当1a-1, - ,对称轴在对称轴在x= - 的右边的右边.2a2121(1)当当 -1 a时时,即即a0时时,由二次函数图象由二次函数图象2a可知可知: ymax =f ( )= 2a4a24a22axyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当当a 时时,即即-1a0时时, 2a综上所述综上所述:当当-1a-1, -

6、,对称轴在对称轴在x= - 的右边的右边.2a2121(1)当当 -1 a时时,即即a0时时,由二次函数图象由二次函数图象2a可知可知: ymax =f ( )= 2a4a2(2)当当a 时时,即即-1a0时时, 2a4a24a22aaxyo-1由二次函数的图象可知由二次函数的图象可知: ymax =f (a)=0课堂小结：课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二次函数图象的关键抓住二次函数图象的开口方向开口方向，对称轴对称轴及及定义区间定义区间，应用，应用数形结合法数形结合法求解。求解。1、二次函数在闭区间的最值的求法（两看法）二次函数在闭区间的最值的求法（两看法） 、看开口方向、看开口方向 、看对称轴在闭区间的相对位置、看对称轴在闭区间的相对位置3、在问题转化过程中注意挖掘题设中的隐含条件，、在问题转化过程中注意挖掘题设中的隐含条件， 给出正确的变量范围给出正确的变量范围4 4、本节体现数学思想主要有、本节体现数学思想主要有数形结合思想、分类数形结合思想、分类 讨论思想、转化与化归思想。讨论思想、转化与化归思想。2、常见题型、常见题型定轴定区间定轴定区间动轴定区间动轴定区间定轴动区间定轴动区间 的值。，求上的最大值为，在区间、已知函数aaxxxf42112