向量数量积329

1、平面向量数量积平面向量数量积的物理背景及其的物理背景及其含义含义教学目的教学目的 1 1、掌握平面向量数量积的物理、掌握平面向量数量积的物理背景；背景； 2 2、掌握平面向量数量积的定义、掌握平面向量数量积的定义及几何意义；及几何意义； 3 3、理解一个向量在另一个向量、理解一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。方向上的投影的概念。cossfwfs一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景 在物理课中，我们学过功的概念，在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力即如果一个物体在力 的作用下产生的作用下产生位移位移 ，那么力，那么力 所做的功所做的功sffa 已知两个非零向量已知两

2、个非零向量a a和和b b，作，作oa=oa=a a， ob=ob=b b，则则aob=aob= （0 0 180180）叫做向量）叫做向量a a与与b b的的夹角夹角, ,记为记为a,b.二、向量之间的夹角二、向量之间的夹角obab注意：注意：1.当0时，a与b同向；oab2.当180时，a a与b b反向；oabb3.当90时，称a a与b b垂直，记为a ab b.oaab4.零向量与任一向量垂直三、向量在轴上的正射影o1b1a1labo11111111coscoso aoalo aoao boblo bob 为在轴 上的正射影，为在轴 上的正射影, 00001.cos()ababa b

3、a babab 注意：向量在轴l上的正射影是一个向量.2.向量在轴l上正射影的数量（坐标）其中 为向量与轴的正方向成的夹角ba四、向量与的数量积的概念四、向量与的数量积的概念ab规定：规定：零向量和任一向量的数量积为零向量和任一向量的数量积为0 0a 已知两个非零向量与，它们已知两个非零向量与，它们的夹角为的夹角为 ，则我们把数量，则我们把数量 叫做叫做 与与 的数量积的数量积( (或或内积内积) )，记作：，记作：b, a b a b cos a,b a ba b cos a,b , a b 对的几点说明：(1).,a ba ba b 是向量的夹角，规定0(2).,a bb a (3).,2

4、a ba bab 时， 互相垂直，记作(4).规定零向量与任意向量垂直。 思考：两非零向量思考：两非零向量 与与 的数量积的数量积是一个是一个实数实数，不是一个向量，不是一个向量，其值可以其值可以为正，也可以为负，还可以为零为正，也可以为负，还可以为零，请说，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？时候为零？ab测一测：测一测：吗？的结果还是一个向量对ba) 1 (对吗？2|)2(aaa对吗？| )3(baba对吗？baba0)4(对吗？0)5(baba对吗？|/)6(bababa是非零向量与前提： ba结论：结论：|)2(babababababa反向

5、时，与当；同向时，与当aaaaaa|)3(2或baba0) 1 (|)4(baba是非零向量与前提： ba(5)ea ee a 如果是单位向量，则向量数量积性质：22(1)| cos(2)0(3)|(4) cos|(5) | |(6)|;|;eaaeaababaaaaaaaabababababababababab 或当与同 向 时 ， 当与反 向 时 ，练习：判断下列说法是否正确练习：判断下列说法是否正确1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b

6、= =04 4若若a0，a b= = b c，则，则a=c5 5若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立6对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 算一算：算一算：.1204|5|1bababa，求为的夹角与，、.8|6|2bababa求平行，与，、答案：答案：-10-10同向时，同向时，4848反向时，反向时，-48-48算一算：算一算：的夹角与求，、bababa284|4|3045224428|cos可得解：由baba五、向量数量积的运算律五、向量数量积的运算律 已知向量已知向量 与实数与实数，则向量，则向量的数量积满足下列运算律：的数量积满

7、足下列运算律：cba,)()()(2(bababa)()1 (交换律abbacabacba)() 3 (分配律分配律)ab0c oaabbcclab0c oaabbccl00oaoacac 00a babcbc 00()obob cabc 000()oboaa babca cb c ()cabca cb c 两边同乘以得，分配律000)(cbcacba., 0cbcabaa时，不一定有当 说明：向量数量积不满足消去律，说明：向量数量积不满足消去律，也就是说：也就是说：巩固训练巩固训练22222222(1)()2(2)()()1(3)()2abaabbabababababab例题：求证1题 ，求证菱形的两条对角线互相垂直。,abcdac bdacbd已知：是菱形，为它的两条对角线求证：22,0acabad bdadabac bdabadadabadababadac bdacbd 证明：abcd)3()2(604620babababa求，的夹角为与，已知、题.433互相垂直与何值时，向量为不共线与，且，已知、题bkabkakbaba-7243提高练习：提高练习：三角形三角形abcabc为正三角形，问：为正三角形，问：上的投影为在上的投影为在夹角为与夹角为与bcabacabbcaba