高等数学课件D13函数的极限

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当即,0,0当),(0 xux时, 有若记作 axf)(axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(p36定理2) 这表

2、明: aa几何解释几何解释:oax0 xy)(xfy 例例1. 证明)(lim0为常数cccxx证证:axf)(cc 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0cc因此ccxx0lim总有例例2. 证明1)12(lim1xx证证:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时, 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx例例3. 证明211lim21xxx证证:axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x例例4. 证明: 当00 x证证:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0

3、 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf右极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf定理定理 3 .axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p39 题*11 )例例5. 给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极

4、限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyo11 xy11 xyxxaaoxy)(xfy a定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0x,)(,axfxx有时当则称常数时的极限,axfx)(lim)()(xaxf当或几何解释几何解释:axfa)(xxxx或记作直线 y = a 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(a 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限例例6. 证明. 01

5、limxx证证:01xx1取,1x,时当xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyoxyxy1oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = a 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :axfx)(lim,0,0x当xx 时, 有 axf)(axfx)(lim,0,0x当xx时, 有 axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21定理定理1 . 存在，那么这极限唯一0lim( )xxf x定理定理2 . 如果0, 使得

6、当00 xx时, 有( )f xm，那么存在常数 m0和若axfxx)(lim02. 保号性定理保号性定理定理定理3 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0时使当xux. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 xu当时, 有.)(axfa当 a 0 时, 取正数,a则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(a则存在( a 0 ),(0 xu),(0 xux),(0 xu)0(aa0 x0 xax0 xy)(xfy o先看书上证明先看书上证明axfa)(:0a:0a若取,2a则在对应的邻域上 若,0)(lim0axfxx则存在使当时, 有.2)(axf定理定理3 :23)(2axfa2)(23axfa),(0 xu, ),(0 xu),(0 xux分析分析:aa0 x0 xax0 xy)(xfy o推论推论. 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx则. 0a)0(a证证: 用反证法.则由定理 3,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0a(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim20 xx存在