第8章材料非线性问题的有限元法

1、第7章 非线性有限元1.材料非线性问题的求解方法材料非线性问题的求解方法2.塑性应力应变关系塑性应力应变关系3.弹塑性矩阵的表达式弹塑性矩阵的表达式4.弹塑性问题的求解方法弹塑性问题的求解方法5.弹塑性问题的实例计算弹塑性问题的实例计算材料非线性问题 前面各章中，我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹性力学中，位移与应变的关系（几何方程）是线性的，应变与应力的关系（本构方程）也是线性的。但是，工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不满足上述线性关系，呈非线性状态。通常把不满足条件 1 的称为材料非线性，把不满足条件2，3的称为几何非线性。7.1 材料非线性问题的求解方法材料非线性问

2、题的求解方法1 表征材料应力应变关系的本构方程是线性的；2 描述应变与位移关系的几何方程是线性的；3 以变形前的状态建立的平衡方程仍适用于变形后的体系非线性问题经有限元法离散后，得到如下形式的一组代数方程即刚度方程K是节点位移向量的函数。材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的，通常表现为非线性弹性问题和弹塑性问题，此外还有与时间有关的应力应变关系。 非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。加载过程时，这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在于两点：一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点，二是卸载过程两者有完全不同的路径。在常应力状态下，变形随时间变化的特性成为粘性，变

3、形随时间变化的现象称为徐变（蠕变）。这类问题包括粘弹性问题、粘弹塑性问题、徐变问题。0)()(fK对于材料非线性问题进行有限元分析，由于考虑的是小变形，平衡方程和几何关系依然成立，即B 但是物理方程是非线性的，可以写成如下的一般形式(7.2) 0),(f(7.3) 0)( RK必须注意，由于小变形的关系，应力形式的平衡方程仍然是线性的，但是以结点位移列阵 表示的平衡方程则不再是线性的了。因为应力和应变 之间是非线性的，从而应力与位移之间也是非线性的；于是(7.1)式可以写成 (7.1) dTRVB1 牛顿牛顿-拉斐逊拉斐逊（Newton-Raphson）法法任何具有一阶导数的连续函数Y(x)，

4、在xn点作一阶泰勒级数展开，它在xn点的线性近似公式是 )(dd)()(nnnxxxYxYxY0)(dd)()(nnnxxxYxYxY因此，非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程 它的解是 11 )dd/()(nnnnnxxxxYxYx；这就是牛顿拉斐逊方法的迭代公式。牛顿拉斐逊方法的迭代过程如图7.1(a)所示，它要求在每次迭代时计算 ，因此计算工作量巨大。修正的牛顿拉斐逊方法 迭代公式是xxYxYd/ )(d)( 110 )dd/()(nnnxxxxYxYx；在每次迭代时Y(x)值是不变的，迭代过程如图7.1(b)所示。牛顿拉斐逊方法求解平衡方程的迭代过程结构的平衡方程式为简

5、单起见，考虑单自由度系统。设Y()=K()R0，因为K是的函数，即KK()。令F()K，于是 用牛顿拉斐逊方法求非线性方程Y()0的根，(7.1)式的迭代公式可以写成(7.4) 0)( RK111 )()dd(nnnnnnFRY；(e)0)(RFY在图7.2中，给出了牛顿拉斐逊迭代方法。曲线FK和直线FR的交点A的横坐标是(7.3)式的精确解。迭代开始时按线性理论求解位移1 作为第一次近似值，即图7.2a 中A1 点的横坐标。如果载荷R不因变形而改变它的大小和方向，则有TKFYdddd式中，KT是曲线FK的斜率，代表切线刚度。第二步，从B1点作曲线FK的切线交直线FR于A2点，取A2点的横坐标

6、是2。从图中看出11211)()/(TKBA212111)()(FRBA；)()(12111FRKBAT）（由于得我们来叙述牛顿拉斐逊方法求解(7.3)式的图解表示。把上式和(e)式比较可以看出，2就是位移的第二次近似。如此不断重复，则得迭代公式如下111 )()(nnnnnnTFRK）（；）（因此，图7.2(a) 就是求解 (7.3) 式的图解表示。由于KT表示结构的切线刚度，因而牛顿拉斐逊方法也称为切线刚度法。同样，修正的牛顿拉斐逊方法可以用图7.2 (b) 表示。由于每次迭代不改变它的刚度值，所以也称为等刚度法。2 变刚度法 (1) 割线刚度法如果材料的应力应变关系能够表示成如下形式D于

7、是由(1.2)式，上式可以写成)()(BDBD把上式代入(7.1)式，并利用(7.3)式，得(7.5) d)()(TVBDBRK把(7.3)式写成迭代公式(7.6) 1RKnn迭代步骤 如图7.3。(2) 切线刚度法设材料的应力应变关系表示为增量形式 就可以利用切线刚度法， 是切线弹性矩阵。把公式（7.1）改写成d)(dTD)(TD0d)(TRVBY(7.7)dd)d)(dd)(dTTTTKVBDBVBY(7.8) d)(TTTVBDBK切线刚度矩阵考虑由于增量d引起Y的变化。因为R与无关，则)9 . 7( d11T1nnnnnnnTRVBYK；利用牛顿拉斐逊方法，得到迭代公式3 初应力法 设

8、材料的物理方程取为即由给定的应变值确定相应的应力值。上式可用具有初应力的线弹性物理方程所代替。式中0是初应力列阵；D是线性弹性矩阵，就是非线性材料在0时的切线弹性矩阵。(7.10) )(f(7.11) 0 D)(0DfD引进假想的线性弹性应力(7.12) el0调整初应力值0 ，使它在给定的应变值用 (7.10) 式或 (7.11)式可以得到相同的应力值。有那末elD把(7.11)式代入(7.1)式，有VBRVBDBdd 0TT设 ，即由线弹性矩阵所定义的结构整体刚度矩阵。于是上式可以写成VBDBKd T0(7.13) d0T0VBRK把上式写成如下的迭代公式)14. 7()d(elT10VB

9、RRRKnnnnn在整个迭代过程中刚度矩阵 K0 保持不变，因此也称为等刚度法。3 初应变法 某些问题，例如蠕变问题，它的应变值是由应力值决定。因此，物理方程可写成类似于初应力法，设用具有初应变的线弹性物理方程所代替。式中0是初应变列阵；调整0的值，使它在给定的应力值用(7.15)式或(7.16)式可以得到同样的应变值。于是有 (7.15) )(f(7.16) 0）（ D)(110DfD1elD令 ，于是 el0(7.17)把(7.16)式代入(7.1)式，有VDBRKd0T0可以把上式写成如下迭代公式VDBRRRKnnnd0T10(7.18)如果己知位移的第n次近似值n ，可以利用(7.2)

10、式算出应变值n。由n以及前一次迭代所得到的初应变n1，就可以利用(7.16)式求出应力值式中，Rn称为矫正载荷，它近似地等于抵消初应变所需要的载荷。)(10nnnD迭代过程是调整初应变的过程，现把它叙述于下。接着利用应力应变曲线，即是由(7.15)式得出对应于n的应变值。这样，就能算出初应变值nnnnnD1el0作为下次迭代之用。把上式代入(7.8)式，求解代数方程就可以求得位移的第n+1次近似值n+1。重复迭代直至收敛。7.2 塑性应力应变关系塑性应力应变关系1 材料的塑性性质简单拉伸及薄壁筒扭转实验所得到的应力应变曲线是我们研究材料塑性性质的基本资料，图7.7(a)是低碳钢的拉伸曲线。实验

11、知，应力增加到屈服极限时，应力应变曲线上出现屈服阶段。过了屈服阶段以后，大多数材料要使继续增加变形，必须使应力进一步增加，即d/d0; 这所谓强化现象或称加工硬化。加果屈服阶段很长，我们可以简化为如图7.7 (b) 所示的曲线d/d=0；称为理想塑性或完全塑性。 式中，1、2、3为主应力，T是单向拉伸时的屈服极限。(7.19) 2/ )()()(213232221T)(6)()()(222/ )()()(222222213232221zxyzxyxzzyyx等效应力为1 米赛斯屈服准则米赛斯屈服准则认为；材科在复杂应力状态下的形状改变能达到了单向拉伸屈服时的形状改变能，材料开始屈服。于是得到米

12、赛斯屈服条件是 应力偏量 为：(7.21)zxzxcpzzyzyzcpyyxyxycpxx式中，cp(x+y+z)3称为平均应力。等效应力可以用应力偏量表示为)(223222222zxyzxyzyxTzxyzxyzyx222 23T若记：则等效应力：则米赛斯屈服条件是(7.20) T现在讨论材料的应变强化规律。假设材料进入塑性之后，载荷按微小增量方式逐步加载，应力和应变也在原来水平上增加d和d。应变增量d可以分成二部分其中，d为全应变增量，de为弹性应变增量，dp为塑性应变增量。对应于等效应力，定义等效应变 peddd)(23)()()(122222222zxyzxyxzzyyx）（对于单向拉

13、伸x=，y=z=，xy=yz=zx=0，等效应变恰等于。定义塑性应变增量的等效应变为塑性等效应变增量 。因为塑性变形不产生体积改变，故取1/2。于是有 pd)ddd(23)dd()dd()dd(32d222222zxpyzpxypxpzpzpypypxpp引进应变偏量(7.23)zxzxcpzzyzyzcpyyxyxycpxx式中，cp(x+y+z)3 称为平均应变。注意到塑性变形中的体积应变等于零，即xp+yp+zp0，因此对于塑性应变，偏量就是它本身。于是有),( dd ),( ddzyxjizyxiijpijpipip，；，利用上式等效塑性应变增量可以表示为)ddd(21ddd32d22

14、2222zxpyzpxypzpypxppTzxpyzpxypzpypxpp2d2d2ddddd*若记则等效塑性应变增量 可以改写成pd)d()d(32d*T*ppp(7.24)现在回顾一下单向拉伸实验，如果应力超过屈服极限，卸载是弹性的。如图 7.6中所示，从A点起以原点斜率相同的斜直线为卸载路径。若卸载后继续加载，它几乎按原卸裁路径回复到 A 点。这样，就可以认为材料经过卸载再加载可以提高屈服极限，而且新的屈服应力和卸载前的塑性应变p有关系。推广到复杂应力状态则有如下的塑性强化规律：在进入屈服后，进行卸载或部分卸裁然后再加载，新的屈服应力值仅与卸载前的等效塑性应变总量有关。这就是说，新的屈服只有当等效应力