第一章独立性

1、12内容复习内容复习()( )( ),.,P ABP A P BAAA BBB 设设是是两两事事件件 如如果果满满足足等等式式则则称称事事件件简简称称互互独独立立独独立立相相定义定义1.41.4 ()(,( )0., . )A BP AAP B APBB 设设是是两两事事件件 且且则则相相互互独独充充分分必必要要是是条条件件立立的的定定理理1 1 ()(,( )0., . )A BP BAP A BPBA 设设是是两两事事件件 且且则则相相互互独独充充分分必必要要是是条条件件立立的的推推论论1 1两事件发生可能性的大小并不相互影响两事件发生可能性的大小并不相互影响根据问题的实际意义去判断：根据

2、问题的实际意义去判断：3两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互两事件互斥斥 ABAB11( ),( ),22P AP B则则AB()( ) ( ).P ABP A P B 故故 例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件相互独立与两事件互斥有联系吗？两事件相互独立与两事件互斥有联系吗？4再如再如 请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0, 则则

3、A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即5 问题：能否在样本空间问题：能否在样本空间中找两个事件中找两个事件,它它们既相互独立又互斥们既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是 和和P( ) =P( )P()=0 与与独立且互斥独立且互斥事实上，事实上， 与任何事件与任何事件A都独立都独立.6推广推广1 三事件两两相互独立的概念三事件两两相互独立的概念.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设

4、设定义定义CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA ()( )( ),.,P ABP A P BAAA BBB 设设是是两两事事件件 如如果果满满足足等等式式则则称称事事件件简简称称互互独独立立独独立立相相两个事件相互独立两个事件相互独立7注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立推广推广2 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPA

5、PABPCBA ,A B C 两两两两相相互互独独立立8),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立具有等式具有等式任意任意如果对于任意如果对于任意个事件个事件是是设设,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推广推广3例如例如1234,AAAA相相互互独独立立121213131414232324242434()()(),()()(),()()(),()()()()()(),()()(),PA APAPAPA APAPAPA APAPAPAA

6、PAPAPAAPAPAPAAPAPA 12312312412413413423423412341234()()()(),()()()(),()()()(),()()()(),()()()()(),P A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A AP AP AP AP A A A AP AP AP AP A 9证明证明.AB只只证证与与独独立立()( )( )( ).P ABP A ABP AP AB .,也相互独立也相互独立与与与与与与则下列各对事件则下列各对事件相互独立相互独立若若BABABABA定定理理2 2()( ) ( ),P

7、 ABP A P B 又又()()() ()P ABP AP A P B )(1)(BPAP ).()(BPAP . AB与与相相互互独独立立练习练习A BAB已已知知 与与相相互互独独立立证证明明： 与与 也也相相互互独独立立10推论推论1212,(2), . nnnAAA nAAAn 若若个个事事件件相相互互独独立立则则将将中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它们们的的对对立立事事件件 所所得得的的个个事事件件仍仍相相互互独独立立.,也相互独立也相互独立与与与与与与则下列各对事件则下列各对事件相互独立相互独立若若BABABABA定定理理2 2例如例如121, . nnAAAA 仍仍相相互

8、互独独立立121, . nnAAAA 仍仍相相互互独独立立11事件独立性的应用举例事件独立性的应用举例1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件若事件A1，A2，An相互独立相互独立, 则则 1122()1() ()()nnP AAAP A P AP A2、乘法公式的简化乘法公式的简化：若若事件事件A1，A2，An相互独立相互独立, 则则 1212()() ()()nnP A AAP A P AP A 12例例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为0.2， 0.3 ，0.5 ，问三人中，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多

9、少？至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：记解：记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3所求为所求为 P(A1A2 A3)独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用121()nP AAA)(1321AAAP)()()(1321APAPAP10.8 0.70.50.7213例例2 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞问击落飞机的概率是多少机的概率是多少?射击问题射击问题解解,名射手击落飞机”名射手击落飞机”为“第为“第设事件设事件iA

10、i事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP 14)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 此例意义为：此例意义为：“小概率事件小概率事件”在大量独立重复试在大量独立重复试验中验中“至少有一次发生至少有一次发生”几乎是必然的。几乎是必然的。15例例3 某型号火炮的命中率为某型号火炮的命中率为0.8，现有一架敌机，现有一架敌机即将入侵，如果欲以即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击中它，则的概率击中它，则需配备

11、此型号火炮多少门？需配备此型号火炮多少门？解解: : 设需配备设需配备 n n 门此型号火炮门此型号火炮设事件设事件 表示第表示第 i i 门火炮击中敌机门火炮击中敌机iA999. 02 . 01)(11)(1nniiniAPAP29.42 .0ln001.0lnn故需配备故需配备 5 5 门此型号火炮门此型号火炮. .16例例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0

12、.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中飞飞机机表表示示有有设设iAiA, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 1,AABCABCABC 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则D 表示飞机被击落表示飞机被击落123()0.2,()0.6,()1,P D AP D AP D A 17)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03

13、. 05 . 04 . 0 .36. 0 2,AABCABCABC 因因为为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得18, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP 7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由由全概率公式全概率公式得飞机被击落的概率为得飞机被击落的概率为14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 19例例5 同时抛掷一对骰子同时抛掷一对骰子,共抛两次共抛两次,求两次所得点求两次所得点数分别为数分别为7与与11的概率的概

14、率.解解事件事件 A 为两次所得点数分别为为两次所得点数分别为 7 与与 11.则有则有)()(2121ABBAPAP )()(2121ABPBAP )()()()(2121APBPBPAP 366362362366 .541 . 2 , 17 iiAi点”点”次得次得为“第为“第设事件设事件. 2 , 111 iiBi点”点”次得次得为“第为“第设事件设事件20独立性在可靠理论中的应用独立性在可靠理论中的应用(1) (1) 串联系统串联系统12(.)nP A AA1(). ()nP AP A (2) (2) 并联系统并联系统12(.)nP AAA 11(). ()nP AP A21. . )

15、4, 3, 2, 1(,)(4, 3, 2, 14,.)()(试试求求系系统统的的可可靠靠性性个个元元件件的的可可靠靠性性为为设设第第称称为为串串并并联联系系统统联联结结按按先先串串联联再再并并联联的的方方式式工工作作的的元元件件个个独独立立设设有有如如图图所所示示的的可可靠靠性性或或系系统统元元件件能能正正常常工工作作的的概概率率称称为为或或系系统统一一个个元元件件 ipii1234 解解,)4 , 3 , 2 , 1(个元件正常工作个元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 例例6 622. 表示系统正常工作表示系统正常工作以以 A.4321AAAAA 则有则有:,得得系系统统的的可可

16、靠靠性性由由事事件件的的独独立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 123423课堂练习课堂练习4 设设有有 门门高高射射炮炮各各向向敌敌机机发发射射一一发发炮炮弹弹，命命中中敌敌机机的的概概率率均均为为 0.2, 0.2,若若敌敌机机至至少少被被两两发发炮炮弹弹击击中中才才会会被被击击落落，求求敌敌机机被被击击落落的的概概率率？24将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出

17、现的概率都不依赖于其即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.(1) 重复独立试验重复独立试验二二. 伯努利概型伯努利概型25(2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观

18、察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.26定理定理1.3 （P.23）在在 n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 ，则，则A发生发生k次的概率次的概率 )10( pp., 2 , 1 , 0,)(nkqpCkPknkknn 其中其中 q=1p 。伯努利公式正好是二项式公式的一般项：伯努利公式正好是二项式公式的一般项：nkknknnnnppqCpnqqpq 1)(伯努

19、利公式伯努利公式在第二章称为在第二章称为二项分布二项分布。27证证设设B表示表示“n次试验中次试验中A发生发生k次次”，个个个个knkAAAA k个个A的位置有以下的位置有以下 种可能情况：种可能情况：)(knCm 个个个个11 knkAAAAAA个个个个kknAAAA B1=B2=Bm=,1miiBB 则则),(jiBBji 且且由试验的独立性，由试验的独立性，)()()()()(1APAPAPAPBP knkqp )()(2mBPBP miiBPBP1)()(knkqmp knkknqpC 28例例 （P.25）一条一条自动生产线自动生产线上的产品，次品率为上的产品，次品率为4，从中任取，

20、从中任取10件，求解以下问题：件，求解以下问题：（0）求有）求有2件次品的概率；件次品的概率；（1）求至少有）求至少有2件次品的概率；件次品的概率；（2）一次取）一次取1件，无放回抽取，求当取到第二件次件，无放回抽取，求当取到第二件次品时，之前已取到品时，之前已取到8件正品的概率。件正品的概率。分析：分析：试验试验E是是“任取任取1件产品观察是正品还是次件产品观察是正品还是次品品”。若是。若是有放回有放回抽取，连取抽取，连取10件为件为10次重复独立试次重复独立试验。验。由于自动生产线上的产品多（或一批产品），当抽取由于自动生产线上的产品多（或一批产品），当抽取的件数相对较少时，的件数相对较少

21、时，无放回无放回抽取也看成抽取也看成重复独立试验，重复独立试验，且每次只有且每次只有“正品正品”或或“次品次品”两种结果，两种结果，每次抽到每次抽到次品的概率都是次品的概率都是0.04，因此可看成因此可看成10重伯努利试验。重伯努利试验。多！多！29解解 设设A表示表示“任取任取1件时件时次品次品”，与题中所问一致与题中所问一致96. 0)(,04. 0)( APqAPp则则（0）设所求概率为）设所求概率为822101096. 004. 0)2( CP0519. 0 （1）设所求概率为）设所求概率为P(B), 则则 10210)()(kkPBP)1()0(11010PP 911101096.

22、004. 096. 01 C0582. 0 30(2) 由题意，当第二次抽到次品由题意，当第二次抽到次品时共抽了时共抽了10次，前次，前9次中次中8“正正”1“次次”。次次8“正正”1“次次”1910这不是这不是10重伯努利试重伯努利试验！验！为什么？为什么？因第因第10次试验只有次试验只有“次品次品”一个可能结一个可能结果！果！设设C表示表示“前前9次抽得次抽得8件正件正品品1件次品件次品”，则所求概率为则所求概率为)(CDP)(CP 81996. 004. 0 C)(DP04. 0 0104. 0 用伯努利公式用伯努利公式D表示表示“第十次抽得次品第十次抽得次品”，31注注： 若将（若将（

23、1）换为：求任取）换为：求任取10件中恰有件中恰有2件件正品正品的的概率，则概率，则,96. 0 p所求概率为：所求概率为：004. 096. 082210 C有些题用伯努利公式解比其它方法简单，如：有些题用伯努利公式解比其它方法简单，如：32例例有放回有放回任取任取k (a) 件，件， 设设 B=k 件中恰有件中恰有 r 件次品件次品，则，则产品产品a+b 件件次品次品 a 件件正品正品b 件件rkrrkbabbaaCBP )()()(且取得次品的概率均为且取得次品的概率均为,baap 因这是因这是k次重复独立试验，每次只可能是次重复独立试验，每次只可能是“次品次品”或或“正品正品”，故由伯努利公式可得结果。故由伯努利公式可得结果。与用古典定义所得之结果相同。与用古典定义所得之结果相同。33例（逆问题）例（逆问题）P.28例例4每门炮的炮弹击中敌机的概率均