华师统计与概率

1、第六章 参数估计一、参数的点估计1. 矩估计法矩估计法：用样本矩代替总体矩，从而得到未知参数的估计。注： 1）总体均值的矩估计是样本均值；总体方差的矩估计是样本二阶中心矩；2）矩估计法简便；估计总体均值和总体方差时不必知道总体的分布.3）矩估计法需要总体的原点矩存在.2最大似然估计法（1）似然函数：设为取自含未知参数的总体的样本观测值.对离散随机变量总体，似然函数定义为；这就是样本出现的（联合）概率.对密度为的连续随机变量总体，似然函数定义为。（2）最大似然估计：选取参数的取值，使样本观测值出现的概率最大,即使得似然函数达到最大值.求参数的最大似然估计值，就是求似然函数的最大值点。在可导时可以

2、通过求解似然方程: 得到.3衡量点估计量好坏的标准（1）无偏性称为未知参数的无偏估计，如果.注：1）用无偏估计代替未知参数不产生系统误差；2）样本均值是总体均值的无偏估计；样本方差是总体方差的无偏估计。3）无偏估计不唯一，当然应选方差较小者为好.2. 有效性设与都是未知参数的无偏估计，称比有效，如果.如，时，总体均值的无偏估计比有效，因为。3. 一致性称是未知参数的一致估计，如果对任意，有 .注： 样本均值是总体均值的一致估计；样本方差是总体方差的一致估计。典型例题例6.1 设总体，。求参数的矩估计和最大似然估计，并说明它们是否为参数的无偏估计.解: 因为 ，故有矩法方程：

3、。解之得的矩估计是 。设样本观测值为，则似然函数为故 ，有似然方程: ，解之得的最大似然估计值为 ，最大似然估计是。 因为，所以参数的矩估计和最大似然估计都是无偏估计。例6.2 设总体，求未知参数的矩估计及最大似然估计，并说明矩估计是否为无偏估计.解: 因为 ，所以有矩法方程：.解之得的矩估计为 。因为，所以参数的矩估计是无偏估计。设样本观测值为，则似然函数为其中，为示性函数。当时，；而当时，为的严格单调递减正函数，故的最大似然估计值为 ，最大似然估计是。例6.3 设和是的两个相互独立的无偏估计，且方差。（1） 试证明：对任意常数，都是的无偏估计；（2） 在所有这些无偏估计中，试求方差最小的无

4、偏估计。 解: （1）因为所以，对任意常数，都是的无偏估计。（2）故方差最小的无偏估计是。第七章 假设检验一、假设检验的基本概念1. 假设检验的基本思想及推理方法对总体的概率分布或分布参数作某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受或拒绝假设. 这样的统计推断过程就是假设检验。为了从样本观测值取得对上述假设的强有力支持，我们常把这一假设的否定作为原假设（记为），而把假设本身作为备择假设（记为）。假设检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其一：若拒绝原假设，则接受备择假设；否则就接受.为此，必须先从样本出发，构造一个合适的检验

5、统计量与拒绝域，然后根据样本观测值作判断：当时拒绝原假设，从而接受备择假设；否则接受原假设。例7.1 某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布。某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值小时。如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡的寿命均值小时？解：已知总体，且，要求检验下面的假设称假设为原假设（或零假设），称假设为备择假设。假设检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其一：若拒绝原假设，则接受备择假设；否则就接受.为此，必须先从样本出发，构造一个合适的检验统计量与拒绝域，然后根据样本观测值作判断：当时拒绝原假设，接受备择假设；否则接受原假

6、设。我们知道，样本均值是总体均值的“好”的估计，可以选取作为检验统计量；根据备择假设，拒绝域应该形如，其中临界值由下式确定：，为给定的显著性水平.由定理5.1（1）知，于是，因此，故。取显著性水平，拒绝域为，其中。现在抽样检查的结果是，即样本观测值落入拒绝域，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为该天生产的灯泡的寿命均值小时。注：（1） 假设检验是根据小概率事件的实际不可能性原理来进行推断的。在原假设成立时，是小概率事件。若这样的小概率事件竟然发生，我们就有理由怀疑前提假设，从而作出拒绝原假设的判断。（2） 假设检验的结论与选取的显著性水平有关。上例中，若改取显著性水平，则拒绝域变为，此时

7、没有充分理由拒绝原假设，即可以认为该天生产的灯泡的寿命均值小时. 2. 假设检验可能犯的两类错误总体样本第一类错误ÖÖ第二类错误 (1) 第一类错误 “弃真” ，即原假设实际是正确的，但却错误地拒绝了。犯第一类错误的概率为；(2) 第二类错误“取伪”，即原假设实际是不正确的，但却错误地接受了，犯第二类错误的概率记为.犯两类错误的概率当然是越小越好，但当样本容量固定时，不可能同时把都减得很小。在实际问题中，一般总是控制犯第一类错误的概率。3. 假设检验的一般步骤(1) 根据实际问题提出原假设与备择假设，即说明要检验的假设的内容；(2) 选取适当的统计量，并

8、在原假设成立的条件下确定该统计量的分布；(3) 根据问题的需要适当选取显著性水平(的值一般比较小)，确定拒绝域；(4) 根据样本观测值计算统计量的值，从而对拒绝或接受原假设作出判断。二、单个正态总体参数的假设检验设取自总体的样本的均值及样本方差分别为，.关于正态总体均值的假设检验（，）原假设备择假设在显著性水平下的拒绝域已知未知例7.2 已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值小时，样本标准差小时。设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平)解: 设电子元件的寿命，依题意，要检验