第二章复变函数的积分

1、重点重点 第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 1 1、复变函数积分的、复变函数积分的概念、性质和计算概念、性质和计算方法；方法； 2 2、单、复连通、单、复连通CauchyCauchy定理定理( (解析函数的基本定理解析函数的基本定理) )的应用；的应用； 3 3、应用、应用CauchyCauchy公式公式（解析函数的基本公式）（解析函数的基本公式）计计算回路积分。算回路积分。2、1 复变函数的积分复变函数的积分1 1、复变函数的积分定义、复变函数的积分定义f( (z) )在复平面内的在复平面内的l分段光分段光滑曲线上连续滑曲线上连续, ,在在l上取一上取一系列分点系列分点nzz0将将

2、l分成分成n小段在每一小段上任取一点小段在每一小段上任取一点k。则有下式复变函数积分。则有下式复变函数积分nkkkknzzf11)(lim存在，存在，ldzzf)(nkkkknzzf11)(lim且值与且值与k点的选取无关。称该和的极限为函数点的选取无关。称该和的极限为函数B B的路积分，记作的路积分，记作f( (z) )沿曲线沿曲线l从从A AAz1z1z2z2z3z3.zk1zkzkDzkBxyO积分函数积分函数积分路径积分路径一般来说一般来说, ,复变函数的积分值与复变函数的积分值与积分路径积分路径有关有关. .1）将复变函数的）将复变函数的路路积分化为两个实变函数的积分化为两个实变函数

3、的线线积分积分),(),(),(yxivyxuyxfkkkiyxz111kkkiyxzldzzf)(nkkkknzzf11)(lim)()(,(),(111limkkkkkkknkknyyixxyxivyxuldzzf)(nkkkknzzf11)(lim2 2、复变函数积分计算方法、复变函数积分计算方法)(,(11limkkknkkxxxyxu)(,(11limkkknkkxyyyxv)(,(11limkkknkkxyyyxui)(,(11limkkknkkxxxyxvildxyxu),(ldyyxv),(ldxyxui),(ldyyxvi),( dyyxvdxyxul),(),(dyyxud

4、xyxvil),(),(可见可见 将复变函数的路积分转化为两个实变函数的将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线线积积分，因此分，因此实变函数的实变函数的线线积分性质积分性质对复变函数而言均成立对复变函数而言均成立。)()(,(),(111limkkkkkkknkknyyixxyxivyxu( )()()llllf z dzudxvdyi vdxudyuiv dxidy应学会利用应学会利用y y与与x x关系（关系（y y和和x x的关系显式的关系显式, ,即积分路径表示式）将复函数线积分化为即积分路径表示式）将复函数线积分化为定积分或不定积分计算定积分或不定积分计算注：注：例例1 1：沿图所

5、示的三条曲线分别计算复变函数：沿图所示的三条曲线分别计算复变函数l l Re(Re(z)z) dzdz从从O O到到B B（1 1，1 1）的定积分。）的定积分。解：分析积分式与路径解：分析积分式与路径( ) Re :Re,0f zz uz xv（1）路径）路径OAB：路径：路径OA+OB 对对OA：x=0,dx=0,y:01Re()llllzdzxdx idyxdx i xdyRe0OAOAOAzdzxdx i xdy对对AB：y=1,dy=0,x:01101Re2ABABABzdzxdx i xdyxdx（2）同理可求另一条路径）同理可求另一条路径ODB的积分的积分为：为：1/2+iOBD

6、A（3）路径：）路径：y=x，则：，则：1100Re1122OBOBOBzdzxdx iydyxdx i ydyi1ReReRe2lOAABzdzzdzzdz计算计算lzdz，l 为从原点到为从原点到3+i43+i4的三条直线段。的三条直线段。 例例解：解：分析：积分式为：分析：积分式为： 复积分化为：复积分化为：iyxzidydxdzOBDA()()llllzdzx iy dx idyxdx ydy i ydx xdy（1 1）路径）路径OABOAB：路径：路径OA+OBOA+OB 对对OAOA：x=0,dx=0,y:04x=0,dx=0,y:04408OAzdzydy对对ABAB：y=4,

7、dy=0,x:03y=4,dy=0,x:0333009122ABzdzxdxi ydxi 7122lOAABzdzzdzzdzi （2）同理可求）同理可求另一条路径另一条路径ODB的积分也的积分也为此数为此数（3）路径：）路径：lzdzydyxdxlxdyydxil30 xdx40ydy3034xdxi4034iydy22224214332134421321ii)1212(21)169(21i7122i 4; :0 3,:0 43yx xyOBDAOB（1，1）DA1;21Re;211;22lOABzdzi ODBi OB路径路径路径OB（3，4）DA712 ;2712 ;2712 ;2li

8、OABzdzi ODBi OB 路径路径路径思考：思考： 究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？2 2）参数积分法）参数积分法若积分曲线的参数方程若积分曲线的参数方程z=z( (t) )dttzdz)( ),(则则ldzzf)(dttztzf)( )(（极坐标法，通常用来计算积分路径为（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧圆弧时的情况）时的情况）0zz0izze通常思路：通常思路：积分路径积分路径l为圆弧：为圆弧：宗量用指数形式表示：宗量用指数形式表示：计算积分计算积分11|dzz积分路径是（积分路径是（1 1）直线段）直线段例例2

9、 2（2 2）单位圆周的上半（）单位圆周的上半（3 3）单位圆周的下半）单位圆周的下半（1 1）在）在-1-1到到1 1的直线段上的直线段上0l路径方程为路径方程为y=0解：解：|22xyxzdz=dx+idy=dx 所以所以11|dzz=11|dzx1210 xdxxy2 2）在单位圆上半周上：）在单位圆上半周上：则则11|dzz02dieiiez 令令3) 3) 在单位圆下半圆周上在单位圆下半圆周上: :11|dzz=02diei可见可见000)2(2|dzzdzz xy例：计算圆弧积分：例：计算圆弧积分：izaren为整数为整数22100cos( -1)sin( -1)nindindr

10、3 3、复积分的性质、复积分的性质111( )( )( )nnnkkkkkkkkklllc fz dzc fz dzcfz dz11( )( );knnkkkllf z dzf z dz ll( )( )ABBAllf z dzf z dz22( );( );( ) ,llf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsl的长度用来求积分的估计值用来求积分的估计值1212zzzz320lim01zrrzdzz试证：试证：证明：要证上式，只需证明证明：要证上式，只需证明320lim01zrrzdzz3322 111zrzrzzdzdzzz（ ）3333322222( )11111zzzzr

11、f zMzrrzzQ又32 21zrzrzrzdzMdzMdsMsz（ ）22( );( );( ) ,llf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsl的长度3322 111zrzrzzdzdzzz（ ）32 21zrzrzrzdzMdzMdsMsz（ ）由（由（1 1）（）（2 2）式，得：）式，得：321zrzdzMsz321rMr2zrsdsr3422211zrzrdzzr22( );( );( ) ,llf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsl的长度3422211zrzrdzzr4202lim01rrrQ又320lim01zrrzdzz320lim01zrr

12、zdzz即得证得证复习：1）将复变函数的）将复变函数的路路积分化为两个实变函数的积分化为两个实变函数的线线积分积分2 2、复变函数积分计算方法、复变函数积分计算方法( )()()llllf z dzudxvdyi vdxudyuiv dxidy2 2）参数积分法）参数积分法0izze0zz积分路径积分路径l为圆弧：为圆弧：宗量用指数形式表示：宗量用指数形式表示：002 1; :0 1()nCindzczzrnzz 3 3、复积分的性质、复积分的性质22( );( );( ) ,lllf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsldz的长度320lim01zrrzdzz试证：试证：试证

13、：试证：ldzzf)(nkkkknzzf11)(lim积分函数积分函数积分路径积分路径OB（1，1）DA1;21Re;211;22lOABzdzi ODBi OB路径路径路径OB（3，4）DA712 ;2712 ;2712 ;2li OABzdzi ODBi OB 路径路径路径思考：思考： 究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？解析？解析？2、2 CauchyCauchy定理定理主要讨论复变函数满足什么条件其路积分值才能不决定主要讨论复变函数满足什么条件其路积分值才能不决定于积分路径，而只与始末位置有关。于积分路径，而只与始末位置有

14、关。1 1、单连通区域的、单连通区域的柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)定理定理llldyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf0),(),(),(),()(B如果函数在闭连通区域如果函数在闭连通区域B上上解析解析，则沿，则沿上任一分段光滑闭合曲线上任一分段光滑闭合曲线L L （L也可以是也可以是B的境界线），有的境界线），有BL在定义域上处处可导的在定义域上处处可导的函数，在此区域上积分函数，在此区域上积分与路径无关与路径无关( )lllf z dzudxvdyivdxudy证明：证明：() (GreenxylBPdxQdyQP dxdy由公式）()0 ()xyxylBudxv

15、dyvudxdyvu()0 ()xyxylBvdxudyuvdxdyuv( )0lllf z dzudxvdyivdxudyBL下一页下一页附：格林公式附：格林公式() xylBPdxQdyQP dxdyl：B的边界线的边界线若函数若函数P（x，y）、）、Q（x，y）在闭域）在闭域 上具有连续的一阶偏微商，则：上具有连续的一阶偏微商，则：BBL2 2、复连通区域的、复连通区域的柯西定理柯西定理CauchyCauchy定理定理1)1)复通区域境界线：复通区域境界线：外境界线：逆时针为正方向外境界线：逆时针为正方向 区域在行走的左侧区域在行走的左侧内境界线：顺时针为正方向内境界线：顺时针为正方向

16、区域在行走的左侧区域在行走的左侧2)2)复通区域的复通区域的CauchyCauchy定理：定理：如果如果f(zf(z) )是闭合复通区域上的单值解析函数，则是闭合复通区域上的单值解析函数，则lnidzzf1)(ildzzf0)(l为区域的外边界，为区域的外边界，il是。是。区域的内边界区域的内边界Bll1l2l3ll1AABB证明：证明：1( )( )( )( )0ABB Allllf z dzf z dzf z dzf z dz1( )( )0inillf z dzf z dz1( )( )0llf z dzf z dz1 1 闭单通闭单通区域上的解析函数沿境界线区域上的解析函数沿境界线或区

17、域内任一分段光滑闭合曲线或区域内任一分段光滑闭合曲线l积分积分为零为零BL( )0lf z dz 相关推论：相关推论：（2）单通区域）单通区域B上的解析函数上的解析函数f（z）沿）沿B上任一路上任一路径径l的积分值的积分值 只与只与l的起点和终点有关，与的起点和终点有关，与路径无关路径无关( )lf z dzDCl1（3）区域）区域B上的解析函数上的解析函数f（z），设），设B内二内二点点C、D，连接两点的任一条曲线，连接两点的任一条曲线l（在（在B内且内且只经过只经过f（z）的解析区），）的解析区）， 只与只与l的的起点和终点有关，与路径无关起点和终点有关，与路径无关( )lf z dz（1

18、） f（z）在单通区域）在单通区域B上解析，在上解析，在 上连续，上连续，仍有仍有( )0lf z dz B（条件放宽了）（条件放宽了）2 2 闭复通闭复通区域上的解析函数沿所有内区域上的解析函数沿所有内外境界线外境界线正方向正方向积分和为零积分和为零（1 1） 闭复通区域上的解析函数沿外境界线闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针逆时针方向积分等于沿所有内境界线方向积分等于沿所有内境界线逆时针逆时针方向积分之和方向积分之和Bll1l2l31( )( )0nillf z dzf z dzij11( )( )( )iinnliillf z dzf z dzf z dz iji相关推论：相关推论：

19、（2 2） 设设f f（z z）是闭区域（单通区域或复通区域）是闭区域（单通区域或复通区域）B+LB+L上的解析函数，上的解析函数，B B内任一条闭曲线内任一条闭曲线l可以在可以在B B内连内连续变形（只要不跨过非连通区域）而积分值续变形（只要不跨过非连通区域）而积分值 保持不变。保持不变。( )lf z dz 1 1、不定积分的定义、不定积分的定义及证明及证明 2、3 不定积分不定积分原函数：原函数： 若函数若函数F(z)满足满足)()( zfzF，则，则F( (z) )称为称为f(z)的原函数的原函数f( (z) )的所有原函数仅相差一个复常数的所有原函数仅相差一个复常数 F( (z)+)

20、+c )()( zfzF 不定积分定义：不定积分定义：所有所有f( (z) )的原函数的集合称为的原函数的集合称为f( (z) )的不定的不定积分。即积分。即cdfzFzz0)()(zz求解复函数定积分的另一个方法：由原函数求解求解复函数定积分的另一个方法：由原函数求解( )( )bbaaf z dzF z例2 求积分 的值izzz0dcos.1e12ee2ee1cossincossindcos11100iiiiizzzzzzii解 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得它有一个原函数为zsin z+cos z. 所以例例3 试沿区域试沿区域Im(z) 0, Re(z) 0内的圆弧内的圆弧

21、|z|=1, 计算积分计算积分的值izzz1d1) 1ln(1)1ln(zz 解解 函数函数 在所设区域内解析在所设区域内解析.|1212) 1(ln21d1) 1ln(),1(ln21iizzzzz所以它的一个原函数为iiizzzzii82ln2ln83322ln42ln2121)2(ln)1 (ln21) 1(ln21d1) 1ln(222222121|计算积分：计算积分：()(nlIzdz n 整数）整数）l 为任意闭合曲线为任意闭合曲线例例1 1点点, ,则由则由CauchyCauchy定理知积分为零。定理知积分为零。1) 若若l 不包围不包围点点, ,则有由则有由CauchyCauc

22、hy定理知定理知f(zf(z) )在在B上有可能不解析上有可能不解析2) 若若l 包围包围解解圆周圆周的方程可写为：的方程可写为： )20(Reiz 0 时不解析，时不解析， 解析。解析。n0n xylcn0n1.CzCzzzzzd) 1(e)2;d) 1(cos) 12255)1(coszz.12)(cos)!15(2d) 1(cos51)4(5|izizzzzCdzzzfinflnn1)()()(2!)(.,.,.) 1()2212122析的所围成的区域内是解和则此函数在由为中心作两个正向圆周和内以在我们处不解析内的在函数CCCCCiiCizCzezOC1C2Ciixy根据复通区域柯西定理

23、,21d) 1(ed) 1(ed) 1(e222222CzCzCzzzzzzz)41sin(2d)1(e.2)1(d)1(e,.2)1()(e)!12(2d)()(ed)1(e222222222211izzeizzeiizizizizzzCziCziizzCzCz因此同样OC1C2Ci ixy2156zzeIdzzz 例：计算例：计算1(2)(3)zzedzzz 11/(2)/(3)(3)(2)zzzzezezdzdzzz蜒322223zzzzeeiizz3222ieie？232156zzeIdzzz 例：计算例：计算1(2)(3)zzedzzz 积分函数积分函数 在积分回路在积分回路 内解析

24、，内解析，( )(2)(3)zef zzz1z 因此有单通区域的柯西定理可知因此有单通区域的柯西定理可知2156zzeIdzzz 0在使用柯西公式之前，一在使用柯西公式之前，一定先要判断被积函数的奇定先要判断被积函数的奇点在不在闭合曲线内点在不在闭合曲线内23作图！作图！例例2 已知函数已知函数)1/(),()1/(texttxtx把把 当作参数，当作参数，把把t t 认为是复变数，试应用认为是复变数，试应用CauchyCauchy公式把公式把0nntt表为表为回路积分。对回路积分进行积分变数的替换回路积分。对回路积分进行积分变数的替换 并借以证明并借以证明z/ )xz(t)ex(dxdetxnnnx0tnn( )!( )( )2nlnffzdizzzz 解解nnt1 1） 应用应用CauchyCauchy公