2022年初中人教版数学勾股定理经典题型分析

1、学习必备欢迎下载勾股定理经典题型分析类型一：勾股定理的直接用法1、在 rt abc 中， c=90 °1已知 a=6， c=10，求 b， 2已知 a=40， b=9 ，求 c； 3已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用；解析： 1 在 abc 中， c=90 °， a=6， c=10,b=2 在 abc 中， c=90°， a=40， b=9,c=3 在 abc 中， c=90°， c=25， b=15,a=举一反三【变式】 :如图 b= acd =90 ° ,

2、ad =13,cd =12, bc=3,就 ab 的长是多少 .【答案】 acd =90 ° ad = 13, cd=122 ac2=ad cd 2=132122=25 ac=5又abc=90 °且 bc=3 由 勾 股 定理可得ab 2= ac 2 bc 2=52 32=16 ab= 4 ab 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： bc 的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 d，就有，再由勾股定理运算出ad 、dc 的长，进而求出 bc 的长 .解析 ：作于 d ，就因，（的两个锐角互余）（在中，假如一个锐角等于，

3、那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根 据 勾 股 定理，在中，.根 据 勾 股 定理，在中，.举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 p.求证：.解析：连结 bm ，依据勾股定理，在中，.而在中，就依据勾股定理有.又（已知），.在中，依据勾股定理有，.【变式 2】已知：如图，b= d=90 °， a=60 °， ab=4 ， cd=2 ；求：四边形abcd 的面积；分析 ：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结ac ，或延长 ab 、dc 交于 f，或延长 ad 、bc 交于点 e，依据此题给定的角应选后两种，进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁；解析 ：延长 ad

4、 、bc 交于 e； a= 60°， b=90 °， e=30°； ae=2ab=8 ， ce=2cd=4 ， be2=ae 2-ab 2=8 2-42=48 ， be=； de2= ce 2-cd 2 =42-22=12， de=； s 四边形 abcd =sabe -s cde=ab · be-cd · de=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图， 在一次夏令营活动中，小明从营地 a 点动身， 沿北偏东 60°方向走了到达 b 点，然后再沿北偏西30°方向走了 500m 到达目的地

5、c 点；（ 1）求 a 、c 两点之间的距离；（ 2 ）确定目的地 c 在营地 a 的什么方向；解 析 ：（ 1）过 b 点作 be/ad dab= abe=60 ° 30°+ cba+ abe=180 ° cba=90 °即 abc 为直角三角形由已知可得： bc=500m ， ab=由勾股定理可得： 所以（ 2）在 rt abc 中， bc=500m ，ac=1000m cab=30 ° dab=60 ° dac=30 °即点 c 在点 a 的北偏东 30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.

6、5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 .【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于ch如下列图，点 d 在离厂门中线 0.8 米处，且 cd ， 与地面交于 h解：oc 1 米 大门宽度一半 ，od 0.8 米 （卡车宽度一半）在 rt ocd 中，由勾股定理得：cd .米，c . . .（米） .（米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄a 、b 、c、d，且正好位于一个正方

7、形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线思 路 点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理运算线路长，然后 进 行 比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为 1，就图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为ab+bc+cd 3，ab+bc+cd 3图（ 3）中，在 rtabc 中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长 ef 交 bc 于 h ，就 fh bc， bh ch由 fbh 及勾股定理得：ea ed fb fc ef 1 2fh 1此图中总线路的长为4ea+ef 3 2.828&g

8、t;2.732图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线 举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点a 动身，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最短路程解：如图，在 rt 中，底面周长的一半cm， 依据勾股定理得（提问：勾股定理） ac （ cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段；思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作；作法 ：如下列图（ 1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角acb ，使 ab

9、为斜边；（ 2）以 ab 为一条直角边，作另始终角边为1 的直角；斜边为；（ 3）顺次这样做下去，最终做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、；举一反三【变式】在数轴上表示的点；解析： 可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1；作法 ：如下列图在数轴上找到a 点，使 oa=3 ，作 ac oa 且截取 ac=1 ，以 oc 为半径， 以 o 为圆心做弧，弧与数轴的交点b 即为；类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判定是否正确1. 原命题：猫有四只脚 （正确）2. 原命题：

10、对顶角相等（正确）3. 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4. 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确） 总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备；7、假如 abc 的三边分别为 a、b、c，且满意 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判定 abc 的外形；22思路点拨 ：要判定

11、abc 的外形，需要找到 a、 b、c 的关系，而题目中只有条件a +b该条件入手，解决问题；+c2+50=6a+8b+10c ，故只有从2解析 ：由 a +b2+c2+50=6a+8b+10c ，得 ：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, a-32+b-42+c-52=0； a-3 2 0, b-4 2 0, c-5 2 0； a=3， b=4， c=5 ； 32+42=52,；222 a +b =c由勾股定理的逆定理，得 abc 是直角三角形；总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到；举一反三 【变式 1】四边形 abc

12、d 中， b=90 °， ab=3 ， bc=4 ， cd=12 ， ad=13 ，求四边形 abcd 的面积；【答案】：连结 ac2 b=90 °， ab=3 ， bc=4 ac2=ab2+bc=25 （勾股定理） ac=5222 ac +cd =169 ，ad=169 ac2+cd2=ad 2 acd=90 °（勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : abc 的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2m,n 为正整数 ,且 m n,判定 abc 是否为直角三角形 .分析 :此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a2+b2=c2 即可证明：所以 abc 是直

13、角三角形 .【变式 3】如图正方形abcd ， e 为 bc 中点， f 为 ab 上一点，且 bf=ab ；请问fe 与 de 是否垂直 .请说明；【答案】答： deef ；证明：设bf=a，就 be=ec=2a, af=3a ， ab=4a, ef2=bf 2+be 2=a2+4a2=5a2；de 2=ce 2+cd 2=4a2+16a2=20a2；2连接 df（如图）df 2=af 2+ad 2=9a2+16a2=25a2； df2=ef2+de, fe de；经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、如直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积；思路

14、点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积；解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x，依据题意得：（ 3x） 2+（ 4x） 2 202化简得 x216；直角三角形的面积× 3x×4x 6x 296总结升华： 直角三角形边的有关运算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解；举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积；【答案】如图，等边 abc ，作 ad bc 于 d就： bdbc（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）ab ac bc 2（等边三角

15、形各边都相等）bd 1在直角三角形 abd 中， ab 2 ad 2+bd 2，即： ad 2ab 2 bd 2 4 1 3 ad s abc bc ·ad 注：等边三角形面积公式：如等边三角形边长为a，就其面积为a；【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积；【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x， y，依据题意得：由（ 1）得： x+y 7，（ x+y ）+2xy+y249， x22 49 33 2 ，得： xy 12直角三角形的面积是xy × 12 6（ cm2）【变式 3】如直角三角形的三边长分别是n+1， n+2 ，n+3 ，求

16、n；22（ n+3） 2思路点拨： 第一要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解；解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1 ） +（ n+2） 42化简得： nn± 2，但当 n 2 时， n+1 1<0， n 2总结升华： 留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下，第一要先确定斜边，直角边；【变式 4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）a、 8， 15， 17b 、4， 5， 6c、5，8， 10d、8， 39，40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定，对数据较

17、大的可以用c2 a2+b2 的变形： b2 c2 a2（ c a）（ c+a）来判定；例如：对于挑选d， 82（ 40+39）×（ 40 39），以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形；同理可以判定其它选项；【答案】：a【变式 5】四边形 abcd 中， b=90 °， ab=3 ， bc=4 ， cd=12 ， ad=13 ，求四边形 abcd 的面积；解：连结 acb=90 °， ab=3 ， bc=422ac 2=ab 2+bc 2=25（勾股定理）ac=5ac222 +cd2=169， ad=169ac +cd=adacd=90 °（勾

18、股定理逆定理） s 四 边 形abcd =sabc +s acd =ab ·bc+ac · cd=36类型二：勾股定理的应用2、如图，大路 mn 和大路 pq 在点 p 处交汇，且 qpn 30°，点 a 处有一所中学， ap 160m；假设拖拉机行驶时，四周 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判定拖拉机的噪音是否影响学校a ，实质上是看 a 到大路的距离是否小于100m, 小于 100m 就

19、受影响，大于 100m 就不受影响，故作垂线段ab 并运算其长度； （ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 a 的影响所行驶的路程；因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校，行至哪一点后终止影响学校；解析 ：作 ab mn ，垂足为 b；在 rt abp 中， abp 90°， apb 30°， ap 160， ab ap 80； （在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半）点 a 到直线 mn 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响；如图，假设拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶到点c 处学校开头受到影响，那么ac 100m

20、，由勾股定理得：bc-802 10022 3600, bc 60；同理，拖拉机行驶到点d 处学校开头脱离影响，那么，ad 100m ， bd 60m, cd 120m ；拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24s；答：拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒；总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,如图形缺少直角条件 ,就可以通过作帮助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理；举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了躲开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条 “路”；他

21、们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草；解析：他们原先走的路为3+4 7m设走“捷径”的路长为xm ，就故少走的路长为7 5 2m又由于 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路；【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形；（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积；（ 2）图中的平行四边形abcd 含有多少个单位正三角形？平行四边形abcd 的面积是多少？（ 3）求出图中线段ac 的长（可作帮助线） ；【答案】（ 1）单位正三角形的高为，面积是；（ 2）如图可直接得出平行四边形abcd 含有 24 个单位正三角形，因此其面积；（ 3）过 a 作 ak bc 于点 k （如下列图） ，就在 rt ack 中，故类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如下列图， abc 是等腰直角三角形， ab=ac ， d 是斜边 bc 的中点， e、f 分别是 ab 、ac 边上的点，且 de df，如 be=12 ， cf=5 求线段 ef 的长；思路点拨： 现已知 be 、cf，要求 ef，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特点，三角形的中