微积分学基本定理定积分计算(续)

1、§ 5微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理，难点为泰勒公式的积分型余项。 教学方法：讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数一 变限积分与原函数的存在性设f在a,b 上可积，根据定积分的性质4,对任何x a, b i, f在a,x i上也可积.于 是，由：X = xf tdt, X- a,bl（ 1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分类似可定义 变下限的定积分：心X = % f t dt, x a,b I（ 2）弃与宇统称为变限积分注意，在变限积分（1 ）与（2

2、 ）中，不可再把积分变量X写成Xf xdx，以免与积分上、下限的 X相混淆bb变限积分所定义的函数有着重要的性质.由于x f t dtf t dt,因此下面只讨论变上限积分的情形.定理9. 9若f在a,b 上可积，则由式所定义的函数g在a,b 1上连续.证 对a,b 1上任一确定的点x，只要x X a,b 1,按定义式有因f在a,b上有界，可设ft _m,t a,bi.于是，当lx 0时有当心x £0时则有A|兰M Qx 由此得到即证得在点X连续由X的任意性，G在a,b 1上处处连续.口定理9. io （原函数存在定理）若f在a,b 上连续，则由（1）式所定义的函数：在a, b 上处

3、处可导，且为（x = f t dt = f x , x a,b （3）dx a证 对a,b 1上任一确定的X，当厶X = 0且Xa,b 1时，按定义式（1 ）和积分第一中值定理，有 由于f在点X连续，故有由x在a,b 1上的任意性，证得：j是f在a,b 1上的一个原函数.口f的一个原函数正本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也 证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了 因为定理9. 10的重要作用而被誉为 微积分学基本定理.此外，又因f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当 f为连续函数时，它的任x一原函数F必满足F x二f t dt

4、 C.ax若在此式中令 x = a，得到C = F a，从而有再令x = b,有Jabf(t pt = F(x)-F(a).这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9. ii (积分第二中值定理)设函数f在a,b上可积.(i )若函数g在b,b上减，且g x - 0,则存在-la,bl使(ii)若函数g在a,b 1上增,且g x - 0,则存在 ：.:a,bl,使推论 设函数f在a,b上可积，若函数g为单调函数，则存在 a,b 1, 使积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具.二换元积分法与分部积分法定理9. 12 (定积分换元积分法)若函数f在a,b 1上连续，：在

5、9;：1上连续可微，且满足 a i；=a,bi；=b,a _ t _b,tx, ，bp则有定积分换元公式：f x dx二ft F it dt(9)证 由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在.设F是f在a,b 1上的一个原函数，由复合函数微分法可见F t是f t Fit的一个原函数.根据牛顿一莱布尼茨公式，证得从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了.这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定

6、积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了注 如果在定理9. 12的条件中只假定f为可积函数，但还要求是单调的，那么(9) 式仍然成立(本节习题第14题)例 计算！ 1 -x2dx.0解 令x =si nt ,当t由0变到一时，x由0增到1，故取L, - I- 0.应用公式(9),2 12并注意到在第一象限中 cost _ 0 ,则有迟例 2 计算 o2 sin t cos2 tdt.HT解 逆向使用公式(9)，令X二cost, dx二-sintdt,当t由0变到一时，x由1减到0, 2则有例3计算J1!丄$dx.、0 1 +x解 令x =

7、ta nt,当t从0变到一时，x从0增到1.于是由公式(9)及dtdxy41 +x得到对最末第二个定积分作变换ut，有4它与上面第三个定积分相消故得事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在， 但难以用初等函数来表示， 因此无法直 接使用牛顿一莱布尼茨公式可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值.换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5, 6, 7等题.定理9.13 (定积分分部积分法)若u(x)v(x为a,b】上的连续可微函数，则有定积分 分部积分公式：bb b(10)(10 )u(xV'(xdx=u(

8、xV(x 审一(xV(x)dx.证 因为uv是uv： u V在a,b 上的一个原函数，所以有bbbu xv xdx+ uxvxdx 二 U x v x u x v x dxaa°a" v"=u x v x a.移项后即为(10)式.为方便起见，公式(10)允许写成b_uxdvx 二=uxvx- vxdux.aa计算1ex2ln xdx.e 21x1 e1"xdx'Nxdx3 =3(x3 ln x- .；x2dx计算 2 sinn xdx 和 2 cosnxdx, n =1,2,当n 一 2时，用分部积分求得移项整理后得到递推公式:Jn"

9、“Jn 亠 n_2.由于重复应用递推式(11)便得令X / -t，可得2因而这两个定积分是等值的.由例5结论（12）可导出著名的 沃利斯（Wallis）公式： 事实上，由把(12)代人，得到 伽!！ <(2m -1 "上 <(2m -2 !(2m -1 J!(2m)! 2(2m1)由此又得(2m)!21L2m 1 ! 2m 112mBm2m!211 二 c因为 0 £ Bm _ Am = I < s 0(m T 比)(2m 1 !_ 2m(2m +1 ) 2m 2所以 lim Bm - Am ；=0.而Am : Bm - Am,故得 lim Am (即 1

10、3 式)m .2m ,2''三 泰勒公式的积分型余项 若在a, b上u x、v X有n，1阶连续导函数，则有u x v n 1 xdx =u xvn x -u xvnX这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明下面应用公式14导出泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U x0内有nT阶连续导函数令xU x0 ,u(t)=(xt j1 , v(t)=f(t ), " Ix0,x】(或 R,X0】).利用(14)式得其中Rn x即为泰勒公式的n阶余项由此求得Rn（X ）=丄f（n41 it lx -1 fdt ,（15）n!这就是泰勒公式的积分型余项由于f（n壮）连续，（x-tf在k,X或Rx。）上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将15式写作其中F： 二X- X。，0乞二乞1 这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项.（16）（17）将在第十四章里如果直接用积分第一中值定理于（15），则得Rn（X）=f L 峯 IX （X