2022年初一数学一题多解

1、例题一、 如图 1，已知 ab/cd，试找出b、bed和d的关系并证明。我们找出他们的关系是：dbbed。证明如下：方法一：如图 2， 过点 e作 ef/ab 。 因为efab /， 所以bbef； 因为cdab/，efab/，所以cdef /，所以dfed，所以dbfedbefbed。方法二：如图3，过点 e作 ef/ab 。因为efab /， 所以180bbef， 即bb ef180； 因为cdab/，efab/，所以cdef /，所以180dfed，即dfed180；因为360fedbedbef，所以)180180(360)(360dbfedbefbeddb。方 法 三 ： 如 图4，

2、连 接bd。 因 为cdab/， 所 以1 8 0bdcabd， 即)(180edbebdedcabe；在bed中，)(180edbebdbed，所以edcabebed。方法四：如图5，过点e做abfg，垂足为点f，交 cd于点 g。因为cdab/，所以90180efbegd；在直角 egd中，dged90，在直角 efb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -中，bfeb90，所以)9090(180)(180bdfebgedbeddb。方法五：如图6，延长 be交 cd于点 f。因为cd

3、ab /，所以befd；在 efd中，feddefd180，又因为fedbed180，所以dbde f db e d。例题二、 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形已知：如图1，在 abc中， ad=bd=cd求证： abc是直角三角形证法 1如图 1，利用两锐角互余ad=cd ，cd=bd ， 1=a， 2=b。在 abc中， a+b+acb=180 ， a+b+ 1+2=180，2（ a+b）=180， a+b=90， acb=90 ， abc是直角三角形。证法 2如图 2，利用等腰三角形的三线合一延长 ac到 e使 ce=ac ，连接 be ad=b

4、d ，cd是 abe的中位线be21cd。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -ab21cd，ab=be bc ac ， abc是直角三角形证法 3如图 3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）过点 d作 debc交 bc于点 ecd=bd ，bc21be，21abbdbcbe， b是公共角， bde bac 。 acb= deb=90 ， abc是直角三角形。证法 4如图 4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条取 bc中点 e，连接 dead=bd ， de

5、是 abc的中位线de ac cd=bd ，ce=be ，de bc ac bc ， abc是直角三角形证法 5如图 5，构造四边形，并证其为矩形延长 cd到 e使 de=cd ，连接 ae 、be ad=bd=cd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -ad=bd=cd=de,且 ab=ce 四边形 abcd 是矩形 acb=90 ， abc是直角三角形证法 6如图 6，利用勾股定理的逆定理设 ac=b ，bc=a ，ab=c，取 bc中点 e，连接 de de是 abc的中位线b21a

6、c21de。cd=bd ， de bc 。在 rtdeb中，222bdbede，222c21a21b21。222cba， abc是直角三角形。证法 7如图 7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。延长 cd到 e使 de=cd ，连接 be 。ad=bd ， 1=2， adc bde （sas ）， acd= e，ac=be ，ac be ， acb+ ebc=180 。又 ad=cd ， ab=ce 。bc是公共边， acb ebc （sss ）。 acb= ebc 。 acb=90 ， abc是直角三角形。证法 8如图 8，利用直径所对的圆周角是直角。精品学习资料 可选择p d f - -

7、- - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -以 d为圆心， da长为半径作圆。ad=bd=cd，点 c、b在圆上， ab是直径。 acb=90 。 abc是直角三角形。例题三、 某人买 13 个鸡蛋、 5 个鸭蛋、 9 个鹌鹑蛋， 共用去 9.25 元，如果买 2 个鸡蛋、4 个鸭蛋、 3 个鹌鹑蛋，则共用去3.20 元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1 个，共需多少钱？这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解， 但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。所以可解。 这类题对学生来说是有一些难度的

8、，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。下面让我们先来列出方程。设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z 元，则根据题意，可得方程20.334225. 99513zyxzyx，求zyx的值。解法一：变元法：把 z 看成常数，解关于x、y 的方程，可得20101121zyzx然后代入所求式zyx中，得：05.120101121zzzzyx答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1 个，共需1.05 元。解法二：直接构造法：因为题目中要求zyx的值，所以将原方程互助组变形直接构造出zyx。20. 32)(425.948)( 520.334225. 99513zxzyx

9、zxzyxzyxzyx4+得05.22)(21zyx05.1zyx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -答：略解法三：间接构造法：将原方程组中的两边同乘以常数a，的两边同乘以常数b，得bbzbybxaazayax20.334225. 99513+得bazbaybaxba20.325.9)39()45()213(我们想要求的代数式是x+y+z，令bababa3945213可得 a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05 x+y+z=1.05 例题四

10、、三角形一题多解如图：已知 ab=ac ，e是 ac延长线上一点， 且有 bf=ce ，连接 fe交 bc于 d。求证： fd=de 。证法一证明：过e点作 em ab交 dc延长线于m点，则 m= b，又因为 acb=b acb= ecm= m ，所以 ce=em ，又 ec=bf 从而 em=bf ， bfd= dem 则 dbf dme ，故 fd=de ；证法二证明：过e点作 em ab交 dc延长线于m点，则 m= b，又因为 acb= b acb= ecm= m ，所以 ce=em ，又 ec=bf 从而 em=bf ，bfd= dem 则 dbf dme ，故 fd=de ；证法

11、二证明：过f点作 fm ae ，交 bd于点 m ，则 1=2 = b 所以 bf=fm ，又4= 3 5=e 所以 dmf dce ，故 fd=de 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -例题五、平行四边形一题多解如图 4，平行四边形 abcd中 ad=2ab,e 、f在直线 ab上，且ae=bf=ab, 求证： dfce. 证法一、易知 adf 、bce为等腰三角形，故1=f, 2=e,又 cd ab,故 3=f, 4=e,从而 1=3， 2= 4，而1+2+3+4=1800，故

12、3+4=900，表明 cod=900，所以 dfce。证法二、如图5，连接 mn ，则 cd=bf, 且 cd bf ，故 bfcd为平行四边形，则cn=bn=ab, 同理 ,dm=ma=ab, 故 cn=dm 且 cn dm ，得平行四边形 cdmn ，易见 cd=dm，故 cdmn 也是菱形， 根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。证法三、如图6，连接 bm 、an, 可证 afn中， bn=bf=ba, 则afn为直角三角形，即df an,利用中位线定理可知an ce，故 dfce 。证法四、如图7，作 dg ce交 ae延长线于g，则 eg=cd=ab=ae, 故ad=ag=af, 从而 dfdg,而 dgce, 故 df ce 例题六、 如图所示，一个长为a，宽为 b 的矩形，两个阴影都是长为c 的矩形与平行四边