正项级数及其敛散性判别

1、19.2 正项级数及其敛散性判别正项级数及其敛散性判别一一. 正项级数的概念正项级数的概念二二. 正项级数敛散性的判别法正项级数敛散性的判别法211111( 1),10102nnnn 例例如如一一.正项级数的概念正项级数的概念则称此级数为则称此级数为正项级数正项级数. 1nnu 定义定义9.2.1 若数项级数若数项级数0(1,2,),nun 中的各项中的各项因为对任意因为对任意nn 均有各项均有各项0nu , 则则1ns 1nnsu 12nsss于是正项级数的部分和数列于是正项级数的部分和数列 ns是一个单増数列是一个单増数列, 即即3证证 “充分性充分性”“必要性必要性”从而正项级数收敛从而

2、正项级数收敛.limnns1nnu 存在存在, 收敛收敛, 则则 若若limnns 存在存在, 由数列单调有界准则知极限由数列单调有界准则知极限 定理定理9.2.1 正项级数正项级数1nnu ns收敛的充要条件是部分和数列收敛的充要条件是部分和数列有上界有上界. 由收敛数列的有界性定理由收敛数列的有界性定理 知知, 有上界有上界. ns正项级数发散的充要条件是部分和数列正项级数发散的充要条件是部分和数列ns无上界无上界.此定理的等价命题此定理的等价命题:从而正项级数发散从而正项级数发散.”其等价命题是其等价命题是:lim,nns “若若 ns无上界无上界, 则则4例例1判定判定 p 级数级数1

3、1111 (0)2pppnpnn 的敛的敛散性散性. . (2) 当当 p1 时时, 因为因为pnn ，11,pnn 有有解解（1） 当当 时时, 级数为调和级数级数为调和级数, 发散发散.1p 所以所以11nn 由由于于 11pnn 发散发散, 则则 p 级数级数发散发散.11111.1.,22nppsnn5(3) 当当 p1 时时, 设设12 ,nxn n（） 有有11ppnx 111123npppsn1111dd ,2,3,.nnppnnxx nnx211111dd2nppnxxn 于是于是 1d1npxx 1111(1)1ppn 111p ,ns即即 有有界界211dd1nppnxxx

4、x 收敛收敛. .61,1,ppp 当当时时收收敛敛级级数数当当时时发发散散结论结论: 如何判别正项级数的敛散性是讨论正项级数的基本问题如何判别正项级数的敛散性是讨论正项级数的基本问题, 直接利用上述定理来判别直接利用上述定理来判别, 即讨论部分和数列是否有上界是即讨论部分和数列是否有上界是非常困难的非常困难的. 因此因此, 需要建立其它敛散性的判别法需要建立其它敛散性的判别法.例例1判定判定 p 级数级数11111 (0)2pppnpnn 的敛的敛散性散性. .7设两个正项级数设两个正项级数定理定理9.2.2 (比较判别法比较判别法)应项满足应项满足:11nnnnuv 及及(1,2,)nnu

5、vn 二二. 正项级数敛散性的判别法正项级数敛散性的判别法则则 (1)当级数当级数也收敛也收敛;收敛时收敛时, 级数级数1nnv 1nnu （大收小收）（大收小收）(2)当级数当级数1nnu 发散时发散时, 级数级数1nnv 也发散也发散.（小发大发）（小发大发）的对的对1. 比较判别法比较判别法8证证 设设1nnv 1,nnu 部分和分别是部分和分别是,nns (1,2,0)nnucvnc 因因12,nnsuuu 于于是是故级数故级数1nnu 收敛收敛.limnn 于于是是 故级数故级数1nnv 发散发散. (1)当级数当级数1nnv 收敛时收敛时, ,nns 有有上上界界那那么么也也有有界

6、界. .则则12()nnc vvvct(2)当级数当级数发散时发散时,lim,nns 1nnu 9 注注1 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性 . 故定故定理中的不等式不一定从首项就开始面满足理中的不等式不一定从首项就开始面满足.注注2当级数当级数1nnv 收敛时收敛时, 不一定有级数不一定有级数1nnu 收敛收敛.1nnv 发散时发散时, 不一定有级数不一定有级数1nnu 发散发散.当级数当级数2111,(1)n nnn 例如例如,发散，而发散，而11(1)nn n 收敛收敛.11nn 但但 10 注注3 应用比较判别法时应用比较判别法时, 须找合适

7、的已知敛散性的级数须找合适的已知敛散性的级数作为作为参考参考级数级数. 重要参考级数重要参考级数: 几何级数几何级数, p - 级数级数, 调和级数调和级数. . 例例2 判定级数判定级数131nnnn 的敛散性的敛散性. .解解113nn 而而 收敛收敛,13133nnnnnnn 因为因为则级数则级数收敛收敛.131nnnn 111111(1)(1)(1)nn nnn 例例3 判定级数判定级数11(1)nn n 的敛散性的敛散性. .解解则级数则级数11(1)nnn 发散发散.111nn 而而 发散发散,因为因为12设两个正项级数设两个正项级数推论推论9.2.111nnnnuv 及及c 0，

8、使得从某项，使得从某项 (如第如第n项项) 起满足起满足 , 如果如果存在常数存在常数(,1,0)nnucvnn nc 则则 (1)当级数当级数也收敛也收敛;收敛时收敛时, 级数级数1nnv 1nnu (2)当级数当级数1nnu 发散时发散时, 级数级数1nnv 也发散也发散.13定理定理9.2.3 (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)11nnnnuv 及及lim,nnnulv 若两个正项级数若两个正项级数满足满足: (1)当当0 l +时时, 级数级数11nnnnuv 和和同敛散同敛散;1nnv 1nnu (2)当当l= 0且级数且级数也收敛也收敛;收敛时收敛时, 级数级数(3)当当

9、l= +且级数且级数也发散也发散.1nnv 发散时发散时, 级数级数1nnu 143,22nnnllvuv于于是是11nnnnuv和和同敛散同敛散;则级数则级数01nnuv有有(2) lim0,nnnuv 由由 1,nnn 使使得得则对于则对于 nnuv 即即，2nnullv有有(1) lim,nnnulv 由由 证证,2lnnn 使使得得则对于则对于3022nnullv1nnv 也收敛也收敛;则若级数则若级数1nnu 收敛收敛, 1501nnvu有有(3) lim,nnnuv 由由 nnvu 即即，1,nnn 使使得得对于对于则则lim0,nnnvu 解解而级数而级数11pnn 是收敛的是收

10、敛的的敛散性的敛散性.11sin(1)pnpn 例例5 判定级数判定级数1sinlim1pnpnn1 因为因为所以级数所以级数是收敛的是收敛的11sinpnn 1nnv 也发散也发散.则若级数则若级数1nnu 发散发散, 16 例 6 判定级数211ln(1)nn的敛散性 解 由 ln(1x)x(x0)可知 221ln(1)lim11nnn而211nn收敛 所以 解 由 ln(1x)x(x0)可知 2211ln(1)()nnn 解 由 ln(1x)x(x0)可知 2211ln(1)()nnn 所以 2211ln(1)()nnn 所以 221ln(1)lim11nnn 收敛 所以211ln(1)

11、nn收敛 17定理定理9.2.4 (达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法)若正项级数若正项级数1nnu 满足满足1lim,nnnulu 2. 比值判别法比值判别法则则(1) 当当0 l 1时时, 级数级数1nnu 发散发散;(3) 当当l = 1时时, 级数级数1nnu 可能收敛可能收敛, 也可能发散也可能发散.18 (1)当当 l 0且满足且满足1,lr ,nnn 存存在在使使11nnulru 1,nnnnuru 于于是是 有有1,nnulu 有有1,nnuru 22,nnur u ,nnnnur u 证证 则则11()n nnnn nnuru 收敛收敛.从而在它前面增加从而在它前面增加n项

12、的级数项的级数1nnu 也收敛也收敛.1 (01)nnnr ur 而而收敛收敛,1911,nnulqu , lim0.nnu 于于是是(2)当当 l 1时时, 则对任意给定的则对任意给定的 0且满足且满足1,lq ,nnn 存存在在使使则当则当n n时时, 后项后项 un+1 始终大于前项始终大于前项un1nnu 故故发散发散.1nnulu 有有20但当但当 p 1时时, p 级数收敛级数收敛; 当当 p 1 时时, p 级数发散级数发散.1lim11(1)npn 比如比如 p 级数级数11,pnn 无论无论 p 取何值取何值, 均有均有1limlim(1)pnpnnnunun (3) 当当

13、l = 1时时, 级数级数1nnu 可能收敛可能收敛, 也可能发散也可能发散.21例例7 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.11(1)!nnnn 因因为为 12(2)!lim1(1)!nnnnnnn （）故原级数收敛故原级数收敛. .解解121lim111nnnnnne 1limnnnuu 221lim10nn 故原级数发散故原级数发散. .解解1(1)!110!10limlim nnnnnnnnuu 例例8 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.1!10nnn 231(2)(2) limlim1(1) (3)(1)nnnnunn nunnn 因因为为 解解比值审敛法失效比值审敛法失效, ,

14、改用比较审敛法改用比较审敛法11 ,(2)2nn nn 又又因因为为 11,2nn 而而级级数数发发散散11.(2)nnn n 故故级级数数发发散散例例9 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.11(2)nnn n 24定理定理9.2.5 (柯西根值判别法柯西根值判别法)若正项级数若正项级数1nnu 满足满足lim,nnnul 则则 (1) 当当0 l 1时时, 级数级数1nnu 发散发散;(3) 当当 l = 1 时时, 级数级数1nnu 可能收敛可能收敛, 也可能发散也可能发散.3. 根值判别法根值判别法25(1)1,(1)/ 20,ll 当当时时 对对证证,nnn 存存在在自自然然数数使使

15、当当时时 有有112nnllulr ,nnurnn即即 1201,nnnrrrr 因因为为当当时时收敛。收敛。1,.nnu 所所以以 级级数数收收敛敛(2)1,(1)/ 20,ll 当当时时 对对,n存存在在自自然然数数,nn 使使当当时时 有有26112nnllulr ,nnurnn即即121,nnnrrrr 因因为为当当时时发发散散1,.nnu 所所以以 级级数数发发散散,.nru 并并且且由由知知limlim ( )nnnnnnaun 因因为为 lim01nan 例例10 判定级数判定级数1( )nnan 的敛散性的敛散性. .解解 27的敛散性的敛散性.例例11 讨论级数讨论级数1(0)nnnxx 解解 因为因为故原级数收敛故原级