第3章土中的应力计算

1、第三章地基中的应力计算§3-1 概 述一、土体应力计算的目的：1、用于计算土体的变形，如建筑物的沉降；2、用于验算土体的稳定，如边坡的稳定性。二、相关的概念1、支撑建筑物荷载的土层称为地基。2、建筑物的下部通常要埋在地下一定的厚度，使之坐落在较好的地层上。由天然土层直接支撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载力和变形不能满足设计要求，经加固后支撑建筑物的称为人工地基。4、而与地基相接触的建筑物底部称为基础。5、与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。6、将持力层下面的土层称为下卧层。7、分类：（1）土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力；自重应力在未建造基础前，由土体自身的

2、有效重量所产生的应力。附加应力由于建筑物荷载在地基内部引起的引力。由外荷（静的或动的）引起的土中应力。（2）按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应（压）力。有效应力由土骨架传递（或承担）的应力。孔隙应力由土中孔隙流体水和气体传递（或承担）的应力。孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙水来传递的，因而它不会使土体产生变形，土体的强度也不会改变。由于土层有其特殊的性质，作为地基的土层在上部荷载作用下将产生应力和变形。从而给建筑物带来一系列工程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。如果地基内部产生的应力在途

3、的强度所允许的范围内时，土体是稳定的；反之，如果地基内部某一区域中的应力超过了土的强度，那么，哪里的土体将发生破坏，并可能会引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。如果地基土的变形量超过了允许值，即使土体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使用价值。因此，为保证建筑物的安全和正常使用，设计时必须对地基进行强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。为此，就要研究在各种荷载作用下地基内部的应力分布规律。自然界的土层，一般从形成至今已经历了漫长的地质年代，在自重应力作用下早已压缩稳定。因此，自重应力不会引起建筑物的地基沉降，但是对于新沉积或近期人工堆积的土层，应考虑在自重应力作用下产生的变形。附

4、加应力是地基产生变形和失去稳定性的主要原因，其应力的大小除了与计算点的位置有关，还决定于基底压力的大小和分布情况。由于土体与连续介质具有不同的特点，具有分层性。所以作为地基的土层是单索性弹塑性体和各向异性体，要对其进行精确的应力分析。目前还无简单成熟的计算方法，因此，在计算土中的应力分布时，通常不考虑土的分层，假定地基为均匀连续的各向同性体的半无限直线变形体，这样就可采用弹性理论来计算土中的应力。大量的实践表明：当地基上作用的荷载不太大，土中的塑性变形还很小或没有时，荷载与变形之间近似成直线关系，用弹性理论计算的应力值与实例土中应力相差不大，在工程上还是允许的。所以本章将以弹性理论为基础的应力

5、分析法，首先介绍自重应力的计算，接着讨论基底压力压力的分布规律及其计算方法，然后分别介绍在各种荷载作用下附加应力的计算。§3-2 地基中的自重应力1、自重应力的计算假定：地基为半无限弹性体，即天然土体在水平方向及地面以下都是无限的。根据以上的假定，土体在自重作用下既不能由侧向变形，也不能有剪切变形，只能产生垂直变形。因此，其内部任一点与地面平行和垂直的平面上，仅作用着竖向应力和水平应力、。而剪应力。如图：设地基中某单元体离地面的距离为Z，土的容重为，则该单元体上竖向自重应力等于单位面积上的土柱有效重量，即式中，为土的静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下，侧向（水平向）有效应力与

6、竖向有效应力之比。各种土的可值不同，可由试验测定。砂土：； 粘土：；超固结土：，为土的超固结比。为土的泊松比，是土体在无侧限条件下单向压缩进侧向膨胀的应变与竖向压缩的应变之比。一般在0.30.4之间，饱和粘土一般约0.5。由上可知，土的竖向自重应力随着深度z的增大而直线增大，呈三角形分布，如图：2、对于均匀压实土体 对于地下水位线以上，用天然容重；地下水位线以下，用浮容重。若有地下水位存在，由于存在水的浮力作用，计算自重时，到地下水位以下各土层的容重应以浮容重代替。3、对成层土体当地基由多层土组成，各土层的厚度为，相应的容重分别为，则地基中第n层底面处的竖向自重应力为：4、存在地下水位时，地下

7、水位以下的土体中还存在静孔隙水应力。即：例：设地基由多层土组成，各土层的厚度、容重如图，试求各土层交界处的竖向自重应力，并给出自重应力分布图 §3-3 基底压力和基底附加应力基底压力（接触压力）：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力。地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。基底附加应力（基底净压力）是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。计算图中的附加应力，须先知道基底压力的分布。基底压力又称，这是建筑物荷载通过基础传给地基的压力，它是地基作用于基础底面的反力。它是设计基础及计算地基中附加应力的依据

8、。因此，必须研究它的分布规律与计算方法。一、实际基底压力分布图的类型基底压力的分布很复杂，它不仅与基础的刚度、平面形状、尺寸大小和埋深等有关，而且与作用在基础上的荷载大小与分布，地基土的性质等有关。对于柔性基础（如土堤、土坝、路基等），其刚度很小，在垂直荷载作用下没有抵抗弯曲变形的能力，能随着地基一起变形，因此，刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布相同。刚性基础（如建筑物的墩式基础、箱形基础、水闸基础、混凝土坝等），其本身刚度大大超过凸的刚度，由于地基与基础的变形必须协调一致，故在中心荷载作用下地基表面各点的竖向变形值相同。这就决定了基底压力的分布不是均匀的，理论与实践都证明：中心受压时刚

9、性基础下的接触压力是鞍形，如图当刚性基础上荷载较小时，位于基础边缘的部分产生塑性变形，边缘应力不再增大，而中间部分的应力可继续增大，应力图形逐渐由马鞍形变为抛物线形（如图b）当荷载接近于地基的破坏荷载时，应力图形又由抛物线形转为中部突出的钟形。上述应力图形转化的程度取决于图的性质及基础的埋深，对于基础不好而埋深又浅的基础，在荷载不太大时可出现钟形的基底压力分布。由于目前对影响基底压力的因素研究部够，至今还不能采用考虑建筑物上部结构、基础、地基三者共同工作的方法来正确决定各种实用情况下作用于基础的荷载及基底压力的分布规律。在工程上常采用下列两种方法之一来决定基底压力的分布。刚性基础：刚度较大，基

10、底压力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。（1）当基础的宽度不太大，而荷载较小的情况下，假定基底压力的分布近似地按直线变化，因此可采用简化计算方法；（2）对大尺寸基础，为了考虑基础刚度的影响，采用弹性基础梁理论来确定基底压力。下面介绍基底压力的简化计算方法二、基底压力的简化计算方法1、竖直中心荷载作用下的基底压力矩形基础如图：若矩形基础的长度为，宽度为，其上作用这竖直中心荷载，当假定基底压力为均匀分布时，则平均基底压力为中心竖向荷载与基础自重的合力；上部结构传至设计地面的荷载；基础自重与回填土的总重。 为一基础及回填土的平均重度，一般取,为基础埋深。 若在地下水位以下，应取浮重度计

11、算之。条形基础如果基础为长条形，（理论上L/B=，称为长条形基础，工程上当L/B10即按长条形基础考虑）则在长度方向上截取1m进行计算，则，、对应地取单位长度内的相应值，即（）如图，此时的基底压力为为每沿米的荷载，、为每米的上部荷载和基础自重。2、竖向偏心荷载作用下的基底压力矩形基础对于单向偏心荷载作用下的矩形面积基底的刚性基础如图（a）、（b）所示。两端边缘最大压力与最小压力可按下式计算：式中，矩形基底的力矩；矩形基底面的抗弯截面系数，；而荷载的偏心矩。代入上式，得 根据材料力学的知识，可得：当时，基底压力成梯形分布；当时，基底压力成三角形分布；当时，基底压力，此时基底与地基局部脱离，在工程

12、上是不允许出现拉力，从而使基底压力重新分布，如教材图所示： 得 （）。条形基础在长度方向上截取1m进行计算，、为每米的上部荷载和基础自重，（）。 而：，（是长边的平方），代入上式得：根据材料力学的知识，可得：当时，基底压力成梯形分布；当时，基底压力成三角形分布；当时，基底压力，此时基底与地基局部脱离，在工程上是不允许出现拉力，从而使基底压力重新分布，如教材图所示： （，）。3、倾斜的偏心荷载作用时的基底压力矩形基础先将倾斜偏心的合力分解为竖直分量和水平分量。为倾斜荷载与竖向线之音质倾角。A、 对于竖向分量作用下的基底压力计算同理，分布荷载有三种情况。B、 对于水平分量作用下的基底压力计算条形基

13、础A、对于竖向分量作用下的基底压力计算B、 对于水平分量作用下的基底压力计算三、基底附加应力（基底净压力）（、）只有附加压力才能在地基中产生附加应力实际工程中，基础总是埋置在天然地面以下一定的深度，势必要进行基坑开挖，这样一来就意味着加了一个负荷载。因此，应在基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压力，称为基底附加应力或基底净压力。基底净压力按下式计算：1、对于基底压力为均布情况式中，基底处土的自重应力；基底以上土的加权平均容重，；基础埋深，从天然地表算起，。2、对于基底压力为梯形分布情况 §3-4 地基中的附加应力一、假定：1、地基土层是各项均质的

14、、连续性的各向同性体；2、地基土层线性变形体（弹性体）；3、深度和水平方向上都是无限的。二、问题的分类1、空间问题：，应力是三个坐标的函数，；圆形基础、矩形基础；2、平面问题：，应力是二个坐标函数，；条形基础。三、附加应力基本解答1、竖向集中力作用下地基附加应力半无限空间体弹性力学基本解当半无限弹性体表面上作用着竖直集中力时（如图），弹性体内部任一点M（X、Y、Z）的应力和位移，由法国的（1885年）布辛内斯克（Boussinesq）根据弹性理论求得，其表达式： （213e）即为著名的布辛内斯克（J.Boussinesq）课题。这是求解地基中附加应力的基本公式。在上述6个应力分量中，对地基沉降

15、意义最大的是竖向应力分量 。下面主要讨论竖向应力的计算及其分布规律。利用图中的几何关系 ，上式可以改写成下列形式： 式中，称为集中力作用竖向附加应力系数。无因次，是r/z的函数，可由图212或表22中查得。由式可知，在集中力作用线上，附加应力随着深度z的增加而递减，离集中力作用线某一距离r时，在地表面的附加应力为零，随着深度的增加，逐渐递增，但到某一深度后，又随深度z的增加而减小，如图a所示；在某一深度z处，在同一水平面上，附加应力随着r的增大而减小，如图2b所示。当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性力学的应力叠加原理求出附加应力的总和。实际工程

16、中，当基础底面形状不规则或荷载分布较复杂时，可将基底分为若干个小面积，把小面积上的荷载当成集中荷载，然后利用上述公式计算附加应力。 2、等代荷载法基本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力z仅是荷载的一次函数，因此当若干个竖向集中力Fi（I=1，2， n）作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力z应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。即：式中：第个竖向附加应力系数。四、空间问题条件下的附加应力计算1、竖直均布荷载作用下的附加应力（1）均布矩形荷载作用时角点下的竖向附加应力如图所示，微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应力

17、为：竖直均布压力作用下矩形基底角点O下z深度处所引起的附加应力为：=式中，Ks称为竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的函数，其中m=l/b，n=z/b。L是矩形的长边，b是矩形的短边，而z是从基底面起算的深度，ks值可直接查表22。pn是基底净压力。（2）均布矩形荷载作用下任意点下的附加应力对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况，可利用上式角点法求得，如： O点在荷载的边缘，则（Ks+Ks）P O点在荷载面内（Ks+Ks+Ks+Ks）P O点在荷载面边缘外侧abcd可看成（ofbg）-（ofah）+(ogce)-(ohde) 则（Ks-Ks+Ks-Ks）P O点在荷

18、载面角点外侧Abcd可看成（ohce）-（ohbf）-(ogde)+(ogaf)则（Ks-Ks-Ks+Ks）P2、矩形基底受三角形分布荷载作用时，角点下的竖向附加应力（图）如图，在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为，把荷载强度为零的角点O作为坐标原点，利用公式和积分的方法求角点O下任意深度的附加应力。在受荷面积内，任微小面积dA=dxdy以集中力 代替作用在其上的分布荷载，则dP在O点下任意点M处引起的竖直附加应力为： 将代入上式积分得整个矩形面积竖直三角形荷载时在角点O下任意深度z处所引起的竖直附加应力：式中， 为矩形面积竖直三角形荷载角点下的应力分布系数，表24查得，Kt=f(

19、m,n)，m=L/B，n=z/B。B是沿三角形荷载变化方向的矩形边长，如图中角点O'下的应力时，可用竖直均布荷载与竖直三角形荷载叠加而得，根据叠加原理，易于推得角点2下的附加应力 附加应力系数Kt1，Kt2均是m=l/b，n=z/b的函数，可供直接查表23。3、矩形基底受水平均布荷载作用时角点下的竖向附加应力当矩形面积基底受水平荷载（基底的水平方向均布切向力）作用时，角点1，2下的地基竖向附加应力为式中，为水平荷载作用时地基竖向附加应力系数，为矩形基底受水平均布荷载作用时的竖向附加应力分布系数查表2-4。注：始终是水平荷载作用面向矩形基底的长度，不论其是长边还是短边，而是矩形的另一条边

20、长；当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端时，取“+”；当计算点在水平均布荷载作用方向的起始端时，取“-”；当计算点在基底范围以内或以外时，仍可用角点法和叠加理论计算；显然在基础的b/2处的竖直线上，因ph引起的地基竖向附加应力为零。“角点法”原理对于水平荷载作用的情况同样可以应用。例：已知两柱下独立基础埋深为1.7m，基础底面尺寸为3×2，作用于基础上的荷载均为F=1308KN，两柱中心距离为6m，基础埋深范围内涂的容重，基础及基础台阶上回填土的平均重度（1）试求基础A中心点下地基附加应力（2）若考虑基础B的影响，附加应力要增加多少？解：（1）求基底压力（2）求基底净压力一、先求不

21、考虑B基础影响时，A基底中点O下0，1，2，3，4，5，6，7，8等各点的点001.500.250221.4111.511.93170.9221.520.10794.8331.530.06154.0441.540.03833.7551.550.02623.0661.560.01916.8771.570.01412.4881.580.0119.7二、求在基础B的影响下，附加应力的增加，令A0abc为I部分，Aoacd为II部分，泽2(s-s)点zss004.6703.3300.250.2500.0221.4114.670.573.330.670.22910.2290.04170.94224.67

22、1.333.331.330.1790.1770.8995.69334.6723.3320.1360.1321.7755.77444.672.673.332.670.1060.1002.6636.36554.673.333.333.330.0860.0793.1026.1664.6743.3340.0700.0623.5420.34774.674.673.334.670.0580.0503.5415.94884.675.333.335.330.0480.0422.6612.36例：某方形基础底面尺寸为6×6，其上作用着竖直偏心荷载F=10000KN，偏心矩e=1m,试求基础中心点以下7

23、.2m处的竖向附加应力（基础及基础台阶上土的重量不计）解：（1） 求基底压力（2） 求基底净压力（3） 求O点下，可将基础分为二部分，则，求时，再将基础分为二部分，这样O点位于角点下，对I部分，对II部分=S+T=T=9.53kpa所以+=9.53+9.53=19.06kpa所以 4、圆形基底受均布荷载作用下的附加应力计算（1）圆心下设圆心基础半径为，均布荷载为，要求圆心下任意点M处的竖向附加应力：现采用极坐标系，原点置于圆心，在圆面积内任点一小微元体，则，其上的微集中应力为则圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力z为式中为圆形面积均布荷载中心点下的竖向附加应力系数，是的函数，由表25查取

24、。（2）任意点可按查表求出由此可知，圆心点处的竖向附加应力是上例的特殊情况，即当时三、平面问题条件下的附加应力理论上，当基础长度l与宽度b之比l/b=时，其内部的应力状态属平面问题，实际上，并不存在无限长的基础，大量的实践及研究表明，当l/b10时，其结果与l/b=时的情况相差不多，因此，水利工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸、船坞等，当l/b10时，均可按平面问题处理。1、竖直线荷载作用下的附加应力沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，当地面上作用着竖直线荷载时，在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得同理，这就是著名的

25、符拉蒙（Flamant）解答。式中为单位长度上的线荷载（KN/M）同理可求出，由于荷载沿y轴均匀分布且无限延长延伸，因此与y轴垂直的任何平面上的应力状态完全相同，据弹性力学的知识，可得，2、条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答可得地基中任意M点的竖向附加应力为：同理可求出： ，注意：积分是0b, 要求：原点在角点；X轴正向与荷载分布方向一致式中，为条形基底受竖直均布荷载作用下的附加应力系数，它们是，的函数。可查表2-6。3、条形基底受竖直三角形分布荷载作用时的附加应力条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为）

26、，微宽度上的线荷载为，应用符拉蒙基本解答沿宽度积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意点的附加应力： ；式中，为条形基底受竖直三角形分布荷载作用的附加应力系数，它们是，的函数。可查表2-7。注意：（1）原点在尖点；（2）X轴正向与荷载增大方向一致。4、条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力当条形基底作用有水平均布荷载（作用于基底沿宽度方向的切向力）时，地基中任一点的附加应力同样可利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的基本公式求得： ；式中，为条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力系数，均是，的函数。可查表2-8。注意：（1）原点在荷载起点；（2）X轴正向与荷载方向一致。例1：某

27、水闸基础，宽度为15米，长度为160米，埋置深度为1.5米，作用于水闸上的荷载如图所示，求C点以下6米深度处的竖向附加应力（地基土体天然容重为17.64 KN/m3 ，偏心距e=0.5m）。附表：m=x/B n=z/B表1、条形基底受竖直均布荷载时的KSZ值： 表2、条形基底受三角形分布荷载时的KTZ值： n m0.20.40.60.80.250.9360.7970.6790.5860.500.9780.8810.7560.6420.750.9360.7970.6790.586n m0.20.40.60.80.250.2550.2630.2580.2430.500.4980.4410.3780