第3章 动量守恒定律和能量守恒定1

1、第三章 动量守恒定律和能量守恒定律问题解答3-1 如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点运动到点，（2）地球从点运动到点，（3）地球从点出发绕行一周又返回点，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？解 由可得，地球绕太阳作圆周运动的速率为，方向沿轨道切线方向。（1）地球从到，动量增量的大小为 方向与点速度方向成角。在运动过程中，地球只受到引力作用，由动量定理可知，地球所受的冲量等于动量的增量，即 方向与点速度方向成角。（2）同理，地球从运动到，动量增量大小为，方向与点速度方向相同。此过程中地球所受的冲量为，方向与点速度方向相同。（3）当地球绕行

2、一周回到时，动量增量为零，地球所受到的冲量也为零。3-2 假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围又无其它可以利用的工具，你怎样依靠自身的努力返回湖岸呢？解 可以将身上所带的物品往后扔，由于动量守恒，人自身会向前进。3-3 质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，另一部分质点的速率一定会变小？解 不一定，因为动量是矢量，既有大小也有方向。例如炸弹爆炸，产生的碎片获得的速率相对爆炸前都增大，但方向不一。3-4 一人在帆船上用电动鼓风机正对帆鼓风，帆船是前进，还是后退？为什么？解 帆船仍然静止，鼓风机所鼓的风对帆及其自身都有作用力，对于整个帆船来看，风对帆和鼓风机的力

3、属于内力，动量守恒。3-5 在大气中，打开充气气球下方的塞子，让空气从球中冲出，气球可在大气中上升。如果在真空中打开气球的塞子，气球也会上升吗？说明其道理。解 气球会上升，由动量守恒，从气球中乡下冲出的空气会给气球一个向上的冲力。3-6 在水平光滑的平面上放一长为、质量为的小车，车的一端站有质量为的人，人和车都是静止不动的。人以速率相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？解 如图所示，取人与车为系统，在水平方向系统不受外力，满足动量守恒。设小车沿地面的速率为，所以有将上式两边乘以，并对时间积分 （1）设时刻，人刚好走到小车另一端，此时人相对于地面运动的距离为，

4、小车相对于地面运动的距离为，所以，代入（1）式有 （2）又由图示可知 （3）由（2）（3）可得人对地面移动的距离为 小车对地面移动的距离为3-7 人从大船上容易跳上岸，而从小舟上则不容易跳上岸了，这是为什么？解 船与河岸的距离一定，人要能跳上岸，则他相对于地面的速率必须要达到一定的值，假设这个所需的速率为，设人的质量为，船的质量为，并且当起跳时人相对船的速率为，由相对运动可知，此时船相对地面运动的速率为. 取人与船为一个系统，起跳过程中，在水平方向满足动量守恒，即又上式分析可知，人的质量、人相对地面所需的速度恒定，当船的质量越小，则人相对船起跳的速率也要越大，即人从小舟跳上岸要困难些。3-8

5、质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。解 质点的速度因惯性系选取的不同而不同，所以质点的动量和动能都与惯性系的选取有关；由位移，即位移与惯性系有关，所以对于功也与惯性系有关；动量定理与惯性系选取无关；动能定理与惯性系有关。例如，在一辆以速率匀速前进的火车上，一乘客用一恒定力拉动物体A，使物体相对于火车由静止开始运动，则物体相对于当运动秒后，取地面为参考系，物体的动量为，动能为，力作功，这段时间内其动量定理表达式为 ，动能定理表达式为取火车为参考系，物体的动量为，动能为，动量定理表达式，动能定理表达式为3-9 关于质点系

6、的动能定理，有人认为可以这样得到，即：“在质点系内，由于各质点间相互作用的力（内力）总是成对出现的，他们大小相等方向相反，因而所有内力做功相互抵消。这样质点系的总动能增量等于外力对质点系做的功”。显然这与式（3-20）所表述的质点系动能定理不符。错误出在哪里呢？解 这种观点不正确，各质点间的内力虽是成对出现的，且大小相等方向相反，但它们分别作用在不同的质点上，质点的位移并不一定相同，所以这对内力作功之和也不一定为零。如右图所示，两质点、，相互作用力为、，在时间内，两质点位移分别为、，则这一对内力作功为是质点对的相对位移。当为零时，这对内力作功才可抵消。3-10 有两个同样的物体，处于同一位置，

7、其中一个水平抛出，另一个沿斜面无摩擦地自由滑下，问哪一个物体先到达地面？到达地面是两者的速率是相等？解 如图所示，这两个物体在竖直方向都作初速度为零、加速度为的匀加速运动，由于起始高度相同，由运动学公式，它们到达地面所要的时间都为，对于沿斜面下滑的物体、斜面、地球组成的系统而言，只有重力作功，由机械能守恒可得物体到达地面时的速率为对于平抛落地的物体，它到达地面时的速率为所以它们落地时速率并不相等。3-11 如果一质点P处于如图所示的方形势阱底部。若有力作用在质点上，在什么情形下，此质点的运动可以不受方形势阱的束缚；在什么情形下，质点仍要受束缚。解 质点P受力作用，当它所获得的能量大于在势阱底部

8、的势能时，质点不受方形势阱的束缚。3-12 举例说明用能量方法和牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便，哪些力学问题不方便。解 能量方法和牛顿定律是解决力学问题时经常要用到的方法，利用牛顿定律可以求得瞬时关系，但解题时必须考虑物体运动状态改变的细节，能量的方法一般适用于研究物体或系统运动状态的变化。 例如对于碰撞问题，两质点碰撞过程中的相互作用力为变力，不便利用牛顿定律来求解，而利用能量方法则不用考虑碰撞中的内力。习题解答3-1 一架以的速率水平飞行的飞机，与一只身长为、质量为的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率甚小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力（

9、碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）。根据本题计算结果，你对于高速运动的物体（如飞机、汽车）与通常情况下不足以引起危害的物体（如飞鸟、小石子）相碰后会产生什么后果的问题有些什么体会？解 由力的作用的相互性可知，鸟与飞机相撞，鸟对飞机的冲击力与飞机对鸟的冲击力大小相等，方向相反。我们以鸟为研究对象，取飞机的飞行的方向为轴正方向。由动量定理得其中为碰撞时间，由题意可知，代入上式可得 所以飞鸟对飞机的冲击力为 负号表示飞机所受冲力方向与其飞行方向相反。由以上结果可知，尽管飞鸟质量、飞行速度都不大，但与其相撞后，飞机受到的冲击力很大，所以飞机在飞行时需要采取一些措施来避免与看似不会引起危害的物体

10、相碰。3-2 质量为的物体，由水平面上点以初速为抛出，与水平面成仰角.若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。解 从所给的条件分析，本题有两种解法。一是直接利用冲量的定义式，二是根据物体运动的始、末状态，利用动量定理来求解。方法一 如图所示建立坐标系，物体从发射点到最高点所用的时间为由冲量定义，从发射点到最高点的过程中重力的冲量为同理，物体从发射点落到所用的时间为此过程重力的冲量为方法二 物体在整个运动过程中只受到重力作用，由动量定理可知，物体始末动量的增量即为重力的冲量。右图分别为两过程中动量矢量图。所以物

11、体由发射点运动到、过程中重力的冲量分别为3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使它被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为，安全带弹性缓冲作用时间为. 求安全带对人平均冲力。解 人从跌落到最终被悬挂，受到重力和安全带对他的冲力的作用，但二者作用时间不同，重力作用于整个过程中，而安全带只作用于缓冲阶段。由题意可知，安全带对人的作用时间为 ，而重力的作用时间为人自由落体到处的时间与缓冲作用时间之和，即 取竖直向下为正方向，人初始下落和最终被悬挂时的速度均为零，所以对于整个过程，人的动量增量为零，由动量定理有由上式可知，安全带对人

12、的平均冲力的大小为3-4 一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为. 爆炸后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为. 问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气的阻力不计）解 物体在最高点发生爆炸，其中爆炸力是内力，它远大于物体的重力，所以爆炸前后动量守恒。如图所示建立坐标系.爆炸前，由抛体运动规律，物体在最高处的速度（起抛速度的水平分量）为 （1） 爆炸后，由题意可知第一块碎片获得竖直向下的速度，向下作自由落体运动，在后落到爆炸点正下方的地面上 由上式可得，爆炸后第一块碎片的速度为 （2）设爆炸后第二块碎片的获得的速度为，由动量守恒有 （3）由（

13、1）（2）（3）式可得 （4）由上式可得，爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为 将代入上式，并且由（4）式可得第二块碎片落地时的水平位置为 AB3-5 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦间相遇时，两船各自向对方平稳地传递的重物，结果是A船停了下来，而B船以的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为和，求在传递重物前两船的速度。（忽略水对船的阻力）解 由题意可知，A船与从B船传过来的重物在航行方向无外力，二者在作用过程中沿航行方向动量守恒；同样，在B船与A船传过来的重物相互作用过程中也满足动量守恒。如图，以A船初始航行方向为轴正方向，设传递重物前A、B两船的速度分别为、，传递后

14、的速度分别为、，重物质量为.由动量守恒定律，对于A船与从B船传过来的重物有 （1）对于B船与从A船传过来的重物有 （2）将，代入（1）（2）式可得传递重物前两船的速度分别为3-6 质量为的人手里拿着一个质量为的物体，此人用与水平面成角的速率向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加多少？（假设人可视为质点）解 如右图所示建立坐标系，人在最高处向左抛物体的过程中，人与物体组成的系统在水平方向不受外力，满足动量守恒定律，设人抛出物体后相对地面的速率为，则物体相对地面的速率为，由动量守恒得 由上式可得，人抛出物体后的速率为由上式可见，人因

15、向左抛出物体而获得的速率增量为又人从最高处下落到地面所需要的时间为所以，人跳跃后增加的距离为3-7 一火箭垂直向上发射，它的气体质量排出率恒为，其中是火箭最初的质量。火箭排出的气体相对于火箭的速率为. 求发射后火箭的速度和高度。（重力略去不计）解 不计重力时，火箭在推力的作用下飞行，其动力学方程为对上式两边积分得 设气体质量排出率为，则时刻火箭的质量为 ，代入上式得 （1）当时，代入（1）式得，此时火箭的速率为将代入（1）式整理得将上式两边积分，可得后火箭飞行的高度为3-8 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量为的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平平面上。若用的恒力作用在绳索的另一端，使

16、物体向右作加速运动，当系在物体上的绳索从与水平面成变为角时，力对物体所作的功为多少？已知滑轮与水平面间的距离为.解 如图建立坐标系，由题意知，绳对物体的拉力大小恒定，方向随着绳与水平面的倾角变化而变化。由功的定义可知，力对物体所作的功的大小为 （1）又由几何关系可知， 代入（1）式，积分元从到积分得3-9 一人从深的井中提水，起始桶中装有的水，由于水桶漏水，每升高要漏去的水。水桶被匀速地从井中提到井口，求人作的功。解 由题意可知，水桶被匀速提升，即水桶所受的拉力与重力始终平衡，且拉力大小随重力变化不断变化，方向竖直向上。 如图，以水桶起始位置为坐标原点，竖直向上为轴正方向建立坐标系，则水桶重力

17、的大小随其位置变化的关系式为为水桶初始质量，由前面分析可知，水桶所受的拉力大小为 方向沿轴正方向，所以人对水桶的拉力做功为 3-10 一质量为的球，系在长为的细绳上，细绳的另一端系在天花板上。把小球移至使细绳与竖直方向成角的位置，然后由静止放开。求：（1）在绳索从到角的过程中，重力和张力所作的功；（2）物体在最低位置时的动能和速率；（3）在最低位置时的张力。解 （1）重力是保守力，其作功只与物体始、末位置有关。如图所示，小球从A点到B点在竖直方向下落的高度为所以，此过程中重力作功为又在A到B点的运动过程，绳对小球的张力始终与小球的运动方向垂直，所以张力所作的功为 （2）小球从A到B，只有重力作

18、功，由动能定理， 又在A点，小球动能为零，所以，在最低位置B处小球的动能为速率为 （3）在最低位置B处，由牛顿定律可知所以 3-11 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力，并随它们之间的距离按的规律而变化，其中为常量。试求两粒子相距为时的势能。（设力为零的地方势能为零）解 由可知，在时，设两粒子相距无穷远处为系统势能的零点。当两粒子距离发生变化时，由于排斥力的作用，系统势能会发生变化，并且排斥力所做的功等于势能增量的负值。将其中一个粒子从无穷远处移至与另一粒子相距为时，系统的势能为所以 3-12 如果一物体从高为处静止下落。试以（1）时间为自变量，（2）高度为自变量，画出它的动能和势能图线，并证

19、明两曲线中动能和势能之和相等。解 （1）以时间为变量从物体下落开始计时，时刻物体的速度为 动能为 （1）以地面上一点为原点，竖直向上为坐标轴正方向，同时取原点处为势能原点，所以时刻物体的势能为 （2）由（1）（2）两式作、图在任意时刻动能与势能之和为由上式可见，动能与势能之和为一个恒定值。（2）以高度为自变量仍取第（1）问所建立的坐标系，物体下落到处，由运动学公式，物体的速率为 动能为 （3）此时物体的势能为 （4）由（3）（4）两式作、图在任意高度处，动能与势能之和为由上式可见，动能与势能之和仍为一个恒定值。3-13 一质量为的质点，系在细绳的一端，绳的另一端固定在平面上。此质点在粗糙的水平

20、面上作半径为的圆周运动。设质点的最初速度是. 当它运动一周时，其速率为. 求：（1）摩擦力作的功；（2）动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？解 质点在水平面上作圆周运动受到指向圆心的拉力和与运动方向相反的摩擦力，但拉力方向始终垂直于质点运动方向，它对质点不作功，所以质点动能的减少是由于摩擦力对其作负功。（1）质点运动一周后，速度由减少到，由动能定理可得摩擦力作功为（2）设动摩擦因数为，质点受到的摩擦力的值为由于摩擦力方向与运动方向相反，所以根据上问结果可得，质点与水平面的动摩擦因素为（3）质点的损失的动能都用于克服摩擦力作功，由第一问可知，质点运动一圈损失动能为，那么在静止前质点可运

21、行的圈数为3-14 如图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为和. 问在A板上需加多大的压力，方可使力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为）AB（）（）（）解 如图所示，为弹簧处于自然状态，并取此时弹簧最高处为原点，为连上A板并向其施加力的情况，为施力停止后，A板跳起到最大高度时的情况。取原点为重力势能和弹性势能的零点。对于状态中 A板受到压力下移到处，设它偏离原点位移大小为，由受力平衡得 即 （1）停止施力后，A板跳起到最高点，系统处于状态，设它偏离原点位移大小为，A板受竖直向下的弹力，若要A在跳起来时B稍被提起，即此时B板所受地面对它的支持力，所以

22、有 （2）从到，由机械能守恒得将上式两边同时乘以，考虑到，并将（1）、（2）代入上式整理得所需压力的大小为 3-15 如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为，从与水平成倾角斜面上的点由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的倍，矿车下滑距离时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？解 矿车沿斜面下滑、上滑的整个过程中，受到重力、阻力、弹力和垂直于斜面的支持力的作用，其中支持力不作功，重力和弹力为保守力，阻力为非保守力，我们可以由功能原理来解题。如图，取

23、沿斜面向上为轴正方向，弹簧原长时的位置为原点，并规定原点位置为势能零点。设弹簧被压缩到最大时偏离原点的位移大小为。设矿车返回时质量为，则在整个过程中摩擦力做功为 （1）在初始时系统机械能为 （2）当矿车返回原位置时，系统的机械能为 （3）其中为被卸下的货物的重力势能。根据功能原理，在整个过程中将（1）（2）（3）代入上式有整理得 3-16 一质量为的地球卫星，沿半径为圆轨道运动，为地球的半径。已知地球的质量为. 求：（1）卫星的动能；（2）卫星的引力势能；（3）卫星的机械能。解 （1）卫星绕地球作圆周运动，其向心力由它与地球之间的万有引力提供，即其中卫星与地球间距离（即圆轨道的半径）为，代入上

24、式得卫星的动能为（2）取卫星与地球相距无限远时势能为零，根据引力作功等于引力势能增量的负值可得，在时，卫星的势能为（3）卫星的机械能为3-17 如图所示，天文观测台有一半径为的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度。解 由受力分析可知，冰块在滑行时，屋面对它的支持力总是与其运动方向垂直，即支持力对其作功为零，整个过程只有重力作功，冰块，屋面和地球组成的系统满足机械能守恒。设冰块从顶点滑到处，由机械能守恒得 （1）在处，冰块在径向方向的动力学方程为 （2）若此时冰块刚好离开屋面，即，代入上式并联合（1）式可得 代入（2）

25、式得此时冰块的速率为其方向与水平方向所成夹角为 3-18 如图所示，把质量的小球放在位置A时，使弹簧被压缩. 然后在弹簧弹性力的作用下，小球从位置由静止被释放，小球沿轨道运动。小球与轨道间的摩擦不计。已知是半径半圆弧，相距为求弹簧劲度系数的最小值解 要使小球能沿轨道运动，即要求小球运动到最高点时，轨道对小球的支持力为，即 （1）又小球在被释放后的运动中，只有重力与弹力对其作功，小球与弹簧组成的系统满足机械能守恒定律。取位置为重力势能零点，由机械能守恒可知小球从运动到有 （2） 由（1）、（2）可得 代入已知数据可得，所需弹簧劲度系数的最小值为 3-19 如图所示，质量为、速度为的钢球，射向质量

26、为的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动。求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。解 由题意分析可知，子弹与靶相碰后，靶受弹力向前加速运动，子弹仍向前减速运动，当两者达到相同的速度时，弹簧压缩达到最大长度. 取子弹与靶为一个系统，它在水平方向不受外力作用，由动量守恒 （1）又由机械能守恒有 （2）由（1）（2）可知弹簧最大压缩距离为 3-20 质量为的弹丸A，穿过摆锤B后，速率由减少到，已知摆锤的质量为，摆线长度为，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？解 取弹丸和摆锤为系统，二者在相互作用中冲击力的冲量远大于重力与绳中张力的冲量，在水平方向上满足动量守恒定律，即 （1）其中为摆锤所获得的速率。要使摆锤能完成一个完全的圆周运动，则摆锤运动到最高点时，它所受到的张力满足，在最高点处有 （2）摆锤获得速率后，从最低点运动到最高点，由机械能守恒有 （3）由（1）（2）（3）式可得弹丸速度的最小值为3-21 质量为 ，速率为的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生二维完全弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为.求（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的偏角；（2）粒子A的偏角。解 由题意可知，两粒子在碰撞过程中不受外力作用，并且