积分第二中值定理的应用及中间点的渐近性

1、关于积分第二中值定理的探讨范喜红 指导老师：朱福国(河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000)摘要本文以实例的形式，列举了积分笫二中值定理在判别无界函数积分收敛, 解决与极限冇关的问题，证明积分的不等式和等式等方面的应川.并讨论了减弱条 件的积分第二屮值定理“屮间点”的渐近性态.关键词 积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态 中图分类号0172.2on the integral of the second mean value theoremfan xihong instructor zhu fuguo(school of mathematics and statistics, hexi

2、university, zhangye, gansu, 734000)abstract: in this paper, as an instance of, the second lists the integral mean value theorem in identifying the convergence points of unbounded functions, solve problems of the limit, prove integral inequalities and equations in such applications.and discussed the

3、weakened condition of the second integral mean value theorem "middle point11 of the progressive state.keywords: the second integral mean value theorem;application;mid-point;asymptotic behavior1 引言晶第二中值定理是数学分析的基木定理,在判别无界函数积分收敛、证明 定积分的不等式、解决与极限冇关的问题等方而冇广泛应用为加深积分第二屮 值定理的理解初步探讨了 “中间点”的渐近性态.2积分第二中值定

4、理定理11如果/(x),g(x)是d问上的可积函数，且g(%)在a问单调，则至少存在一点a,b使得f / (兀)g (兀宓=g f / (必 + g (b) £ f (x)rfx3积分第二中值定理的应用3.1无界函数积分收敛的判别法.例1阿贝尔判别法弘 设/在x = q冇奇点，£ f(x)dx收敛，其中h>a, g(x)单调有界，那么积分f f (x)g (x)dx收敛.证明 依假设，利用第二积分屮值定理，在任何a,au(d,b)上,存在歹使(a)£/ (兀肚+ g (a)f(x)dx，又因为f / (兀肚收敛，所以对任意的£>0 ,存在满足

5、0 5 <b-a，且a , a匕仏q + z；)时，有£/(x)jx <£ ,f(x)dx <£ .因为g(x)冇界，不妨设|g(x)|<l ,所以冇当a, a'w(a,d + )时，f(x)g(x)必5 g(a)打(兀肚 + g(a) f(x)dx 勻g(a)卜+|g(a)卜 f f(x)dx<2lc.由柯西积分原理得，兀)g(兀收敛.3.2与极限冇关的问题.例2设嚣：；，试计算怒j>)甞如>0).解取 = minl,则/在0,叭上递减，由积分第二中值定理有=/(0)/(小警必= /(o)fx=f号°(

6、0<歹</)因此怙彷血加必二严也/3.3证明积分不等式和等式.例3 设/(x)在%上连续，且单调增加，证明：证明因为(讣晋打(讣所以a+hyxf(x)dx(a + b、xi 2丿dxa + b'x2 )dx“-了乎也-。)"宁打(兀肚例4设方q0,&0,证明：3|<1,使得 f严sin x .2歹 x =xae6x证明 令/(x) = , g (兀)=sin兀,则g (兀)在d,/"上连续，又x广二-上笋严*0,所以/在s，列上严格单调减少，但非负.于是，由积x分第二中值定理知,咖诃,使得一 0jv ox( 512 = .f (a) f &

7、amp;(兀炖= -(cos& -cos”),y sinx令叮必，则有#|<1,且v兰d"手4积分第二中值定理中间点的渐近性态定理2同 设函数/在g,列上连续且不变号，/)ho, g在d,列上单调且连续,g%)存在，且 ga) = g"(a)二二 g(t(a) =0, g%) 0(n>l),则对于(1)中的§有1db-a n + 定理2的条件还是稍强了一些,实际上这个定理的条件还可以减弱下面给 出定理2条件减弱的“屮值点”的渐进性定理：定理3 设函数/在诃上连续且不变号，且fho, g(jc)在a问上单调,gj存在,g'(a) = g3

8、=g(”)=0, g%)ho,则对于式中的恤71b" b-a /t+ 1证明由题设可得jf(x)dx0由f(x)在a,b上连续，则有i f (x)dx- a), 7jea,b.由 gj(d)存在，ga) = ga) = g(na) =0,g%)h0,容易证明(2)hmgg)-g(q)二 g；"w) b_>a+(b_d)“n!limbia'f/(x)g(x)dxg(d)f/(xmf-川+1 f zx=limb>d°f(b)g(b)-f(a)g(a)(h4-l)£/(x)rfx f(b)lim血)5) j(n + l)/() (b-a)n

9、二 g；%)一 5 + 1)!/«)"另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式(2),我们有limf f(x)g(x)dx -g(a) £ f(x)dxf(x)dxlimg(°) £ f(x)dx + g(b) f f(x)dx - g(o) f f zxf (x)dxg(b) g(d) (f(x)dxzt + 1lim*的一巩")f e 皿(b-a)"/(2)e ba(4)型14n!/(a)w 2 b-a其中rjx72 ea,b.由式(3)和式(4)即得lim =丄.b-a n+l比较定理2和定理3可以看出，定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果 相同.致谢 衷心感谢朱福国老师的悉心指导！参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(上册)m.北京:高等教育出版社,2001. 223-224.2 朱碧，王磊.积分第二中值定理的一些推广及其