2022年全国中考数学压轴题讲解

1、学习必备欢迎下载2006 年全国中考数学压轴题全解全析1、 （河北卷）如图，在rtabc 中， c90， ac 12，bc 16，动点 p 从点 a 出发沿 ac 边向点 c以每秒 3 个单位长的速度运动，动点q 从点 c 出发沿 cb 边向点 b 以每秒 4 个单位长的速度运动 p，q分别从点 a，c 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，pcq 关于直线 pq 对称的图形是pdq设运动时间为t（秒） （1）设四边形pcqd 的面积为y，求 y 与 t 的函数关系式；（2） t 为何值时，四边形pqba 是梯形？（3）是否存在时刻t，使得 pdab？若存在，求出t

2、 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得 pdab？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1t2；2 t3；3t4） ；若不存在，请简要说明理由解 （1）由题意知cq4t， pc123t，spcq =ttcqpc246212 pcq 与 pdq 关于直线pq 对称，y=2spcqtt48122（2）当cqcpcacb时，有 pqab，而 ap 与 bq 不平行，这时四边形pqba 是梯形，ca=12， cb=16，cq4t， cp123t， 16412312tt，解得 t2当 t2 秒时，四边形pqba 是梯形（3）设存在时刻t，

3、使得 pdab，延长 pd 交 bc 于点 m，如图 2，若 pdab，则 qmd =b，又 qdm =c=90，rtqmd rt abc，从而acqdabqm， qd=cq=4t，ac12，ab=22121620，qm=203t 若 pdab，则cpcmcacb，得20412331216ttt，解得 t1211当 t1211秒时， pd ab（4）存在时刻t，使得 pd ab时间段为： 2 t3点评 这是一道非常典型的动态几何问题，考查相似形、 图形变换等知识，难度比起 2005 年河北非课改区的那道压轴题略有降低，但仍保留了足够的区分度，在解第3 小题时应当先假设结论存在，再根据已知求解，

4、若出现矛盾，则说明结论不存在，第4 小题应该通过画图来判断时间段。2、 （河北课改卷）图1 至图 7 的正方形霓虹灯广告牌abcd 都是 2020 的等距网格（每个小方格的边长均为1 个单位长） ，其对称中心为点o如图 1，有一个边长为6 个单位长的正方形efgh 的对称中心也是点o，它以每秒1 个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点 o 不动，正方形efgh 经过一秒由6 6 扩大为 8 8；再经过一秒，由8 8 扩大为 10 10； ） ，直到充满正方形abcd ，再以同样的速度逐a p c q b d 图 2 a p c q b d m 精品学习资料 可选择p d f - - - - -

5、 - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载图 7 e c b ad f g h m q n o p 步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小另有一个边长为6 个单位长的正方形 mnpq 从如图 1 所示的位置开始，以每秒1 个单位长的速度，沿正方形abcd 的内侧边缘按ab cda 移动（ 即正方形 mnpq 从点 p与点 a 重合位置开始，先向左平移，当点q 与点 b重合时，再向上平移，当点 m 与点 c 重合时， 再向右平移， 当点 n 与点 d重合时， 再向下平移， 到达起始位置后仍继续按上述方式

6、移动 ） 正方形 efgh 和正方形mnpq 从如图1 的位置同时开始运动，设运动时间为x 秒，它们的重叠部分面积为y 个平方单位（1）请你在图2 和图 3 中分别画出x 为 2 秒、 18 秒时，正方形efgh 和正方形mnpq 的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；（2）如图4，当 1x3.5 时，求 y 与 x 的函数关系式；如图 5，当 3.5x7 时，求 y 与 x 的函数关系式；如图 6，当 7x10.5 时，求 y 与 x 的函数关系式；如图 7，当 10.5x 13 时，求 y 与 x 的函数关系式（3）对于正方形 mnpq 在正方形 abcd 各边

7、上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y 的变化情况，指出 y 取得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少解 （1）相应的图形如图2-1，2-2当 x=2 时， y=3；当 x=18 时， y=18图 6 e c b ad f g h m q n o p 图 2 图 3 c b ad o c b ad o 图 4 e c b ad f g h m q n o p 图 1 e c b a(p) d f g h m q n o 图 5 e c b ad f g h m q n o p e c d h o e c d h o e c d h o s 图 2-3 e

8、c b ad f g h m q n o p k s t 图 2-2 e c b ad f g hm q n o p 图 2-1 e c b ad q o p 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）当 1x3.5 时，如图 2-3，延长 mn 交 ad 于 k，设 mn 与 hg 交于 s，mq 与 fg 交于 t，则 mk=6x，sk=tq=7x，从而 ms=mk sk=2x1，mt=mq tq=6（ 7x）= x 1y=mt ms=（ x1） （2x1）=2x

9、23x1当 3.5x7 时，如图2-4，设 fg 与 mq 交于 t，则tq=7x， mt=mqtq=6（ 7x） =x1y=mn mt=6（x1）=6x6当 7x10.5 时，如图2-5，设 fg 与 mq 交于 t，则tq=x 7， mt=mqtq=6（ x7） =13xy= mn mt =6（13x）=786x当 10.5 x13 时，如图 2-6，设 mn 与 ef 交于 s，np 交 fg 于 r，延长 nm 交 bc 于 k，则mk=14x，sk=rp=x 7，sm=skmk= 2x21，从而 sn=mnsm=272x，nr=np rp=13xy=nr sn=（13x） （ 272

10、x）=2x253x351（3）对于正方形mnpq ，在 ab 边上移动时，当0 x1 及 13x14 时， y 取得最小值 0；当 x=7 时， y 取得最大值36在 bc 边上移动时，当14x15 及 27 x28 时， y 取得最小值0；当 x=21 时， y 取得最大值36在 cd 边上移动时，当28x 29 及 41x42 时， y 取得最小值0；当 x=35 时， y 取得最大值36在 da 边上移动时，当42x 43 及 55x56 时， y 取得最小值0；当 x=49 时， y 取得最大值36点评 2006 年河北课改卷的压轴题也是一道动态问题，但相比非课改卷出得更加新颖别致，本

11、题的图型运动情况比较复杂，应当先仔细阅读待读懂题意后在下笔。另外，在解第3 小题时要充分利用前2 小题的结论，是一道很好的压轴题。3、 （河南卷） 二次函数218yx的图象如图所示，过y轴上一点0 2m，的直线与抛物线交于a，b两点，过点a，b分别作y轴的垂线，垂足分别为c，d（1）当点a的横坐标为2时，求点b的坐标；（2）在（ 1）的情况下，分别过点a，b作aex轴于e，bfx轴于f，在ef上是否存在点p，使apb为直角若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点a在抛物线上运动时（点a与点o不重合），求ac bd的值解 （1）根据题意，设点b的坐标为218xx，其中0 xydbm

12、acox精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载点a的横坐标为2，122a，acy轴，bdy轴，0 2m，acbd，32mc，2128mdxr tr tb d ma c mbdmdacmc即2128322xx解得12x（舍去），28x8 8b，（2）存在连结ap，bp由（ 1） ，12ae，8bf，10ef设epa，则10pfaaex轴，bfx轴，90apb，aeppfba ee pp fb f12108aa解得521a经检验521a均为原方程的解点p的坐标为321 0，

13、或3210，（3）根据题意，设218a mm，218bnn，不妨设0m，0n由（ 1）知bdmdacmc，则22128128nnmm或22128128nnmm化简，得160mnmn0mn，16mn16ac bd点评 此题是一道以二次函数为蓝图的综合题，涉及面较广，第1 小题较常规，第2 小题是结论存在性问题，第 3 小题有一定的难度，需学生熟练地综合运用代数几何知识进行求解。4、 （黑龙江卷）如图，在平面直角坐标系中，点a、b 分别在 x轴、 y 轴上，线段oa、ob 的长 (oaob) 是关于 x 的方程222620 xmxm的两个实数根，c 是线段 ab 的中点， oc=3 5，点 d 在

14、线段oc 上， od=2cd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（1）求 oa、ob 的长；（2）求直线ad 的解析式；（3） p 是直线 ad 上的点，在平面内是否存在点q，使以 o、a、p、q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点q 的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）由题意知，oa+ob=2m+6,oa ob=2m又 ab=2oc=6 5，ab2=oa2+ob2=（oa+ob）2-2oaob，可求 m=6 oa=6，ob=12 (2)作 cex 轴于点

15、e，dfx 轴于点 foe=12oa=3，ce=12ob=6 又 df ce，23odoc，得 of=2，df=4 点 d 的坐标为 (2，4) 设直线 ad 的解析式为y = kx + b把 a(6，0)，d(2，4)代人得6024kbkb解得16kb 直线 ad 的解析式为y = - x + 6 (3)存在q1(- 32，32) q2(32，- 3 2) q3(3，- 3) q4(6，6) 点评 本题是一道涉及函数、方程、几何知识的综合题，总体难度不大，第3 小题较易漏解，解题时要小心些。5、 （湖北黄冈卷）如图， 在平面直角坐标系中，四边形oabc为矩形，动点mn，分别从点ob，同时出发

16、， 以每秒 1 个单位的速度运动，沿bc向终点c运动，过点n作npbc，交ac于点p，连结（1）p点的坐标为（，） （用含t的代数式表示）（2）记mpa的面积为s，求s与t的函数关系式(04)t（3）当t秒时，s有最大值，最大值是（4）若点q在y轴上，当s有最大值且qan为等腰三角形时，求直线aq的解析式解 （1）344tt，（2）在mpa中，4mat，ma边上的高为34t，13(4)24mpasstt即233(04)82sttt（3）322，（4）由（ 3）知，当s有最大值时，2t，此时n在bc的中点处，如下图设(0)qy，则222224aqoaoqy，o m (4 0)a，x y c n

17、p (4 3)b，ycompn(4 3)b，(4 0)a，xq精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载222222(3)qncncqy，2222232anabbn. qan为等腰三角形，若aqan，则2222432y，此时方程无解若aqqn，即222242(3)yy，解得12y若qnan，即22222(3)32y，解得1206yy，11(0)2q，-，2(0 0)q，3(0 6)q，当q为1(0)2，时，设直线aq的解析式为12ykx，将(4 0)a，代入得114028k

18、k，直线aq的解析式为1182yx当q为(0 0)，时，(4 0)a，(0 0)q ，均在x轴上，直线aq的解析式为0y（或直线为x轴） 当q为(0 6)，时，qna， ，在同一直线上，anq不存在，舍去故直线aq的解析式为1182yx，或0y点评 今年的黄冈市数学压轴题非常经典，有一定的难度，试题的图形看似比较平凡，好像没有什么创意，但仔细读题，你会发现本题的4 个小问都问得很好，尤其是第4 小问，这4 个小题环环相扣，一气呵成，此题着重考查了函数最值、等腰三角形等知识，同时又是一个动态问题、又要进行分类讨论，可见命题者之用心良苦。6、 （湖北咸宁卷）如图，oabc是一张放在平面直角坐标系中

19、的矩形纸片，o为原点，点a在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，53oaoc，（1）在ab边上取一点d，将纸片沿od翻折，使点a落在bc边上的点e处，求点d，e的坐标；（2）若过点de，的抛物线与x轴相交于点( 5 0)f，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（ 2）中的抛物线与y轴交于点h，在抛物线上是否存在点p，使pfh的内心在坐标轴上？若存在，求出点p的坐标，若不存在，请说明理由（4）若（ 2）中的抛物线与y轴相交于点h，点q在线段od上移动，作直线hq，当点q移动到什么位置时，od，两点到直线hq的距离之和最大？请直接写出此时点q的坐标及直线hq的解析式解 解法一：（1）依题意，5

20、oeoa，在rtoce中，2222225344ceoeocce，bcaodfeyx3 5精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载9090oedoadceobed， 而90ceocoecoebed， ，rtrtceobdebdcebeco，4543bd，4453333bdadabbd，点de，的坐标分别为554 33， ，解法二：（上同解法一）4ce设点d的坐标为5y，则3541addeybdybe，在rtbed中，222edebbd，22213yy，解得53y，点de，的

21、坐标分别为554 33， ， ，（2）设抛物线的解析式为2yaxbxc，抛物线过点554 35 03def， ， ，5255316432550abcabcabc解得16165abc抛物线的解析式为211566yxx对称轴的方程为11612226bxa（或用配方法：222111111215306666224yxxxxx对称轴的方程为12x（3）存在这样的p点，使pfh的内心在坐标轴上解法一：若pfh的内心在y轴上，设直线ph与x轴相交于点m，fhomhohofm，f om o，点m的坐标为5 0，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，

22、共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载直线ph的解析式为5yx解方程组2511566yxyxx得1105xy，2272xy点p的坐标为72，若pfh的内心在x轴上，设直线pf与y轴相交于点n，hfonfofohn，h on o，点n的坐标为05，直线fn的解析式为5yx解方程组2511566yxyxx得1150 xy，221217xy点p的坐标为1217，综合可知点p的坐标为72，或1217，解法二：当pfh的内心在y轴上时，设p的坐标为211566xxx，45fhopho，过p作pmy轴于m，hmpm2115566xxx，1207xx，点p的坐标为72，当pfh的内

23、心在x轴上时，设p的坐标为211566xxx，45hfopfo，过p作pnx轴于n，fnpn2115566xxx，27600 xx，12125xx，点p的坐标为1217，综合可知，点p的坐标为72，或1217，（4）点q的坐标为3 12 2，；直线hq的解析式为35yx提示 ：根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短” 可知，当直线hqod时，od，两点到直线hq的距离之和最大，此时点q为垂足利用三角形相似可求得点q的坐标点评 此题是一道难得的好题，第1、2 小题是常规题，有一定基础的学生均能较轻松的搞定，第3 小题是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

24、- - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载结论存在性问题，又需分类讨论，较容易漏解，第4 小题可能比较难，具体解题思路可参考提示。7、 （湖北宜昌课改卷）如图，点o 是坐标原点，点a（n，0）是 x 轴上一动点 (n0）以 ao 为一边作矩形aobc，点 c 在第二象限，且ob2oa矩形 aobc 绕点 a 逆时针旋转90o得矩形 agde过点 a 的直线ykxm 交 y 轴于点 f，fbfa抛物线 y=ax2+bx+c 过点 e、f、g 且和直线af 交于点 h，过点 h 作hm x 轴，垂足为点m（1）求 k 的值；（2）点 a

25、 位置改变时， amh 的面积和矩形aobc 的面积的比值是否改变？说明你的理由解 （1）根据题意得到：e（3n，0） ，g（ n， n）当 x0 时， ykxmm，点 f 坐标为（ 0，m）rtaof中， af2 m2n2， fbaf，m2n2(-2nm)2，化简得： m 0.75n，对于 ykxm，当 xn 时，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）抛物线y=ax2+bx+c 过点 e、f、g，ccnbanncnban75. 039022解得： an41，b21，c 0.75n 抛物线为y=n41x221x0.75n 解方程组：nxynxxny75. 075. 075.021412得：

26、 x15n，y13n；x20，y2 0.75n h 坐标是：（5n，3n） ，hm 3n，am n5n 4n， amh 的面积 0.5 hm am 6n2；而矩形 aobc 的面积 2n2， amh 的面积矩形aobc 的面积 3:1，不随着点a 的位置的改变而改变点评 本题是比较传统的二次函数型综合题，第2 小题是一个很典型的定值问题，考察学生的探究能力。8、 （湖北湛江课改卷）已知抛物线22yaxbx与x轴相交于点1(0)a x，2(0)b x ，12()xx，且12xx，是方程2230 xx的两个实数根，点c为抛物线与y轴的交点（1）求ab，的值；（2）分别求出直线ac和bc的解析式；（

27、3）若动直线(02)ymm与线段acbc，分别相交于de，两点，则在x轴上是否存在点p，使得dep为等腰直角三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由解 （1）由2230 xx，得1213xx，( 1 0)(3 0)ab，把ab，两点的坐标分别代入yxomhgfedcba211 2 3 4 3 2 1 xy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载22yaxbx联立求解，得2433ab，（2）由（ 1）可得224233yxx，当0 x时，2y，(0 2)c，设acy

28、kxb:，把a c，两点坐标分别代入ykxb，联立求得22kb，直线ac的解析式为22yx同理可求得直线bc的解析式是223yx（3）假设存在满足条件的点p，并设直线ym与y轴的交点为(0)fm，当de为腰时，分别过点de，作1dpx轴于1p，作2epx轴于2p，如图，则1pde和2p ed都是等腰直角三角形，12dedpfoepm，214abxxdeab，cdecab，decfaboc，即242mm解得43m点d的纵坐标是43，点d在直线ac上，4223x，解得13x，1 43 3d，1103p，同理可求2(10)p，当de为底边时，过de的中点g作3gpx轴于点3p，如图，则3dgeggp

29、m，由cdecab，得decfaboc，即2242mm，解得1m同 1 方法求得131122de， ，31dgeggp312o pf gf ee g，3102p，结合图形可知，2223324p dp eed，22233edp dp e，3dep是rt，3102p，也满足条件综上所述，满足条件的点p共有 3 个，即123110(1 0)022ppp， ，o xyd (0 2)c，e f 1p2p(3 0)b ，( 10)a，ymo xyd (0 2)c，e f 2p(3 0)b ，( 1 0)a，ymg 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

30、10 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载点评 本题综合性较强，第1、2 小题不难，第3 小题则结合几何知识，有一定的难度，解题时要注意不要漏解，看到“等腰”二字的第一反应就是要有三种情况，再根据实际情况进行取舍。9、 （湖南长沙卷）如图1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于ab，两点（1）求ab，两点的坐标；（2）求线段ab的垂直平分线的解析式；（3）如图 2，取与线段ab等长的一根橡皮筋，端点分别固定在ab，两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖p在直线ab上方的抛物线上移动，动点p将与ab，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在

31、，求出最大面积，并指出此时p点的坐标；如果不存在，请简要说明理由解 （1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy(63)( 4 2)ab，（2）作ab的垂直平分线交x轴，y轴于cd，两点，交ab于m（如图 1）由（ 1）可知：3 52 5oaob5 5ab1522omabob过b作bex轴，e为垂足由beoocm，得：54ocomocoboe，同理：55500242odcd， ，设cd的解析式为(0)ykxb k52045522kkbbbyxoyxop a 图 2 图 1 bbayxo图 1 d m a c b 第 26 题精品学习资料 可选择p d f - - - -

32、 - - - - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载ab的垂直平分线的解析式为：522yx（ 3）若存在点p使apb的面积最大，则点p在与直线ab平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于gh，两点（如图2） 212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mp，在直线12524ghyx：中，25250024gh， ，2554gh设o到gh的距离为d，1122125 51252524224552gh dog ohddabgh，p到ab的距离

33、等于o到gh的距离d点评 这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3 小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。10、 （湖南常德卷）把两块全等的直角三角形abc和def叠放在一起，使三角板def的锐角顶点d与三角板abc的斜边中点o重合，其中90abcdef，45cf，4abde，把三角板abc固定不动，让三角板def绕点o旋转，设射线de与射线ab相交于点p，射线df与线段bc相交于点q（ 1 ） 如 图1， 当 射 线df经 过 点b， 即 点q与 点b重 合 时 ， 易 证apdcdq 此 时 ，ap cq（2）将三角板def由图 1

34、所示的位置绕点o沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中090，问ap cq的值是否改变？说明你的理由yxop a 图 2 h g b 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（3）在（ 2）的条件下，设cqx，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式 （图 2，图 3 供解题用）解 （1）8 （2）ap cq的值不会改变理由如下：在apd与cdq中，45ac1 8 04 5( 4 5)a p daa9 0c d qa即apdcdqapdcdqapcdadcq22182a

35、p c qa d c da da c（3）情形 1：当045a时，24cq，即24x，此时两三角板重叠部分为四边形dpbq，过d作dgap于g，dnbc于n，2d gd n由（ 2）知：8ap cq得8apx于是111222yab accq dnap dg88(24)xxx情形 2：当4590a时，02cq 时，即02x，此时两三角板重叠部分为dmq，由于8apx，84pbx，易证：pbmdnm，b mp bm nd n即22bmpbbm解得28424pbxbmpbx84444xmqbmcqxx于是1844(02)24xymq dnxxx综上所述，当24x时，88yxx() () () b(q

36、) cfeap图 1 图 2 图 3 （）（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当02x时，8444xyxx2484yxxx或法二：连结bd，并过d作dnbc于点n，在dbq与mcd中，45dbqmcd45dqbqcbqdcqdcmdqqdcmdcdbqmcdm cd bc db q即242 2mcx84mcx284844xxmqmccdxxx2148(02)24xxydn mqxx法三：过d作dnbc于点n，在rtdnq中，222d qd nn q24( 2)x

37、248xx于是在bdq与dmq中45dbqmdqdmqdbmbdm45bdmbdqbdqdmqb qd qd qm q即4xdqdqmq224844dqxxmqxx2148( 02 )24xxydn mqxx点评 这是一道几何操作问题，有一定的难度，第1、2 小题是定值问题的探索，体现了从一般到特殊的数学思想方法，第3 小题则需根据图形在运动过程中的位置变化分类讨论，分别建立函数表达式。11、 （湖南郴州卷）已知抛物线2yaxbxc经过5 3( 3 3)02pe，及原点(0 0)o，（1）求抛物线的解析式（2）过p点作平行于x轴的直线pc交y轴于c点，在抛物线对称轴右侧且位于直线pc下方的抛物

38、线上，任取一点q，过点q作直线qa平行于y轴交x轴于a点，交直线pc于b点，直线qa与直线pc及两坐标轴围成矩形oabc（如图）是否存在点q，使得opc与pqb相似？若存在，求出q点的坐标；若不存在，请说明理由（ 3 ） 如 果 符 合 （ 2 ） 中 的q点 在x轴 的 上 方 ， 连 结oq， 矩 形o ab c内 的 四 个 三 角 形y 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载opcpqboqpoqa，之间存在怎样的关系？为什么？解 （1）由已知可得：33375

39、5 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（ 2 ） 存 在 设q点 的 坐 标 为()mn， 则225333nmm， 要 使o c pp bq， 则 有3333nm，即225 3333333mmm，解之得，122 32mm，当13m时，2n，即为p点，所以得(23 2)q，要使ocpqpb，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，123 33mm，当3m时，即为p点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)q，故存在两个q点使得ocp与pbq相似q点的坐标为(23 2) (3 33)，（3）在rtocp中，因为3tan

40、3cpcopoc所以30cop当q点的坐标为(23 2)，时，30bpqcop 所以90opqocpbqao因此，opcpqbopqoaq，都是直角三角形又在rtoaq中，因为3tan3qaqoaao所以30qoa即有30poqqoaqpbcop所以opcpqboqpoqa，又因为qpopqaoa，30poqaoq，所以oqaoqp精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载点评 本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第3 题的关键在于通过观察得出对结果的合理猜

41、想在进行证明，难度应该不会很大。12、 （湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线232 3333yxx的图象与x轴分别交于ab，两点，与y轴交于c点，m经过原点o及点ac，点d是劣弧oa上一动点（d点与ao，不重合）（1）求抛物线的顶点e的坐标；（2）求m的面积；（3）连cd交ao于点f，延长cd至g，使2fg，试探究当点d运动到何处时，直线ga与m相切，并请说明理由解 （1）抛物线232 3333yxx23321333xx234 3133xe的坐标为4 313，（说明：用公式求e点的坐标亦可） （2）连ac；m过90aocaoc，ac为o的直径而33oaoc，32acr23msr（3）当点d运动到o

42、a的中点时，直线ga与m相切理由：在rtaco中，33oaoc，3tan33aco6030acocao，点d是oa的中点a dd o30acgdcotan301ofoc，60cfo在gaf中，22affg，60afgcfoa g f为等边三角形60gaf90caggafcao又ac为直径，当d为oa的中点时，ga为m的切线点评 本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3 小问时可以先自己作图来确定d 点的位置。13、 （湖南永州卷）如图，以o为圆心的两个同心圆中，大圆的直径ad交小圆于mn，两点，大圆的弦yecmafgdoxbyecmafgdoxb精品学习

43、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载ab切小圆于点c，过点c作直线cead，垂足为e，交大圆于fh，两点（1）试判断线段ac与bc的大小关系，并说明理由（2）求证：fc chae ao（3）若fcch，是方程22 540 xx的两根（chcf） ，求图中阴影部分图形的周长解 （1）相等连结oc，则coab，故acbc（2）由achfcb，得2ac cbfc chac，又由aceaoc，得2acae aofc chae ao（3）解方程得：51ch，51cf，5(51)1ce

44、，242acac，在rtace中，1sin2ceaac，30a，60120aoccon，在aco中，32tan2333coaca，4 3sin 603acao，4 32 32 3333amaoom，弧cn长14 3239，2 32 3222 333anamoc，阴影部分周长4 322 39acancn点评 本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。14、 （湖南张家界卷）在平面直角坐标系内有两点2 0a，102b，cb所在直线为2yxb，（1）求b与c的坐标（2）连结ac，求证：aoccob（3）求过a，b，c三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式（4）在抛物线上是否存

45、在一点p（不与c重合），使得abpabcss，若存在，请求出p点坐标，若不存在，请说明理由解 （1）以102b，代入2yxb1202b得：1b则有(01)c，（2）ocab12obococoaaoccod（3）设抛物线的解析式为2yaxbxc，以三点的坐标代入解析式得方程组：a b c d e o n h m f y1aob 1xc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载221101223( 2)( 2)0211abcaabcbcc所以2312yxx（4）假设存在点()

46、p xy，依题意有1| |211|2abpabcabyssaboc，得：| | 1yoc当1y时，有23112xx即23202xx解得：1 23414x，当1y时，有23112xx，即2302xx解得：30 x（舍去），432x存在满足条件的点p，它的坐标为：3341341111244， ，点评 此题综合性较强，4 个小题的坡度设置较好，区分度也把握地很好，是道考查学生初中三年学习成果的好题，第4 小题中不要忘了绝对值，否则会导致少解。15、（吉林课改卷） 如图，正方形abcd的边长为2cm， 在对称中心o处有一钉子 动点p，q同时从点a出发，点p沿abc方向以每秒2cm的速度运动， 到点c停

47、止，点q沿ad方向以每秒1cm的速度运动，到点d停止p，q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当01x时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时poq的变化范围；（4）当02x时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象解 （1）当01x时，2apx，aqx，212yaq apx，即2yx（2）当12abcdabpqss正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22bpx，aqx，211222222xx，43xb c p o d q a b p c o d

48、 q a y321o12x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（3）当413x时，2ab，22pbx，aqx，2223222aqbpxxyabx，即32yx作oeab，e为垂足当423x时，22bpx，aqx，1oe，beopoeaqyss梯形梯形12211122xx32x，即32yx90180poq或180270poq（4）如图所示：点评 本题是一道颇有创新的动态问题，主要考查函数和几何知识，读懂和领悟题意是关键，综观近几年的重考数学试题。这类题的出现频率呈上升趋

49、势，应予以关注16（吉林长春课改卷）如图，正方形abcd的顶点ab，的坐标分别为0108 4， ，顶点cd，在第一象限点p从点a出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点q从点4 0e，出发，沿x轴正方向以相同速度运动当点p到达点c时，pq，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）求正方形abcd的边长（2）当点p在ab边上运动时，opq的面积s（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求pq，两点的运动速度（3）求（ 2）中面积s（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积s取最大值时点p的坐标（4）若点pq，保持（ 2）中的速度不变，则点p沿着ab边运动时，

50、opq的大小随着时间t的增大而增大；沿着bc边运动时，opq的大小随着时间t的增大而减小当点p沿着这两边运动时，使90opq的点p有个（抛物线20yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa，321o12xy43精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解 （1）作bfy轴于f0 1 08 4ab，86fbfa，10ab（2）由图可知，点p从点a运动到点b用了 10 秒又1010101ab，pq，两点的运动速度均为每秒1 个单位（3）方法一：作pgy轴于g，则pgbf

51、g aa pf aa b，即610gat35gat3105ogt4o qt，11341 0225so qo gtt即231920105stt19195323210ba，且190103，当193t时，s有最大值此时4763311051555gptogt，点p的坐标为76 31155，方法二：当5t时，1637922ogoqsog oq， 设所求函数关系式为220satbt抛物线过点6310 2852， ，1001020286325520.2abab，31019.5ab，231920105stt19195323210ba，且190103，当193t时，s有最大值此时7631155gpog，点p的坐

52、标为76 31155，（4）2点评 本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题图ydacpboeqx图o10t2028s精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。17、 （山东青岛课改卷）如图，有两个形状完全相同的直角三角形abc 和 efg 叠放在一起（点a 与点e 重合） ，已知 ac 8cm，bc 6cm， c90，eg4cm， egf90， o 是 efg 斜边上的中点如图，

53、若整个efg 从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线ab 方向平移，在efg 平移的同时，点p 从 efg 的顶点 g 出发，以1cm/s 的速度在直角边gf 上向点 f 运动，当点p 到达点 f 时，点 p 停止运动， efg 也随之停止平移设运动时间为x（s） ，fg 的延长线交ac 于 h，四边形oahp的面积为y（cm2)（不考虑点p 与 g、f 重合的情况）（1）当 x 为何值时， opac ? （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形oahp 面积与 abc 面积的比为1324？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由（

54、参考数据：1142 12996， 115213225，116213456 或 4.4219.36，4.5220.25，4.6221.16）解 （ 1） rtefgrtabc ，bcfgaceg，684fgfg8643cm当 p 为 fg 的中点时， opeg ，egac ，opac x 121fg2131.5（s） 当 x 为 1.5s 时， opac （2）在 rtefg 中，由勾股定理得：ef 5cmegah ，efg afh fhfgafefahegfhxah3554 ah54（ x 5） ，fh53（x5） 过点 o 作 odfp ，垂足为d 点 o 为 ef 中点，od21eg2cm

55、fp3x ，s四边形oahpsafh sofp21ah fh21odfp 2154（x5） 53（x5）212（ 3x ）256x2517x3 （0 x3）（3）假设存在某一时刻x，使得四边形oahp 面积与 abc 面积的比为1324则 s四边形oahp2413 sabc256x2517x 324132168 6x285x250 0 解得x125， x2 350（舍去）0 x3，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当 x25（s）时，四边形oahp 面积与 abc

56、 面积的比为1324点评 本题是比较常规的动态几何压轴题，第1 小题运用相似形的知识容易解决，第2 小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x 的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决。18、 （江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形abcd 中，边2ab，边1ad，且 ab、ad 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，点a 与坐标原点重合将矩形折叠，使点a 落在边 dc 上，设点a是点 a 落在边 dc 上的对应点（1）当矩形abcd 沿直线12

57、yxb折叠时（如图1） ，求点a的坐标和b 的值；（2）当矩形abcd 沿直线 ykxb 折叠时， 求点a的坐标（用k 表示）；求出 k 和 b 之间的关系式； 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图 2、3、4 所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k 的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上）k 的取值范围是； k 的取值范围是； k 的取值范围是；解 （1）如图答5，设直线12yxb 与 od 交于点 e，与 ob 交于点 f，连结a o，则oe = b，of = 2b，设点a的坐标为（ a，1）因为90doaa of，90ofea of， 所以doaofe，所以 doaofe

58、 所以dadooeof，即12abb，所以12a所以点a的坐标为（12，1） 连结a e，则a eoeb在 rtdea中，根据勾股定理有222a ea dde，即2221()(1)2bb，解得58b（ 2）如图答6，设直线 ykxb 与 od 交于点 e，与 ob 交于点 f，连结a o，则（图 4）yx( )odcba（图 3）yx( )odcba（图 2）abcdo( )xy（图 1）yx( )odcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载oe = b，bofk

59、，设点a的坐标为（ a，1） 因为90doaa of，90ofea of所以doaofe，所以 doa ofe 所以dadooeof，即1abbk，所以ak所以a点的坐标为（k，1） 连结a e，在 rtdea中，dak，1deb，a eb因为222a ea dde，所以222()(1)bkb所以212kb在图答 6 和图答 7 中求解参照给分（ 3）图 132 中：21k；图 133 中：1k23 ； 图 134 中：230k点评 这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。19、 （江西课改卷）问题背景某课外学习小组在一

60、次学习研讨中，得到如下两个命题：如图 1，在正三角形abc 中， m、n 分别是 ac、 ab 上的点，bm 与 cn 相交于点o，若 bon = 60，则 bm = cn. 如图 2，在正方形abcd 中， m、n 分别是 cd、ad 上的点， bm 与 cn 相交于点o，若 bon = 90,则 bm = cn. 然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图 3，在正五边形abcde 中，m、n 分别是 cd、 de 上的点， bm 与 cn 相交于点o，若 bon = 108，则 bm = cn. 任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：如图 4，在正