第5章线性方程组的直接法(向量和矩阵)

1、科学和工程计算科学和工程计算第5章 解线性方程组的直接方法向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数一、向量范数,nxRxx设对任意向量按一定的规则有一实数与之对应 记为若满足 1, 0 , 00; ()xx x 且当且仅当正定 2, , ()x x 为任意实数齐次3, , ()nxy xy , x yR 对任意三角不等式 xx则称为 向量 的范数TnnnxxxxCR),(,)(21设中在向量空间的范数有常用的向量 x2212nxxx2122221)(nxxx范数或欧氏范数的 2x1i11 nnixxxx范数的1x1i1max,maxni nxxxx 范数或最大范数的x可验证上面范数均满

2、足范数定义的条件。-:以范数为例1,2满足条件显然。,(1, )niix yRx y in 由于为向量，而其分量为实数，故有1maxiii nxyxy 1maxiii nxy 11 maxmaxiii ni nxyxy pxppnppxxx121)(1,ppx范数的2x和1x显然显然时的特例和在是21ppxp (1, 2,3)Tx 例：计算向量的各种范数。12 6,3,14.xxx解：1121)( ,)pppTpnnppXXXXXxxpXX 记（其中试证：当时，inix1maxppnppxxx121)(ppinixn11)max(inipxn11max)(max1pxinix所以的特例也是px

3、12xxx且,0, nRm Mnxm xxM x如果中两个范数和，存在实数，使得对任意 维向量都有 ， 则称这两个范数是等价的。对两个等价范数而言，同一向量序列有相同的极限。 12不难证明， 范数，范数和 范数是等价的。22212211 max.max.ini njii nxxxxxxxxx 例： 设22212222 njxxxxxxnnxxxn则 2范数和 范数等价。 如不作说明，今后是指任意一种向量范数。二、矩阵的范数二、矩阵的范数nAAA定义：对任意 阶方阵 ，按一定的规则由一实数与之对应，记为。若满足1, 0 , 00; ()AA A 且当且仅当正定 2, , ()A A 为任意实数齐

4、次 3, , ()AB AB , A Bn 对任意两个 阶方阵三角4 ABAB，（相容性条件）AA则称为矩阵 的范数。nAnR定理：设 为 阶方阵， 是中的向量范数，则maxxAxAx 是一种矩阵范数，称其为由向量范数诱导出的矩阵范数。()ijAanxn证：设为任意 阶方阵， 为任意 维非零向量。 AxxAxx因为1xx为范数是 的单位向量，故1 maxmaxxxAxAAxx1 10.0,max0.xAAAAx，显然若则00 0.AAxAxA反之，若1112 maxmax max.xxxAAxAxAxA ，111113, max ()max max()maxmax .xxxxxnABABAB

5、xAxBxAxBxAxBxAB对任意两个 阶方阵 和 ，11114 . max ()max() maxmax xxxxnxAxAAxA xxABAB xA BxA BxA B xA B，对任意 维非零向量 ,有 即 故有5 nxAxA x，对任意 维向量 ，都有。这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。可由三种常用的向量范数诱导出矩阵范数。矩阵范数例矩阵范数例 与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数：与前述三种向量范数相容的三种矩阵范数：211221max , ()TxijAAxA AAan其中是的最大特征值。又称为谱范数。 设为 阶方阵。111111maxmax , 1nijxj niAAxa

6、 为矩阵的列向量的 范数的最大值称为矩阵的列范数。111maxmax , 1nijxi njAAxa 为矩阵的行向量的 范数的最大值称为矩阵的行范数。求矩阵求矩阵A A的各种常用范数的各种常用范数110121021A解解: :1Aniijnja11max25234252 ,5 ,2max1njAnjijnia11max42 ,4 ,3max1ni2A)(maxAAT由于的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程为)det(AAIT2010911120的特征值为可得AAT9361. 0,9211. 2,1428. 93211428. 9)(maxA

7、AT2A)(maxAAT0237. 31AA2A容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感使用最广泛性质较好矩阵A的谱半径1 (1,2, ) ( ) maxn niii nARinAA 定义：设的特征值为称为 的谱半径。ReIm (A) ( ) , A AAA定理：为的任意矩阵范数( , ( )AxxxAxAxxAxAAA误差分析误差分析一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会有误差，即有扰动，从而使计算结果产生误差。12112222.1.0000120 xxxxxx例：方程组12112221.1.000012.000011xxxxxx而方程组5 10 ,比较这两个方程组可以看出，他们只是右端

8、项有微小的差1别，最大相对误差为但它们的解却大不相同，解分量21的相对误差至少为 。2 AbAxbA定义： 如果矩阵 或常数项 的微小变化，引起方程组解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵 称为“病态”矩阵（相对于方程组而言）。A否则称方程组为“良态”方程组， 称为“良态”矩阵。矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特性。Axb为了定量刻划方程组的“病态”程度，下面对方程组就系数矩阵或右端项分别有扰动的两种情形进行讨论。右端项右端项b b的扰动对解的影响的扰动对解的影响, ()bxxbbxA xb设 有扰动 ，相应解 的扰动记为即1 xbxbAxbAA由，11 xbbAA两边取范数 Axbx

9、AA又因为11bbxAA AbxbA1,A A此式表明当右端项有扰动时 解的相对误差不超过右端项的相对误差的倍。相对误差放大因子相对误差放大因子系数矩阵系数矩阵A A的扰动对解的影响的扰动对解的影响,AxAx如果右端项无扰动，系数矩阵 有扰动，相应的解的扰动仍记为则 ()()()0AxxAxAxbAx11()()xAxAxAxAx11,AAA如果充分小，使得则由上式得1111 11AAxAAA AAAxAA AA11A AA A上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与有关。一般地，越大，解的扰动也越大。-1 ,AA综上分析可知 量实际上刻划了解对原始数据变化的灵敏程度 即刻划了方程组的“病态

10、”程度。1( )(1,2vvvAcond AAAvA定义：设 为非奇异阵，称数或）为矩阵 的条件数。常用的条件数，有-1 (1) ( )cond AAA1max222min(2) A() ( )()TTA Acond AAAA A的谱条件数121 ( ),nnAcond AA当 为对称矩阵时，其中 ，为 的绝对值最大和绝对值最小的特征值。条件数的性质条件数的性质1( )1.vAcond A、对任何非奇异矩阵 ，都有11 ( )1.vvvvcond AAAA AI由定义20 ()( )vvAccond cAcond A、设 为非奇异矩阵且（常数），则22223( )1 ()()( ) .Acon

11、d AARcond RAcond ARcond A、如果 为正交矩阵，则 ；如果 为非奇异矩阵， 为正交矩阵,则精确解精确解为为.11 x例例 97.199.1,98.099.099.01bA计算计算cond (A)2 。 10000990099009800A 1 = 解：解：考察考察 A 的特征根的特征根 0)det(AI 000050504. 0980050504. 121 212)( Acond 39206 1 测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动b 3410106.01097.0b ，其相对误差为，其相对误差为%01.010513.0|422 bb 此时此时精确解精确解为为

12、 0203. 13*x 0203.22*xxx 22|xx 2.0102 200%3 1112111 231111121nHilbertnHnnnnH例：矩阵计算的条件数。133331333661112393630111 ,3619218023430180180111345(1)() .11()408748.6()2.9 10 .nHHHcond Hcond HHHcond HHn 解：计算条件数 同样可计算一般矩阵当 越大时，病态越严重。例：例：Hilbert 阵阵 12111131211211nnnnnHcond (H2) = 27cond (H3) 748cond (H6) =2.9 1

13、06cond (Hn) as n 注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验，而由经验得出。得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。 近似解的误差估计及改善：近似解的误差估计及改善：设设 的近似解为的近似解为 ，则一般有，则一般有bxA *x0* xAbr|*|brxxx cond (A)误差上限误差上限 改善方法：改善方法：Step 1:近似解近似解 bxA;1xStep