极坐标与参数方程大题专练

1、2018年3月26日高中数学作业学校:姓名：班级：考号：一、解答题1. 已知在极坐标系屮曲线g的极坐标方程为：p = 4cos0,以极点为坐标原点，以极轴x = 3 t为无轴的正半轴建立直角坐标系，曲线c2的参数方程为：扰(上为参数)，点4(3,0).(1) 求出曲线c的直角坐标方程和曲线c2的普通方程；(2) 设曲线c与曲线c2相交于p,q两点，求|朋| sq|的值.x - icoso2. 已知曲线c的参数方程为l(0为参数).以平面直角坐标系兀oy的原y = y/2sin0点0为极点，兀轴的正半轴为极轴，取相同的单位t度建立极坐标系，设直线/的极 坐标方程为 p(cos&-jsin

2、0)= 6.(1) 求曲线c和直线/的普通方程；(2) 设p为曲线c上任意一点，求点p到直线/的距离的最值.3. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线2的参数方程为返2 (t为参数)，曲线c的极坐标方程为p = 4cos0;i y = t(1) 求直线2的直角坐标系方程和曲线c的直角坐标方程；(2) 若直线z与曲线c交点分别为力，b,点p(l,0),求匕+岛的值.4.在直角坐标系xoy中，曲线g参数方程为"一v2-2v2一 2 一 + 1 3(t为参数)，曲线c?的参数方程为x (炉为参数)，以坐标原点0为极点

3、，x轴的正半轴为极轴建立(y sm(p极坐标系.(1) 求曲线cbc2的极坐标方程；(2) 若射线/:0 = a(p>o)分别交ci,c2于两点，求刖的最大值.5. 已知曲线g的参数方程为£二?； (t为参数)，以原点0为极点，兀轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为p =(i) 求曲线c2的直角坐标方程；(ii) 设mi为曲线c上的点,m?为曲线c?上的点，求im1m2i的最小值.6. 在极坐标系屮，曲线c.的极坐标方程是p2(i + 3sin20) = 16,点p是曲线上的动点.点m满足丽=20m (0为极点).设点m的轨迹为曲线c2以极点0为原点，极轴为x轴

4、的正半轴建立平面直角坐标系xoy,已知直线2的参数方程是c为参数）.（1）求曲线c2的直角坐标方程与直线/的普通方程；（2）设直线2交两坐标轴于力，b两点,求aabm面积的最大值.7. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，圆g的参数方程为f ；爲:（t为参数）,圆c2与圆g外切 于原点0,且两圆圆心的距离|qc2| = 3,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极 坐标系.（i ）求圆c1和圆c2的极坐标方程；（ii）过点0的直线心、5与圆c2异于点o的交点分別为点人和点d，与圆c异于点0的交 点分别为点c和点且“丄l2.求四边形面积的最大值.参考答案1. （1）曲线c1 的直角

5、坐标方程为（x-2）2 +y2 = 4,曲线c2： v3x + y-3v3 = 0； （2） 3. 【解析】试题分析：（1）根据x = pcoso, p2=x2+y2将曲线g的极坐标方程化为直角坐标 方程，根据加减消元法得曲线c2的普通方程；（2）将直线参数方程代入曲线c的直角坐标 方程，结合韦达定理即可求得ap-aq的值.试题解析：（1） tp=4cos8,当p>0时，有p2=4pcos8i* + y2 = 4%当p = 0时，点（0£）在曲线c上，（0,扌）即是在直角坐标系屮的原点（0,0）满足方程x2 4- y2 = 4%.故曲线c的直角坐标方程为* +严=牡即仗- 2尸

6、+y2 = 4. 曲线c2： v3x + y - 3v3 = 0.代入送+ y2 = 4兀得严-上一 3 = 0,21 = 1 + 4x3 = 13 >0,故方程有两个不等实根如上2分别对应点eq.|ap| aq=t. t2 = |q t2 = |-3| = 3,即ap- aq=3.点睛：此题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程i'可的互化，以及直线参数方程 中其参数t的几何意义的在求线段之积最值等中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在 极坐标方程与普通方程的转化过程中，将极坐标方程构造出p?, pcos0,psin0,再由互换公 式p2 = %2 + y2, x =

7、 pcos3,y = psino.进行替换即可.2（1）手+ 4-屁-6"最大值为畔最小值为各迹【解析】试题分析：（1）根据参数方程和极能标化普通力程化法即易得结论c的普通方程2 2为:+；"直线/的普通方程为“-6“（2）求点到线距离问题可借助参数方程，利用三角函数最值法求解即可故设p（2cos&,、/%in&） , d =2cos&-vsino - 62 cos& sin&-32/cos& +才-3即可得岀最值sin& = =, v2x = 2cos0x解析：（1）根据题意,由 l ，得cos& =送,y

8、= 2sin022 2由 cos2 + sin2 = l ,得兀 +=1 ,42故c的普通方程为；+；"由 /?cos->/2sinj = 6rx = pcos&, y = psinox-6 = 0 ,故直线/的普通方程为x-v2y-6 = 0.(2)由于p为曲线c上任意一点，设p(2cos&,0sin&),a/2cos1-3< 4>2cos0 - sin&-3?由点到直线的距离公式得，点p到直线/的距离为2cos & - 血 x vsin & - 6* 3 v2 5 v2cos 0 h 3 5 3 + v2 ,<

9、;4丿忖d十即呼，呼故点p到直线/的距离的最大值为也严最小值为也尹 点睛：首先要熟悉参数方程和极坐标方程化普通方程的方法，第一问基本属于送分题所以务 必抓住，对于第二问可以总结为一类题型，借助参数方程设点的方便转化为三角函数最值问 题求解3. (1) z:x 4- y 1 = 0,+ y2 4x = 0;(2).3【解析】试题分析：(1)消去参数t可得直线2的直角坐标系方程，由x2+y2=p2, x = pcoso 可得曲线c的直角坐标方程；(x = 1 t(2)将/(伪参数)代入曲线c的方程得：t2 + v2t-3 = 0, £ +角=占+y _ 2匸占=害，利用韦达定理求解即可.

10、1切 15如试题解析：(1) l:x + y 1 = 0,曲线c'.x2 4- y2 4% = 0,(2)将(x= 1-刍厂2 (t为参数)代入曲线c的方程得：t2 4-v2t-3 = 0.y = t所以5 + t2 = 一竝,上2 = -3.所以侖+侖唏+話册也+耳丿一吐讥2 _后3 34. (1) p(sin0 + cos0) + l,p = 2cos0 (2)-【解析】试题分析：(1)先将曲线c参数方程与曲线c2的参数方程化为直角樂标方程，然 后利用利用p2 = x2 + y2,pcos0 = x,psn0 = y即可得曲线c c?的极坐标方程；(2)设力(pi，a)，b(p2，

11、a)，-手 v q v 鲁= 2 - cosa - (cosa + sina),利用二倍角公式及 4z | p 4两角差的余弦公式化简后，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)在直角坐标系中，曲线g：x+y = 4，曲线c2：(x-l)2+y2 = l,所 以曲线c1,c2的极坐标方程分别为p(sin0 + cos0) = 1, p = 2cos0.(2 )设a),b(p2, a), - < a < - ,= = 2 - cosa (cosa + sina) = -(cos2a +4 20a i pi 44sin2a + 1)=扌说cos(2a -+ 1时，鬻有最大值竿5.

12、 ( i )x2 = 4y + 4； (ii)v5.【解析】试题分析：(i)整理参数方程有：p = psine + 2,两边平方可得曲线c2的直角坐标方程为x2 = 4y + 4. (ii )设出2 - 1)是曲线上的任意一点，消去参数可得曲线g为直线2: 2x - y-10 = 0. 设m2到/的距离为d,贝側闷= 3?"皿(当且仅当x = 4取“二”)，啲最 小值为试题解析：(i )； z且 p2 =x2+y2f :.由 p = 77 得 p 一 psind = 2n p = psino + 2=> p2 = (psing + 2尸 n 送 + 护=严 + 4y + 4 =

13、尢2 = 4y + 4,曲线c2的直角坐标方程为/ = 4y + 4.(1【)设m2 (%，¥- 1)是曲线c2上的任意一点，由； 1-4消去r得2尢一 y 10 = 0,知曲线c1为直线z: 2x - y - 10 = 0.2 尤-(1)-10z(尢4)2 + 5设m2到/的距离为d,则im1m2i >d =片討一=&>帖(当且仅当兀=4取故im02啲最小值为岳.6. (1)c2的直角坐标方程为手+护=1, /的普通方程是x-y-l = 0：警.【解析】试题分析：(1)在极坐标系中，设点m(p,0).由题意可得曲线c2的极方程为p2(l+3si“0) = 4,化

14、为直v2角坐标方程得令+ y2 = l,消去参数可得直线2的普通方程是龙-y-l = 0.(2)由直线/的方程可得|mb| =返.设m(2cosa,sina),底边4b上的高，h =逅=血护凹，结合三角函数的性质可得如“=将=号i贝uabm面积的最大值为 岛+1试题解析：(1) 在极坐标系中,设点m(p,0).由0p = 20m,得p(2p,0),代入曲线g的方程p2(i + 3sin20) = 16并整理，得 p2(l+3sin20) = 4,再化为直角坐标方程，得手+ y2 = i,y2即曲线c2的直角坐标方程为令+ y2 = 1.直线2的参数方程兀=1 + q (t为参数)化为普通方程是

15、x - y - 1 = 0.k y = t(2) 由直线的方程为x y 1 = 0,可ab = >/2.因为点m在曲线c2：手+y2 = 1上，所以设m(2cosa,sina), a e r,则点m到直线2的距离d即为底边加上的高，所以 h = d = 2cosa-sina-l = cos-lf 其中 =丄,v2v22所以 dmax = = ，所以(szmbm) = |i4f|dmax =扌 x 说 x 笃“=卑1,所以zl4bm而积的最大值为竽.乙7. (1)见解析；(2) 9【解析】试题分析：(1)根据极坐标和普通方程的转化公式得到极坐标方程；(2) s四边形abcd =ac 0d|，根据极径的定义得到s四边形abcd = 9sizi20,从而得到最值. 解析：(1) 由圆c的参数方程x = 2tinist(上为参数)，得(尢 + i)2 + y? = 1,所以cx(-l,0),丘=1又因为圆c2与圆g外切于原点0,且两圆圆心的距离crc2 =3,可得 c(2,0), r2 = 2,则圆c2的方程为(x-2)2+y2 = 4 所以由；：；红得圆c的极坐标方程为p = 一2cos&, 圆c?的极坐标方