习题课2幂级数

1、1 内容及要求内容及要求(1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法 (2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数展开成幂级数. . mxxxxxex)1( )1ln( cos sin 11 )3( 、熟熟悉悉无穷级数无穷级数 习题课二习题课二2 典型例题典型例题 例例1 填空填空1(1)2 (1)nnnxn 幂幂级级数数的的收收敛敛域域-2，2）级级数数时时，的的收收敛敛点点，则则当当是是已已知知212)2

2、(1 xxaxnnn绝对收敛绝对收敛级级数数的的收收敛敛半半径径为为时时条条件件收收敛敛，则则幂幂当当已已知知3)1()3(1 xxannnr = 4.,2)(,)5(1211111的的收收敛敛半半径径为为数数为为，和和函函的的收收敛敛半半径径为为，为为，和和函函数数的的收收敛敛半半径径为为幂幂级级数数，则则和和函函数数为为的的收收敛敛半半径径为为已已知知 nnnnnnnnnnnnnxaxaxnaxsrxar)(xs 2r)2(21xsr处处在在级级数数时时收收敛敛，则则幂幂当当已已知知2)1(1)1()4(111 xxnaxxannnnnn绝对收敛绝对收敛例例2 求下列幂级数的收敛域求下列幂

3、级数的收敛域: :nnnxn 1)1(2)1( , 1)1(2limlimnnnnnnnax=1时级数发散，故该幂级数的收敛域为时级数发散，故该幂级数的收敛域为(1，1). nnnxn2)11()2(1 ,limeannn1rer1 1122)11)1(,)11,1|nnnnnnnenenex（级级数数变变为为0)11lim)11lim212 eenennnnnnn（).11(ee，收收敛敛域域为为 111,( 1,1)( 2,0).nnnntxntnt 令令则则原原级级数数变变为为易易知知的的收收敛敛域域为为故故原原级级数数的的收收敛敛域域为为,21|2/21|lim22)1(21xxnxn

4、nnnnn(2,2) 故故所所求求级级数数的的收收敛敛域域为为nnxn)1()3(1 nnnxn212)4( ;2|时时，级级数数收收敛敛故故当当x.2|时时，级级数数发发散散当当x.,21发发散散时时，级级数数变变为为又又当当nnx例例3 求下列幂级数的和函数求下列幂级数的和函数: :;)1(12nnnx;212)2(122nnnxn;)2()3(1nnnnx,!12)5(02nnxnn.!2)12(0的的和和并并求求nnnn解解(1)：易知该幂级数的收敛域为：易知该幂级数的收敛域为(1，1). 设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则;)1()4(1nnxn 1121222)(nnnnnx

5、xnxxs)(212 nnxx)1 , 1( )1()1(222222 xxxxxx解解(2)(2)： ,2)()(lim21xxuxunnn;2|时时，幂幂级级数数收收敛敛当当x发发散散。级级数数当当 1212,2nnx故该幂级数的收敛域为故该幂级数的收敛域为 ).2,2( 122212)(nnnxnxs设设)(21112 nnnx)21(112 nnnx;212)2(122nnnxn).2,2( ,)2(2222xxx)22(23 xx)212(2xx解解(3)(3)： 易知幂级数的收敛域为（易知幂级数的收敛域为（0 0，2 2） 令令x-1=t , 1111)1(nnnnnnnttntx

6、n)1( ttt)(1 nntt).2 , 0(,)2(1)1(22xxxtt1(3)(1) ;nnn x 解解(4)：易知该幂级数的收敛域为：易知该幂级数的收敛域为1，1， 设其和函数为设其和函数为s(x)，则，则 1)211(21)(nnxnnxs 1122121nnnnnxnx),(1xfnxnn设设,11)(11xxxfnn)0()()(0fdxxfxfx )1 , 1 ),1ln(10 xxxdxx1(4);(2)nnxn n ),(21xgnxnn 设设 xdxxxxgx02201)()1 , 1 ),1ln(22xxxx 0 , 00)1 , 1 ,)1ln(21)(2xxxxx

7、xxg且且)(21)(21)(xgxfxs 211ln(1)ln(1), 1,1)02420,03,14xxxxxxxx 且且 112) )(nnxxgxxx 12解解(5)：易知所给幂级数的收敛半径：易知所给幂级数的收敛半径r=+，设其，设其 和函数为和函数为s (x)，则，则2020120!)(!)(xnnnnxxenxxnxdxxs 22)21()()(2xxexxexs 205)2(!2)12(esnnnn ,!12)5(02nnxnn.!2)12(0的的和和并并求求nnnn例例4 将下列函数展成将下列函数展成 x 的幂级数的幂级数: :;21)()1(2xxxxf;44arctan)

8、()2(22xxxf).21,21( ,)2(1 310 xxnnn解解(1)(1) )21111(31)(xxxf )2()2(21 (312 nnxxx)1 (312 nxxx.)2(1)()3(2xxf2222222)4()4(2)4(2)44(11)()2(xxxxxxxxf 04442)1(2)2(112nnnnxxxx 014142)1(nnnnx)0()()(0fdxxfxfx 4)2(12)1(024 nnnxnx(2，2). ;44arctan)()2(22xxxf4168xx注：级数的收敛域为注：级数的收敛域为2，2.)2(121)2(1)()3(020 xdxxdxxfxx )21(2121x 101,|222nnnxx . 2|,2)(111xnxxfnnn.)2(1)()3(2xxf例例5 求极限求极限111393lim