史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

1、二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1 .定义：一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),那么y叫做x的二次 函数.2 .二次函数y ax2的性质(D抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.(2)函数y ax2的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2 (a 0).3 .二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线4 .二次函数y ax2bx c用配方法可化成：y ax h 2 k的形式，其中2a&#

2、39;4ac b24a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2 ; y ax2 k ;y a x h2; y a x h 2 k; y ax2 bx c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作 x h.特别地，y轴记作直线x 0.7 .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法.22, 22 ,b 4ac bb 4ac

3、 b、(1)公式法：y ax bx c a x -，顶点是(一,)，2a 4a2 a4a对称轴是直线x -.2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h 2 k的形式， 得到顶点为(h, k),对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶 占 八、.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y ax2 bx c中，a,b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴

4、的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线X 2,故：b 0时，对称轴为y轴；B 0 （即a、b同号）时，对 2aa称轴在y轴左侧；B 0 （即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a(3) c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则b 0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当a 0时x 0 ( y 轴)

5、(0,0)开口向上x 0 ( y 轴)(0, k)当a 0时(h,0)开口向卜(h, k)b 4ac b2(,)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.（ 2）顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（ 3） 交点 式 ： 已 知 图 像与 x 轴 的 交点 坐标 x1 、x2 ， 通常选用交 点式 ：y a x x1 x x2 .12. 直线与抛物线的交点（1） y轴与抛物线yax2 bx c得交点为（0, c）.（2）与y轴平行的直线 x h与抛物线yax2b

6、x c有且只有一个交点（h,ah 2 bh c）.（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应 一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0 抛物线与x轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两bx c k 的两个实数交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax2根

7、.(5) 一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G y kx ny ax bx c的交点，由方程组2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 1与G有两个交点；方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时1与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为 A x1,0 , B x2,0 ,由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的两个根，故第二部分典型习题1 .抛物线y=x2 + 2x 2的顶点坐标是(D )A. (2, 2)B. (1, 2) C. (1, 3) D. (1, 3)2 .已知二次函数y

8、ax2 bx c的图象如图所示，则下列结论正确的是( C )A. ab>0, c>0 B. ab>0, cv0 C. abv0, c>0 D. abv 0, c <0第4题图第2 , 3题图3 .二次函数y=ax2+bx+ c的图象如图所示，则下列结论正确的是( D )A.a>0,bv0, c>0B. av0,bv0,c>0C.av0,b>0, cv0D. av0,b>0,c>04 .如图，已知中，BC=8 BC上的高,D为BC上一点,AB于点E,交AC于点F （EF不过A B）,设E到BC的距离为，则 的面积关于的函数的图象大

9、致为（ D ）5 .抛物线y x2 2x 3与x轴分别交于A B两点，则AB的长为上.6 .已知二次函数y=kx2+（2k1）x1与x轴交点的横坐标为x1、x2 （x1<x2）,则对 于下列结论：当x=2时，y=1;当x>x2时，y>0;方程 kx2+（2k 1）x1=0有两个不相等的实数根x1、x2；x1V1 ,x2> 1 ;x2-xi=正如其中所有正确的结论是（只需填写序号）.k7 .已知直线y2x b b 0与x轴交于点A,与y轴交于点B; 一抛物线的解析式为 y x2 b 10 x c.（1）若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y 2x b上，试确定这条抛物线

10、的解析式；（2）过点B作直线BC± AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y 2x b的解析式.解：（1） y x2 10或 y x2 4x 62将（0, b）代入，得c b.顶点坐标为（L0 b 16b 100）,由题意得24b 10 b2 16b 1002 b ,解得 b10,b26.24 y 2x 28.有一个运算装置，当输入值为 x时，其输出值为y,且y是x的二次函数，已知输入值为 2,0, 1时，相应的输出值分别为5, 3, 4.(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围解

11、：(1)设所求二次函数的解析式为y ax2 bx c,a( 2)2 b( 2) c 5 c 3贝U a 02 b 0 c 3 ,即 2ab故所求的解析式为：y x2 2x 3.(2)函数图象如图所示.a4 ,解得ba b 1c由图象可得，当输出值y为正数时,究中温度每昼一头制成第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的 ？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？第三天12时这头骆驼的体温是多少？兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.解：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是 39

12、c，一、1 C y x2 2x 24 10 x 221610.已知抛物线y ax2 (4 3a)x 4与x轴交 3B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,得 ABCJ直角三角形.若存在，请求出 a的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，得点C的坐标为(0, 4).设点A B的坐标分别为(x90), (x2, 0),由 ax2 (- 3a)x 4 0 ,解得 x13, x2刍.33a点A、B的坐标分别为(-3, 0), ( 3,0).3a422AB | 一 3|, AC 7A。2 OC2 5, 3aBC 4 BO2 OC2 j 5|2 42 .242AB 1 至 31169a242 393a16

13、9a29,2 c216AC2 25, BC2 62 16.9a2i当 AB2AC2BC2时，/ AC&90° .由AB2AC2BC2516(讶 16).解得于是AB2时，点B的坐标为喈6 AB222AC2 BC2.625 s22400，AC2 25 , BC2 99ii当 AC2AB2BC2时，/ ABC= 90由 AC2 AB2BC2得 25 (T9a28 9) a(& 9a2解得a 49当a 9时,43a4t3,点 B (-3, 3 40）与点A重合，不合题意.iii当 BC2AC2 AB2时，/ BAO9016825 （一2 9） .9a2 a：时，MB泄直角三

14、角形.由 BC2 AC2 AB2 ,得62 16 9a2解得 a -.不合题意. 9综合i、 ii、<iii> ,当 a11.已知抛物线y = x2+m- m+ 2.(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且 AB= 75,试求m的值；(2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M N,并且 MNC勺面积等于27,试求m的值.解： A （玄，0） ,B（x 2, 0）则X1 , X2是方程x 2 mx+ m 2 = 0的两根.X1 +x2 = m , x 1 x2 =m 2 < 0 即m< 2;又 AB=I x1 x2 I =q,（x

15、1+x2）24x1x2V5,2 m 4m+ 3=0解得：m=1或m=3（舍去），m的值为1 .（2） M（a, b）,则 N（-a, 一 b）.M N是抛物线上的两点，. a2 ma m 2 b,L a2 ma m 2 b.L + 得：一2a2 2m 4 = 0 .，a2= m 2 .当mK2时，才存在满足条件中的两点M N.a 2m .这时M N到y轴的距离均为V2m,又点 C坐标为(0, 2mj)，而 Sam n c = 27 ,2X 1 X ( 2-m) X T2-m=27 . 2解得 m=- 7 .12.已知：抛物线y=ax2+ 4ax+t与x轴的一个交点为 A(1)求抛物线与x轴的另

16、一个交点B的坐标；(2) D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，AB为一底的梯形ABCD勺面积为9,求此抛物线的解(3) E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5： 2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点 A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解法(1)依题意，抛物线的对称轴为 x=2.抛物线与x轴的一个交点为A(1, 0),由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（一3,0).(2) V 抛物线y=ax2+ 4ax+t与x轴的一个交点为 A( 1, 0), a( 1)?+

17、4a( 1)+t = 0. - t = 3a.y=ax?+4ax +3a .二. D (0, 3a). 梯形 ABC前，AB/ CR 且点 C在抛物线 y=ax2+4ax +3a 上，C (4, 3a).AB =2, CD=4.梯形ABCD勺面积为9,1-(AB CD)OD=9.21-(2+4) 3a =9 .y=a ± 1.所求抛物线的解析式为2x 4ax 3.（3）设点E坐标为（x0, y0）.依题意,xO<0, y°<0,且 y0 =5lx025y0= 一 二 x0 2=5解方程组y°= 2x。,丫0=%+4%+ 3设点E在抛物线y = x2+

18、4x + 3上,y0=x；+ 4x0+3.1x =6 x0=二，得 x06,2% =15;5y0=- -4 点E与点A在对称轴x=2的同侧， 点E坐标为(1，5). 24设在抛物线的对称轴 x= 2上存在一点P,使 APE的周长最小.AE长为定值， 要使 APE的周长最小，只须 PA PE最小. 点A关于对称轴x= 2的对称点是B( 3, 0),由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x= 2的交点.设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n,1,5-m+ n=-,243m+ n=0.1m= 一解得 23 n=-.2 直线BE的解析式为y=1x+3. .把x=2代入上式，得v= - - 222点P坐

19、标为(一2, 1).2设点E在抛物线y= x2 4x 3上，y0= x2 4x0 3 .=5解方程组y。 2x0,消去y0,得x2 'x°+3= 0.y°= x2 4x0 3.A<0 .此方程无实数根.综上，在抛物线的称轴上存在点P (2, 1),使 APE的周长最小.2解法二：(1) 抛物线y=ax2+4ax + t与x轴的一个交点为0), a(-1 + 4a(1)+t=0. t = 3a. y = ax?+4ax+3a .令 y = 0,即 ax2+ 4ax+3a = 0 .解得x1= 1, x2= 3.， 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(一3, 0)

20、.(2)由 y=ax2+ 4ax+3a ,得 D (0, 3a).V 梯形ABC前，AB/ CQ且点C在抛物线y= ax2+ 4ax +3a 上,二. C (4, 3a).AB =2, CD-4.V 梯形 ABCD勺面积为 9, . -(AB+CD) OD=9.解得 OD- 3. 23a=3. a ±1.所求抛物线的解析式为y = x2+4x+ 3或y=-x2-4x-3 .(3)同解法一得，P是直线BE与对称轴x= 2的交点.如图，过点E作EQL x轴于点Q设对称轴轴的交点为F.由 PF/ EQ 可得 BF = -PF BQ EQ1 PF5 = 524PF = -2点p坐标为(-2,

21、 1).以下同解法13.已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.(2)若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点 Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合)，设NQ的长为l ,四边形NQAC 的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量 t的取值范围；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使APAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)将4OA禽卜成矩形，使 OAC勺两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知 的顶点坐标(不需要计算过程)解：(1

22、)设抛物线的解析式y a(x 1)(x 2),2 a 1 ( 2) . a 1 .y x2 x 2 .其顶点M的坐标是1,9. 24(2)设线段BM所在的直线的解析式为y kx b,点N的坐标为N (t , h),02kb, / 3一 9 1.解得 k 一，b 3. kb.2线段BM所在的直线的解析式为y |x 3.h 3t 3,其中)t 2. 22*(2 3t 3)t *2s与t间的函数关系式是S+2 % 1，自变量t的取值范围是3解得：m15, m21 （舍去）.2点Pi存在符合条件的点P且坐标是P1 /，P2 |，9设点P的坐标为P（m, n）,则n m2 m2.PA2,.、22_ (m

23、 1)2 n2, PC2 m2 (n 2)2, AC2分以下几种情况讨论:i)若/ PAO90° ,贝U PC2 PA2 AC2.“2n m m2,ii )若/ PCA= 90° ,贝U PA2 PC2 AC2 .2人n m m 2, ， 八 2222_(m 1) n m (n 2)5.解得：m3 3, m4。（舍去）点喝4iii ）由图象观察得，当点 P在对称轴右侧时,PA AC ,所以边AC的对角/APC不可能是直角.（4）以点。，点A （或点。，点Q为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形 这边OA（或边OC的对边上，如图a,此时未知顶点坐标是点 D（ 1, 2）,以点A

24、,点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC的对边上， 如图b,此时未知顶点坐标是 E -,- , F 4, 8 .5 555图a图b14 .已知二次函数y = ax22的图象经过点（1, 1）.求这个二次函数的解析式， 并判断该函数图象与x轴的交点的个数.解：根据题意，得a 2 = 1.a =1.这个二次函数解析式是y=x2 2 .因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0, 2）,所以该函数图象与x轴有两个交点.15 .卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1 ： 11000的比例图上，跨度AB= 5 cm,拱高OC= 0.9 cm,线段DE表示大桥拱内桥长，DE

25、/ AR 如图（1）.在比例图上，以直线 AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离。阵0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数 据：近1.4,计算结果精确到1米）.解：(1)由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y=ax2+&.10因为点A（ 5, 0）（或B （5,0）在抛物线上，所以0= a（3）2+2,得2221018 a=-.125因此所求函数解析式为y=-8-x2+-( 5x5). 12510

26、22 因为点D、E的纵坐标为-9,所以218x2+ -,得乂= 542.2020125104所以点D的坐标为(-5V2 ,义)，点E的坐标为(5V2 ,号).420420所以痔沁(衿尸耍因此卢浦大桥拱内实际桥长为5、. 2211000 0.01= 275/2 385 （米）.16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点 A在点B的左侧，如图.二次函数 y=ax2+ bx+c (a0)的图象经过点 A、B,与y轴相交于点C.(1) a、c的符号之间有何关系？(2)如果线段OC的长度是线段OA OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果 b= 4, AB = 4V3 ,求a、c的值.解:(1) a、c 同号. 或当 a>0 时，c>0;当 av0 时，cv0.(2)证明：设点A的坐标为(木, 0),点B的坐标为(X2, 0),则0<x<x2.OA x1 , OB x2 , OC c .据题意，x1、x2是方程ax2+bx+c 0(a 0)的两个根.x1 x2 . a由题意，得 OA OB = OC2,即