向量代数与空间解析几何11912

1、四、向量代数与空间解析几何四、向量代数与空间解析几何 （一）向量代数（一）向量代数1知识范围知识范围（1）向量的概念）向量的概念 向量的定义向量的定义 向量的模向量的模 单位向量单位向量 向量在坐标轴上的投影向量在坐标轴上的投影 向向量的坐标表示法量的坐标表示法 向量的方向余弦向量的方向余弦（2）向量的线性运算）向量的线性运算 向量的加法向量的加法 向量的减法向量的减法 向量的数乘向量的数乘（3）向量的数量积）向量的数量积二向量的夹角二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件二向量垂直的充分必要条件（4）二向量的向量积）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件二向量平行的充分必要条件2要求要求（1

2、）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法。方法。（3）掌握二向量平行、垂直的件。）掌握二向量平行、垂直的件。 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m为起点，为起点，2m为终点的有向线段为终点的有向线段.1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.

3、 .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：1、向量的概念、向量的概念或或或或或或1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘cbacba )(向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：).(cba （3）. 0)( aaabcba cba 1a2ananaaa 21例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abb

4、baba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad与与 平行且相等平行且相等,bc结论得证结论得证.abcdmab设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 3 向量与数的乘法向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结

5、合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 3. 3. 向量的坐标向量的坐标1. 空间直角坐标系 m(x,y,z)ozxyzxy x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 点m和向量om的坐标为（x,y,z)和x,y,zo,121xxpm ,

6、12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m空间两点间的距离空间两点间的距离解解设设p点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为p在在x轴上，轴上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( ouab1轴同方向的单位向量，轴同方向

7、的单位向量，是与是与设设ue.)(eabab e1 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理证证,1uoa ,1euoa 故故eueu12 .)(12euu ouab1e1u2u,2euob 同理，同理，oaobab 于是于是abjupr.ba 向量向量ab在轴在轴u上的投影记为上的投影记为投影定理投影定理 向向量量ab在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：abjupr cos|ab uaba b b u 定理定理1 1xyzopnqr2m以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijko

8、mxiyjzk2 向量的分解与向量的坐标向量的分解与向量的坐标 起点不在原点o的任一向量 a = m1m2设点 m1 (x1, y1 , z1), m2 (x2, y2 , z2)a = m1m2 = om2 om1= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k (2) 即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 为向量a的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.zxym1m

9、2ao向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标2, 1,78,9, 12,34,.aaababb例1 从点沿向量的方向取线段使求 点的坐标7, 1, 2),( zyxabzyxb则则设设点点解解 .17,17,18, 2,171298,34,222 bkaakabakab而而解解,111zzyyxxam ,222zzyyxxmb 设设),(zyxm为直线上的点，为直线上的点，abmxyzo由题意知：由题意知：mbam ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zz

10、zm为为有有向向线线段段ab的的定定比比分分点点.m为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz (3) 运算性质设 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 且为常数(1) a b = ax bx , ay by , az bz (2) a = ax , ay , az非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1m 2m 由图分析可知由图分析

11、可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa pqr向量长的坐标表示式向量长的坐标表示式0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)设ao是与a同向的单位向量ao|aa222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa= cos , cos , cos (7)

12、例1 已知两点m1(2, 2, )和m2(1, 3, 0). 计算向量m1 m2的模, 方向余弦和方向角.2 解: m1 m2 = 1, 1, 2|m1 m2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例2. 已知两点a(4, 0, 5)和b(7, 1, 3). 求方向和ab 一致的单位向量.解: ab = 3, 1, 2|ab|14)2(13222142 ,141 ,143|ababa.32,3 设设2p的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22 , 2 y3cos z 2

13、1pp23 z, 2, 4 zz2p的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 解解设向量设向量21pp的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7. cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)向向量量a与与b的的数数量量积积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例定义定义3、两向量的

14、数量积ab cos|baba 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa , 0 .|cos|2aaaaa 证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxba

15、bababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababazzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()

16、(.,593, 3,22,3,25babaqpqpbqpa 求求已知已知例例qpqqppqpqpbababa 1236)6()6()()(2qpqp 123622qpba 6解解qpqqppqpqpbababa 402516)54()54()()(2qpba54 又又593 qp 129836qp 409258166 qp.15 ba则则.pr,pr,3),(1, 2,3,32. 3ajbjbababababbaaba 求求设设例例.3128pr,3728pr,31,3728376)3()32(.2222 bbaajababjbbbaaabbaababababa解解 设设o为为一一根根杠杠杆杆

17、l的的支支点点，有有一一力力f作作用用于于这这杠杠杆杆上上p点点处处力力f与与op的的夹夹角角为为 ，力力f对对支支点点o的的力力矩矩是是一一向向量量m，它它的的模模|foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op与与f所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例4、两向量的向量积lfpqo 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向

18、量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示yzxyxzxyzyzxyxzxyzijkaaaaaaabaaaijkbbbbbbbbbb

19、a/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( |ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac （03二12）由向量a=2,2,1,b=4,5,3为邻边的平等四边形的面积为_二、典型例题二、典型例题例例1 1解解共面共面且且，使使，求一单位向量求一单位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 3 ,3,(),a

20、ij bijcrcabcr 例2 已知向量常数 求当满足关系式：时， 的最小值。cba 解解 sincb sinbr sinbar 10 ba又又. 1min r例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( a、)2 , 6, 5( b和和)1, 3 , 1( c的三角形中，求的三角形中，求ac边上的高边上的高bd.abc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形

21、三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量。边的高线向量。aba0,: auauabuaubu垂直于垂直于则则设高线为设高线为解解aba u.,0)(:22aaabbuaabaaabaab 即即例例 7 7 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4| m，2| n，3| p，计计算算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，选择题：选择题： 1 1、 若、 若a，b为共