高等数学II微积分龚德恩范培华32求导法则二

1、11/22/20211(1). ( )c 0(2). ()x 1x(3). ()xa aaxln(4). ()xe xe(5). (log)ax axln1(6). (ln)x x1(13). (arcsin ) x 211x(14). (arccos ) x 211x(15). (arctan ) x 211x(16). (arccot ) x 211x(7). (sin )x xcos(8). (cos )x xsin(9). (tan )x x2sec(10). (cot )x x2csc(11). (sec ) x xxtansec(12). (csc ) x xxcotcsc基基本本

2、导导数数公公式式11/22/202125. .隐隐函函数数求求导导法法3.2 求导法则求导法则6. .对对数数求求导导法法7. .参参数数方方程程表表示示函函数数的的导导数数11/22/202135. .隐隐函函数数求求导导法法( , )0,xyf x y 一一般般地地，如如果果变变量量和和 满满足足一一个个方方程程在在一一定定条条x件件下下，当当 取取某某区区间间内内的的任任一一值值时时，相相应应地地总总有有满满足足这这个个方方( , )0yf x y 程程的的唯唯一一的的 值值存存在在，那那么么就就称称方方程程在在该该区区间间内内确确定定了了一一个个隐隐函函数数。( , )0( )f x

3、yyf x隐隐函函数数求求导导法法：把把方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数代代入入原原方方程程，有有应应用用复复合合函函数数求求导导法法则则对对恒恒等等式式两两边边求求导导数数，即即可可求求得得隐隐函函数数的的导导数数。( ,( )0,f x f x 11/22/20214 0 xyxyee求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函例例1 1数数的的导导数数。d()dxyxyeex得得ddyyxx xe ddyyex 0ddxyyeyxxe 011/22/2021557 2300yyxxx 求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数在在例例2 2处处0ddxyx 的的导导数数| |。)32(

4、dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时，时，012ddxyx 0由方程由方程03275xxyy得得 y = 0 , 故故11/22/20216223 1( 2,3)1692xy求求椭椭圆圆在在点点处处的的例例3 3切切线线方方程程。解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导216xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x11/22/20217然后然后, 对方程两边关于对方程两边关于 x 求导：求导：(ln( )yf xy方法方法: 先在方程先在方程 y=f (x )

5、两边取对数两边取对数目的是利用对目的是利用对数的性质简化求导运算。数的性质简化求导运算。lnln( )yf x l n()ln( ) ) yf x或或 (ln( )yyf x注意：注意：y 是是 x 的函数的函数.或ln( )yf xy ln( )yyf x 6. .对对数数求求导导法法 取对数求导法常用来求一些复杂的取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式乘除式、根式根式、幂指函数幂指函数等的导数等的导数. .11/22/20218 求求下下列列函函例例4 4数数的的导导数数：;xyx (1)(1)1(cot) ;xyx (2)(2)3(1)(2)tan;3xxyxx (3)(3)( ) ( )

6、( ( ), ( );v xyu xu x v x (4)(4)可可导导上上述述各各题题也也可可以以用用换换底底法法来来求求导导。(1) 两边取对数两边取对数lnlnyxx两边关于两边关于 x 求导：求导：1lnyxxyx ln1ln1xyxyxx(3)(3)两两边边取取对对数数3(1)(2)lnlntan3xxyxx 3(1)(2)lntanln3xxxx 1(1)(2)lntanln33xxxx 1lntanln(1)ln(2)ln(3)3xxxx11/22/20219sin (05)xyxx求求例例的的导导数数。解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐函数化为隐函数xxylnsinln两

7、边对两边对 x 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx11/22/202110d:dyx练练习习 求求下下列列函函数数的的导导数数(1)0;yxye(2)sincos()0;yxxy22(3) arctanln;yxyx(4) (cos )(sin ) ;yxxy (1)(2)(5).(3)(4)xxyxx 11/22/202111(5) 的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解这函数的定义域这函数的定义域 1, 32, 4 xxx4 x若若两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy两边对两边

8、对 x 求导得求导得41312111211 xxxxyy111121234yyxxxx 11/22/2021121 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 两边对两边对 x 求导得求导得41312111211xxxxyy 111121234yyxxxx 同理同理32 x若若111121234yyxxxx 11/22/2021137. .参参数数方方程程表表示示函函数数的的导导数数一一般般的的，若若参参数数方方程程ddyx 则则( ),( )( )1 xtyy xyt 设设参参数数方方程程定定理理确确定定的的函

9、函数数是是可可导导的的，由由参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数。yx确确定定 和和 之之间间的的函函数数关关系系，则则称称此此函函数数关关系系所所表表示示的的函函数数为为( ),( )xtyt ddddyttx ddddytxt( )( )tt 11/22/20211400cos ,(,)si6 nxatxyybt 已已知知椭椭圆圆的的参参数数方方程程为为求求椭椭圆圆在在例例处处的的切切线线方方程程。椭圆上任意一点椭圆上任意一点 x处的切线的斜率为处的切线的斜率为d( sin )coscotd( cos )sidddndybtbyttbktxatataxt 002020 x xy yb xka y 故故00cos ,xat00sinybt从而从而, 所求切线方程为：所求切线方程为：解解又又200020()b xyyxxa y 11/22/202115练习练习 设由方程设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边方程组两边对对 t 求导求导 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tyc