大一高数上册

1、.复习提纲（函数、极限与连续）一、 函数有界函数，周期函数，奇偶函数，复合函数，反函数，显函数，隐函数，初等函数，分段函数，导函数，积分上限函数。1 定义域：使函数解析式有意义的的取值范围1） 分式：2） 根式开偶次方根：为偶数），3） 对数：，4） 反三角函数：，2 函数值记法：已知，求 例：，求及定义域例：，求及定义域3 奇偶性：关于原点对称，若，偶函数； ，奇函数 常见的奇函数：， ；常见的偶函数：； 注：对任意函数，偶函数，为奇函数 例：已知，试补充在上的表达式使其在区间上构成偶函数（偶延拓）4 常见的有界函数：（常数） 5 周期函数：，为周期1）的周期为；2）的周期也是（的周期）3）

2、分别是以为周期的函数，则是以的最小公倍数为周期的函数。4）常见函数的周期：；。二、极限1数列的极限：（确定常数）注：若数列存在极限，称其收敛；否则称之为发散。2. 函数的极限：1）同时成立；注：等函数当时的极限要分别考虑 2）注：用于求分段函数在分段点处的极限3极限性质：惟一性，有界性，保号性 极限存在准则：单调有界，夹逼定理4无穷小与无穷大1）无穷小：以零为极限的量称为无穷小量，即无穷大：（此时极限不存在）；2）无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，若是无穷小且，则是无穷大；若是无穷大，则是无穷小。3）无穷小的运算性质：有限个无穷小之和、积仍为无穷小； 有界函数与无穷小之积为无穷小

3、。 4）无穷小的比较：设（即：为无穷小）若，称是的高阶无穷小，记作；若，（），称与是同阶无穷小；若，称与是等价无穷小，记为5）常用的等价无穷小当时，.推广：当时，有 6) 等价无穷小应用：利用等价无穷小代换求极限设且存在，则。注：1）只在乘除因子中用，加减运算时不适用，例：不能直接代换。 2）洛必达法则只是极限存在的充分条件而非必要的。5两个重要极限1）推广：当时， 这里将换成结论仍成立 当时，及 中任意两个商的极限为1 。2）或 推广：当时，（为常数） 当时，（为常数）6洛必达法则：若，在邻域内可导，且则：使用法则时注意：只有才能使用，只要是可多次使用；每用完一次，要将式子整理化简后再用法则

4、；为简便运算，往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。7与极限有关的典型例题1）是初等函数，是其定义域内的一点，用代入法：例 2）有理分式函数的极限例 ，例 3）无穷小与有界函数之积仍为无穷小例 例 例 4）未定型“”因式分解：约去零因子例 含有根式：有理化 例 例 洛必达法则：（存在）例 例 （先代换，令，再用法则）例 （先代换，令，再用法则）重要极限： 例 例 （极限存在部分先计算，能用等价无穷小代换的先代换再用法则）例 （两个重要极限都用到）5）未定型“”有理函数用公式：（抓大头）例 洛必达法则例 例 （不能使用洛必达）分子分母同除因子：例6) 未定型分式：通分例 含根式：有理

5、化例 作代换：例 7）未定型：化为或例 （化为）例 （化为）例 (化为)8）指数型：利用对数恒等式化为：；对还可利用重要极限例 例 例 9）分段函数在分段点的极限：用左右极限及极限存在的充要条件考虑例 ，求例，求注：若的极限式中含有，特别是的，一定分别求出时的极限，两者相等，则极限存在，否则不存在。10）数列无限项和的极限：利用极限存在准则（夹逼定理）例 11）数列敛散性的判定和证明例 设，试证数列极限存在，并求此极限。12）积分上限函数的极限：用洛必达法则例 13）某些特定的极限：用导数的定义求例 设，求14）已知极限，求常数例 ，求例 ，求例 设，求常数。15）已知一个极限，求另一个极限例

6、 设，求 例 ，求16）无穷小阶的比较例 时，求例 时，求三、连续1. 定义：在点连续 2在处连续的充要条件： 适用于判断分段函数在分段点的连续性3基本初等函数在定义域内连续；一切初等函数在其定义域内连续函数。4函数的间断点（在点不连续）：函数在没有定义，或，或不存在；6 间断点的分类：1）第一类间断点：左右极限存在但不相等（跳跃间断点） 左右极限存在相等，但函数在该点没定义（可去间断点） 左右极限存在相等，但不等于函数值（可去间断点）2）第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在。7 闭区间上连续函数的性质（用于证明题中）1）有界性：闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。

7、2）零点定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在内至少存在一点，使。3）介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点，那么对于之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。8.典型例题1）讨论函数的连续性例 讨论的连续性。解：，的连续区间2）设，求的间断点并判别其类型。解：，所以为间断点；且，所以是第二类间断点。9.有关闭区间上连续函数的证明题命题证明有两种方法：1）直接法：其程序是先用最值定理，再用介值定理例 设在上连续，且，证明：在内至少存在一个，使得，其中为任意常数。证一：因为在上连续，所以在上有最大值和最小值,则，由于，于是有，所以由介值定理，在上至少存在一个，使，即。2）间接法：先

8、构造辅助函数，验证满足零值定理条件，然后由零值定理得出命题。辅助函数的作法： 把结论中的（或）改写成； 移项，使等式右边为零，令左边的式子为，此即为所求的辅助函数。证二：令，由题设可知在上连续，因为，所以当时，又，有，所以由零点定理可知，至少存在一个，使，即。例 设在上连续，且。证明：在上至少存在一个，使得。复习提纲（导数与微分）一、 导数1导数的定义1）设函数在点的某邻域内有定义， 或 （几种等价定义）注：求某点处的导数，尤其是分段函数在分段点的导数用第二种等价定义较方便。2）导函数：；导函数值（导数）：，3）若极限不存在，则在点处不可导。2单侧导数1）或；或；2） 函数在点处可导的充要条件

9、是注：常用来判别分段函数在一点的可导性3导数的几何意义、物理意义与经济意义1）几何意义： 在点处切线的斜率：过点的切线方程为：；若，法线方程为：若，则切线：；法线：若，则切线：；法线：。2） 物理意义：物体在的瞬时速度：，即。3） 经济意义：在经济学中称为边际函数。4可导与连续的关系可导连续；连续未必可导，如函数在点连续但不可导。5函数的求导法则 显函数直接求，隐函数两边求，抽象函数复合求，复合函数逐层求，参数方程分别求，一点处导数定义，幂指函数乘除因子对数求，高阶导数逐阶求。二、微分1微分的概念1）定义 设函数在点的某一邻域内有定义，且也属于该邻域。如果函数的增量，其中是与无关的常数，是无穷

10、小量，为较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微分，并称为函数在点处的微分。记为或。2） 在点处可微分函数在点可导，此时。3） 微分的几何意义：函数在点处的微分，在几何上表示当自变量有改变量时，曲线在点沿切线的纵坐标的改变量。2微分的运算1）微分的基本运算公式：2）一阶微分形式的不变性：无论是自变量还是中间变量，都有总成立。3）在点处连续、有极限以及可微、可导之间的关系：可微可导连续有极限3微分在近似计算中的应用1）设在点处可导，则当很小时，有 2）常用的近似公式：当很小时，有， ， ， 三、导数与微分典型运算1与导数定义有关的命题 步骤：1）写出导数定义式；2）再凑成要求的定义式例 设，求例 设

11、存在，求例 设在连续，且，求例 设对任间有，且，证明当时，有例 设在内有定义，对任意，恒有，当时，试判断在处是否存在？2求各类一元函数的导数1）复合函数步骤：分解函数若，则 若，则再将中间变量回代例 ，求例 ，求例 ，求例，设，求2）隐函数：步骤：写明等式两边同时对求导，对含有的函数要先对求导再乘上（要记住是的复合函数）解出的表达式。例 确定，求例 ，求例 ，求3）参数方程导数步骤：先分别求出 写出公式 若要求二阶的话，先进行整理例 设，求例 设，求例 设求4）对数求导法步骤：等式两边同时取对数 等式两边同时对求导（即利用隐函数求导方法），左边是 整理，将代入。例 ，求 例 设确定是的函数，求

12、注：若一函数不能直接用法则或上述方式求得，则将其分成几个函数分别求，然后再用法则例 求：（ ）5）求高阶导数步骤：先求出一阶，并整理； 再求二阶，三阶等。（每做一次，先整理后再求更高阶）例 设，求例 ，求例 设，求例 设，求注：常用高阶导数公式，6）求导数值 步骤：求出导函数 再将代入例 ，求例 ，求 例 ，求及 （注：本题点导数要用定义求）7）求切法线方程步骤：写出切点 求出，得或（此为参数方程） 写出切、法线方程公式，再代入例 求在点处的切法线方程。 例 曲线的切线与轴和轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和平面图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？例 已知

13、是周期为的连续函数，它在的某邻域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。 （）例 设曲线在点处的切线与轴交点坐标为，求8）求微分步骤：先求出；例 ，求例 ，求例 设函数由方程确定，求9）微分的近似计算步骤：将化成（为一较小的数），再设 求出，进而求出 写出近似公式 将代入进行计算例 计算 10）分段函数在分段点的连续与可导性步骤：改写函数，写出其在分段点处函数值 连续性：验证，成立则连续； 可导性：验证，成立则可导。例 ，讨论在处连续与可导性例 设，试确定的值，使函数在点连续可导。例 设，其中在点处连续，证明当时在 处可导.（利用函数在点处可导的充要条件）1

14、1）积分上限函数的导数例 设为连续函数，且，求例 设为连续函数，求例 设为连续函数，求例 设为连续函数，求，求四、导数的应用1函数的单调性1）如果函数在区间内可导且，则在内是严格单调增加；2）如果函数在区间内可导且，则在内是严格单调减少。3）利用导数求函数单调区间步骤：写出函数的定义域求出求出或不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间列表讨论在小区间上的符号正负，得到函数的单调区间。2函数的极值函数在点的邻域内有定义1），有，则为一个极大值，是一个极大值点；2），有，则为一个极小值，是一个极小值点；注：极值是考虑函数在局部范围内取值情况；使函数取得极值的点称为函数的极值点。3）极值存在的必要条件：设函数在处可导且在处取得极值，则。4）极值存在的第一充分条件：设函数在的某个去心邻域内可导，在处连续，则当的符号在两侧左正右负时，为极大值。当的符