例变速直线运动的速度ppt课件

1、例例1. 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时, 有，时间路程速度TSV 即这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V. 由于匀速运动物.VV 体的速度是不变的，因此4 41 1导数的概念导数的概念一、导数概念的引一、导数概念的引入入 由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时辰 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)? 设一物体作变速直线运动，在0, t这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0) 如图SS(t0)S(t0+t)0 设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，

2、在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0, t0+t 这段时间内所走路程为S = S (t0+t) S (t0)物体在 t0, t0+t 这段时间内的平均速度为tSV.)(0tSVtV t越小，近似值tS就越接近准确值V(t0). 当t无限变小时，近似值tS就会无限接近也就是tStVt00lim)(准确值V(t0).ttSttSt)()(lim000例例2. 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线(圆)只需一个交点的直线，但对普通曲线而言. 这一定义是不适宜的.如y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只需一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图y=x20 x

3、y又如，y = x3, 如图又比如，y=sinx, 如图.sin12sin1 有无穷多交点与曲线切线，但处的在作为从直观上看，应以xyyxyy0 xy=x3y0 xyy=sinx112切线的普通定义：如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，假设割线MN趋向于它的极限位置MT，那么称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN 下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题. 设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为. 如图Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+y

4、y0P割线 MN 的斜率tgk当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN MT.从而. 因此, tgtg.Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0 xxfxxf)()(00MPNPxyPTy=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0所以切线MT的斜率：tgkxxfxxfx)()(lim000 xyx0limtglim 0 xP定义：设定义：设 y=f (x)y=f (x)在在x0 x0 的某邻域的某邻域U(x0)U(x0)内有内有定义定义. . 假设当假设当x x0 0时，时，xxfxxfxfx)()(lim)(0000 xxfxxfxy)()(00的极限存在, 那么称

5、这个极限值为f (x)在x0处的导数，记作f (x0), 即.d)(ddd ,000 xxxxxxxxfxyy或也可记为二、导数的定二、导数的定义义xxfxxfx)()(lim000存在，那么称f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否那么，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别，不可导若)( )()(lim000 xxfxxfx. )(0为无穷大的导数在也称xxf注注1. 1. 假假设设;)()(lim)(0000hxfhxfxfh假设记x=x0+x, 当x0时, x x0, ;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx特别，取x

6、0 = 0, 且假设 f (0) = 0, 有.)(lim)0(0 xxffx注注2.2.导数定义还有其他等价方式导数定义还有其他等价方式, ,注注3.3.对于例对于例1, 1, 有有0dd)()(00tttStStV对于例2, 曲线y = f (x)在点 M(x0, f (x0) 处切线斜率.dd)(00 xxxyxfk注注4.4.由于由于xxfxxfxfx)()(lim)(0000,)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx记称为 f (x)在x0的右导数.,)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx记称为 f (x)在x0的左导数.有, f (x) 在x0可导 f (x)在x

7、0的左, 右导数存在且相等.注注5.5.假设假设 y = f (x)y = f (x)在在(a, b)(a, b)内每点可导，那内每点可导，那么称么称 f (x)f (x)在在(a, b)(a, b)内可导内可导. .此时，x(a, b)都有独一确定的值f (x)与之对应，所以导数是x的函数. 称为y=f (x)的导函数,.d)(d ,dd , ),(xxfxyyxf 记作按定义，). ,()()(lim)(0baxxxfxxfxfx， f (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.而f (x0)就是f (x)在x= x0处的函数值，即0)()()(lim)(0000 xxxxf

8、xxfxxfxf另外，求是不变的，时，xxxfxxfx)()(lim0. x看作常量，变的是注注6. 6. .,)()()(,),()(上可导在则称存在，和且内可导在若baxfbfafbaxfy用定义求导数普通可分三步进展.设y = f (x)在点x处可导(1) 求y=f (x+x) f (x)(2) 求比值xxfxxfxy)()(3) 求极限).()()(limlim00 xfxxfxxfxyxx三、求导举三、求导举例例例例3. 3. 求求 y = C (y = C (常数常数) )的导数的导数. .解：解：(1) (1) y = f (x+y = f (x+x) x) f (x) = C

9、f (x) = C C = 0C = 0(2)0 xy(3). 0lim0 xyx故(C ) = 0, 即常数的导数为0.例例4. 4. 设设 y = f (x) = xn. ny = f (x) = xn. n为正整数，为正整数，求求f (x). f (x). 解：解：(1) (1) y = f (x+y = f (x+x) x) f (x)f (x)nnnnnnnnnnnxxCxxCxxCxxCx)( )()(33322211nnnnnnnnnxCxxCxxCxxC)( )()(33322211= (x+x)n xn(2)12332211)( )()(nnnnnnnnnxCxxCxxCxC

10、xy(3).lim)(1110nnnxnxxCxyxf即 (xn)= nx n1比如，(x)=1, (x2)=2x,(x3)=3x2,普通，对幂函数y=x, 为实数有 (x) = x1比如,1)1(2xx,2)(32xx ,3)(43xx, 2121)(21xxx ,31)(3231xx例例5. 5. 求求y = sinxy = sinx的导数的导数. .解：解：(1) (1) y = sin (x+y = sin (x+x) x) sinxsinx(2)xxxxxy2sin)2cos(2(3)22sin)2cos(lim0 xxxxyx2sin22cos2xxxxxcos1cos即即(sin

11、x) = cosx类似类似 (cosx) = sinx例例6. 6. 求求y = axy = ax的导数，其中的导数，其中a0, a0, a a1.1.解：解：) 1(xxxxxaaaay从而xaayxxx1lim0 xaxaxxlnlim0 xaaxxx1elimln0.lnaax即即 (ax) = axlna特别，取特别，取a = e, 那么那么 (ex)= ex例例7. 7. 求求y=logax y=logax 的导数，其中的导数，其中a0, aa0, a1, 1, x0, x0, 并求并求y|x=1.y|x=1.解：解：xyyx0limxxxxaaxlog)(loglim0 xxxax

12、)1 (loglim0axxxxln1)1ln(lim0 xxxax0limln1axln1即axxaln1)(log特别，取a = e, 那么xx1)(ln从而.ln1ln111aaxyxx由例2知, 函数y=f (x)在x0处的导数 f (x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f (x0).)()(000 xxxfxfy法线方程为).0)( ),()(1)(0000 xfxxxfxfy普通, 假设f (x0)存在, 那么y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为四、导数的几何意四、导数的几何意义义特别，(i)当f (x0)=0时，

13、即k = 0. 从而切线平行于x轴. 因此，法线垂直于x轴. 如图切线方程：y = f (x0).法线方程：x = x0.y=f (x)0 xyMf (x0)x0(2) 当f (x0)=(不存在). 即k = tg =. 故2从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).如图, 单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1.法线方程: y = 0.0 xy11又如图由于在原点(0,0)处,xy032xy xfxffx)0()(lim)0(0 xxfx)(lim0 xxx320lim(不存在)从而切线方程: x=0, 法线方程: y = 0.

14、例例8. 8. 求过点求过点(2, 0)(2, 0)且与曲线且与曲线y=exy=ex相切的直线方相切的直线方程程. .解：由于点解：由于点(2, 0)(2, 0)不在曲线不在曲线y=exy=ex上，故不能直接上，故不能直接用公式用公式 y y f (x0) = f (x0)(x f (x0) = f (x0)(x x0). x0).由于(ex)=ex,处切线方程为故点),(00 xex).(000 xxeeyxx因切线过点(2, 0), 代入, 得)2(000 xeexx得x0 = 3. 所求切线为y e3 = e3(x3)定理定理. . 假设假设y=f (x)y=f (x)在在 x0 x0可

15、导，那么可导，那么y=f (x)y=f (x)在在 x0 x0必延续必延续. .证：证： 因因f (x)f (x)在在 x0 x0可导，即可导，即.)(lim00存在xfxyx五、可导与延续的关五、可导与延续的关系系由极限与无穷小量的关系，有).0(0.)(0时当，其中xxfxy或. )(0 xxxfy故. 0 )(limlim000 xxxfyxx 定理的逆命题不成立，即, 假设y=f (x)在x0延续，y=f (x)在x0不一定可导.0032不可导连续，但在在如xxxy例例. . 讨论讨论f (x)=| x |f (x)=| x |在在 x=0 x=0 处的可导性和处的可导性和延续性延续性

16、. .解：由于解：由于)0(0|lim)(lim00fxxfxx故| x |在x=0延续.但|x|在x=0不可导. 因f (x)=|x|= x, x0 x, x0,(x0,实数实数) )的导数的导数解：解： y = y = e e lnx lnx)( ln xey)ln(ln xexxx1 1x例例11. 11. 求求y = sinnxy = sinnxsinnxsinnx的导数，的导数，n n为常数为常数. .解：解：)sin(sin xnxyn)(sinsinsin)(sin xnxxnxnn)(sinsinsin)(cossin1xxnnxnxnxxnnxxnxnnxxnnncossin

17、sincossin1)cossincos(sinsin1xnxnxxxnnxnxnn) 1sin( sin1定理定理3.3.假设假设x=x=(y)(y)在某区间在某区间IyIy内严厉单调内严厉单调, , 可可导导, ,(y) 0, (y) 0, 那么它的反函数那么它的反函数y=f y=f (x)(x)在对应区间在对应区间IxIx内也可导内也可导, , 且且)(1)(yxf证：由于证：由于x=x=(y)(y)在在IyIy内严厉单调、延续内严厉单调、延续. . 从而它从而它的反函数的反函数y=f (x)y=f (x)存在存在, , 并在并在IxIx内有一样的内有一样的单调性单调性, , 同时同时,

18、 y=f (x), y=f (x)在在IxIx内延续内延续. .)(1)(yxf即yxxyyx00lim1lim下证三、反函数求导法三、反函数求导法那么那么xIx, 给改动量x0, 相应的函数y=f (x)有改动量0)()(xfxxfy由于 x = (y)和 y = f (x)互为反函数，)()( yxxfy故)()( ，yyxxxxfyy由从而即，)()(yyyx即x也就是函数x=(y)的改动量.yxxy1 有因y=f (x)延续，故当x0时，y0，且(y) 0 xyxyx0lim)( 故yxy0lim1)(1yyxxydd1dd 或例例11. 11. 证明证明) 11( 11)sin ar

19、c(2xxx证：证：y=arc sinxy=arc sinx是是x=sinyx=siny的反函数的反函数. . x=sinyx=siny在在)2,2(内单调，可导，且(siny)=cosy 0,)2,2(y所以在对应区间(1,1)内，有)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11211x) 11( 11)(arccos 2xxx类似例例12. 12. 证明证明211) tgarc(xx证：证：y=arc tgxy=arc tgx是是x=tg yx=tg y在在)2,2(上的反函数x=tg y在)2,2(内单调，可导，且. 0sec)tg(2yy)tg(1) tg(arc yx从而y

20、2sec1y2tg11211x211)arcctg( xx类似例例13. 13. 设设yaxaaaxy求, 0,arccos22解：解：)cos arc()(22xaaaxy)()(11)2(212222xaxaaxax2222221|xaxxaaxx=,2222axxax,2222axxax当 x 0且| x | a时当x a 时=axxax ,22axaxxax ,2222四、导数公式表四、导数公式表阐明：公式阐明：公式1212xx1) |(ln(1) 当 x 0时，xxx1)(ln) |(ln(2) 当 x 0时，0|xx) )(ln() |(lnxxxxx1)(1综合(1)、(2)有)

21、0( 1) |(lnxxx公式17由于xxch)sh()2()sh(xxeex)()(21xxee)1()(21xxee类似得公式18xeexxch2例例14. 14. . )1ln(arch ),1ln(arsh 22的导数求xxxyxxxy)1ln( 2xxy12211122xxxx,112x.11)arsh( 2xx即.11)arch( ,2xx同理解解: :例例15. 15. 设设sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x求 f (x) 的导数, 并指出 f (x)的不可导点.解解: :当当 x 0 x 0时时, f (x) = (sinx) = , f (x) = (s

22、inx) = cosx.cosx.当 0 x ln3时, f (x) = (ex1) = ex. 当 ln3 x时, f (x) = (2x2) = 4x. f (x) = 思索分段点 x = 0, ln3处的导数.xfxffx)0()0(lim)0(0 xfxfx)0()(lim0 xxxsinlim0= 1 (当x 0时, f (x) = sinx)xfxffx)0()0(lim)0(0 xexx1lim0= 1 (当 0 x ln3时, f (x) = ex1)由于 f (0) = f +(0) = 1, 故 f (0) = 1.由于当 0 x ln3时, f (x) = ex1. 当

23、ln3 x时, f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2. 从而xfxffx)3(ln)3(lnlim)3(ln0 xxx2)3(ln2lim20所以 f (x) = ln3 处不可导.综合, f (x) =cosx,x01,x=0ex,0 x ln34x,ln3 0在 (, +)内可导.解解: :由于可导必延续由于可导必延续, , 故要使故要使 f (x) f (x) 可导可导, , 必先使必先使 f (x)f (x)延续延续. .由于 f (0) = 3.3) 3(lim)0()(lim)0(00axxaxfxffxx. 22)(lim)0()(lim)0(20

24、0 xxxxfxffxx故 a = 2, b = 3时, f (x)在 (, +)可导., 3)(lim0 xfx.)(lim0bxfx得 b = 3.f (x) = 以前所接触到的函数通常是y=f (x)的方式, 即左边是y ,而右边是一个不含y的表达式.如xeyxxyxtg ,sinln1我们称为显函数根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的方式出现.五、隐函数求导法五、隐函数求导法那么那么比如，给二元方程 y3+2x21=0任给一个x，都可根据上面的方程，解出独一的一个y来即，任给一个x都有独一的一个y与之对应，因此, y是x的函数.称y为由方程y3+2x21=0所确定的隐函数.定义：

25、设有二元方程定义：设有二元方程F(x, y)=0F(x, y)=0，假设对恣意，假设对恣意的的 x xIx , Ix , 存在独一的存在独一的y y满足方程满足方程F(x, F(x, y)=0, y)=0, 那么称方程那么称方程F(x, y)=0F(x, y)=0在在IxIx上确上确定了一个隐函数定了一个隐函数y = y(x).y = y(x).有些隐函数很容易表成显函数的方式.如，由y3+2x21=0，解得.2132xy把一个隐函数化为显函数的方式，称为隐函数的显化.有些隐函数不一定能显化或者很难显化.如 yx siny=0 (0 0, x 0 xxyln1sinln两边对x求导, 留意到y是x的函数, 从而lny是x的复合对数.xxxxxyy1sin1211cos)(ln1从而xxxxxyy121cosln1sinxxxxxxx121cosln1sin1sin解解( (二二) )：xxy1sin xxeln1sinxxxxxeyxx121cosln1sin ln1sinxxxxxxx121cosln1sin