上海高三考数学解析几何高考考点解析

1、上海高三考数学解析几何高考考点解析 作者: 日期：高考解析几何专题“平面直线的方程”高考要求分析【知识点11直线的点法向式方程和点方向式方程【考试要求】掌握直线的点法向式方程和点方向式方程，认识坐标 法在建立形与数关系中的作用。【解读说明】掌握两种题型，一是利用点法向式方程和点方向式方 程解决求直线方程问题；二是会根据一般式方程求直线的法向量和 方向向量。【举例说明】1、 已知点A(1,6), B( 1, 2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求 AC边的垂直平分线的方程。【解析】所求直线的法向量是 AC ,利用点法向式求直线方程。【答案】5x 3y 4 02、 求过点(2, 1)且以直线3

2、x 2y 5 0的法向量为方向向量 的直线方程。【解析】根据一般式方程求直线的法向量(3, -2),再利用点方向 是方程求直线方程。【答案】2x 3y 1 0ir3、过抛物线y x2的焦点，方向向量为d (2, 3)的直线的一个点 方向式方程是【解析】先根据抛物线方程求焦点坐标，然后写出点方向式方程。注意方程形式。1 y -【答案】32 3【知识点2】直线的一般式方程【考试要求】会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义；懂得二元一次方程的图形是直线。【解读说明】能够根据一般式方程求直线法向量和方向向量，再就是会求直线的斜率及画直线。【举例说明】1、 写出直线2x 3y

3、1 0的一个方向向量和一个法向量。【答案】d (3,2), n (2, 3)2、 光线由P(2,3)射到直线x y 1 0上，反射后过点Q(1,1),求反射光线所在直线的方程。【解析】根据物理原理，反射光线经过点 Q和点P关于直线x y 1。的对称点，所以只需求出这个对称点，然后根据两点坐标 求直线方程。【答案】7x 2y 5 0【知识点3】直线的倾斜角与斜率【考试要求】掌握点斜式方程【解读说明】首先掌握直线倾斜角和斜率的概念和关系，会根据斜 率求倾斜角或根据倾斜角求斜率，重点掌握利用点斜式求直线方 程。【举例说明】1、 直线4x y 1 0的倾斜角是【答案】 arctan42、求过点（3,5

4、）,且倾斜角为arccos4的直线方程。5【答案】3x 4y 11 0【知识点31两条直线的平行关系与垂直关系【考试要求】会通过直线方程判断两条直线平行或垂直。利用直线 的法向量（或方向向量）讨论两条直线具有平行关系或垂直关系 时，它们的方程应满足的条件。【解读说明】教材上通过行列式的计算去判断直线的位置关系，避 免了讨论斜率存在和不存在的情况。【举例说明】1、 若直线mx y m 1与x my 2m平彳丁，则m .【答案】-12、 当m为何值时，三条直线11 : 4x y 4, l2：mx y 0,I3 ：2x 3my 4不能构成三角形？【答案】4, 1,2, 16 33、已知点P (-1,

5、 1)和点Q (2, 2),若直线l: x my m 0与线段PQ不相交，则实数m的取值范围是 。【答案】(，2)u 1， 32【知识点4】两条相交直线的交点与夹角【考试要求】会求两条相交直线的交点坐标与夹角。【解读说明】会利用夹角公式求直线方程。求方程时也要注意直线斜率存在和不存在的情况。【举例说明】1、直线lir* y 0, Lkx y 1 0,若li与I2的夹角为60 ,贝 U k【答案】0或百2、等腰直角三角形斜边所在直线方程为3x y 5 0 ,直角顶点为C(4, 1),求两条直角边所在直线方程。【答案】2x y 7 0或x 2y 6 0【知识点5】点到直线的距离【考试要求】掌握点到

6、直线的距离公式。【解读说明】点到直线距离公式在解决圆与直线位置关系问题是会用到，会灵活应用距离公式。【举例说明】1、 已知直线x y 1 0,则J(x 1)2 (y 1)2的最小值为【答案】三222、 与直线x y 3 0平行且距离为2痣的直线方程为【答案】-1或73、经过点(2, 1),且与原点相距型的直线方程为 2【答案】-1或-74、已知两条平行线11、12分别过点-6,2)和8( 3, 1)并且各自绕着 A、B旋转始终保持平行，若11、12间的距离为d,则当d取 得最大值时直线11的方程为【答案】x 3y 6 05、若直线m被两平行线11： x y 1 0与12：x y 3 0所截得线

7、段的 长为2后，则直线m的倾斜角是.【答案】150或750“曲线方程”高考要求分析【知识点6】曲线方程的概念【考试要求】理解曲线方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例， 会求曲线方程的一般方法和步骤，知道适当选取坐标系的意义，会 在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点。形成通过坐标 系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质的基本思想。【解读说明】掌握求曲线方程的几种类型，重点掌握结合后面圆锥曲线的定义求曲线的轨迹方程。对于求轨迹的一般方法也要会用，一般步骤：建设现代化【举例说明】1、下列四组方程中，组表示同一曲线A. y2 x 与 y XxB. y lgx2 与 y 21gxC. y-

8、1 与 1g(x 2) 1g( y 1) D. x2 y2 1与 y x'1 x2 x 2【答案】D2、若曲线y x b与y x2 x 2有两个不同的交点，则A. b 0 B. b 1 C. b 1D. b 13、一动点到点A(12,16)的距离是它到点B(3,4)的距离的2倍，则此 动点的轨迹方程是【答案】x2 y2 1004、已知实数a,b,c成等差数列，点P( 1,0)在直线ax by c 0上的 射影是Q,则Q的轨迹方程是 。【答案】x2 (y 1)2 25、在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距 离”为(P,Q) |x1 x2 | 遇 y2

9、|。若 C(x, y)到点 A(1,3), B(6,9)的“直角距 离”相等，其中实数x,y满足0 x 10,3 y 9 ,则所有满足条件的点 C的轨迹的长度之和为 【答案】5( - 2 1)2,6、已知曲线C: y x 1和定点A (3, 1) , B为曲线C上任意一点，若AP 2PB,当点B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方 程。【解析】两个动点问题，其中一个在已知曲线上动，利用代换法求轨迹方程。【答案】3y2 2x 2y 1 07、已知定圆 A： (x 4)2 y2 121 和定圆 B： (x 4)2 y2 1,有一 动圆C,与圆A内切，与圆B外切，求动圆圆心C的轨迹方程。【解析】利用椭圆

10、的定义求动点轨迹方程。22【答案】人上136 20228、已知椭圆C: 士 工1,后下2分别为椭圆的左右焦点，P为259椭圆上任意一点，过右焦点做F1PF2外角平分线的垂线，垂足为点T,求动点点T的轨迹方程。【答案】x2 y2 259、已知平面上的线段l及点P,任取l上一点Q,线段PQ长度的最 小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l).(1)求点 P(1,1)到线段 l ：x y 3 0(3 x 5)的距离 d(P,l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合D P|d(P,l) 1所表示图形的面积；(3)写出到两条线段11、12距离相等的点的集合P|d(P,l1) d(P/2),其中 1i

11、 AB、K CD , A B、C、D 是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分 A(1,3)B(1,0),C( 1,3),D( 1,0). A(1,3)B(1,0),C( 1,3),D( 1, 2). A(0,1)B(0,0),C(0,0),D(2,0).【答案】解：(1)设 Q(x,x3)是线段l : x y 3 0(3 x 5)上任则 |PQ| . (x 1)2 (x 4)25 292(x 2)2(3 x 5).当x 3时,d(P,l)四院瓜(2)不妨设A 1,0、B 1,0为线段1的两个端点,则D为线段

12、hy 1(|x| 1)、线段Ry 1(|x| 1)、半圆_2g：(x 1)y2 1(x1)、半圆C2：(x 1)2y2 1(x 1)所围成的区域.这是因为对P(x,y), x1,则 d(P,1) |y ;而对 P(x,y),x 1,则 d(P,l) J(x 1)2 y2 ;对 P(x,y),x 1,则 d(P,l) J(x 1)2 y2 .于是D所表示的图形面积为S 4(3) 选择 A(1,3), B(1,0), C(1,3), D( 1,0),(x,y)|x 0.选择 A(1,3), B(1,0), C(1,3), D(1, 2),y 0U(x,y)|x y 1 0,x 1(x,y)|x 0

13、,y 0U(x,y)|y2 4x, 2选择 A(0,1), B(0,0) , C(0,0) , D(2,0),(x,y)|x 0,y 0U( x, y)|y x,0 x 1,12U(x,y)|y -(x21),1x 2*y)14x2y33c r-1【知识点7B Mr-O圆的标准方程与D1O般期程一A0,x 2.2.5B=C 12【考试要求】以直线与圆的位置关系为例，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。掌握圆的标准方程与一般方程。【解读说明】会根据圆的一般式方程求圆心，半径及画图，会解决圆与直线位置关系问题，重点是相切的问题，如求切线方程。【举例说明】1、 直线y 2x 1被圆x2 y2 2y

14、 1 0所截得的弦长为2、 以5 1,2）为圆心，且与直线l:2x 3y 5 0相切的圆的方程为3、已知实数x,y满足x2 y2 4y 3 0, ( 1)求x2 y2的最大值；(2)求u的范围；(3)求x 2y的最小值。x【答案】3,3,.3,454、已知AC,BD为圆O:x2 y2 4的两条互相垂直的弦，AC,BD交 于点M 1,72 ,求四边形ABCD面积的最大值。【答案】55、方程为1+产+ 4工二工一7 + 1的曲线上任意两点之间距离的最大 值为.【答案】、【知识点8】椭圆的标准方程与几何性质【考试要求】掌握椭圆的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上椭圆的标准方程。【解读说明】掌握

15、椭圆的定义和方程，会求椭圆的方程，椭圆的性 质掌握两类题型，一种是利用性质求方程，一种是利用性质解决最 值问题和一些综合问题。【举例说明】1、 若椭圆的两个焦点为Fi( 2,0), F2(2,0),椭圆的弦AB过点Fi,且ABF?的周长为12,那么该椭圆的方程为22【答案】A工195222、 设椭圆的标准方程为-L 1,若其焦点在x轴5 k 3 k上，则k的取值范围是【答案】k 3223、求与椭圆- 上1有相同焦点，且经过点P(3, 2)的椭圆方94程。15 10224、在椭圆40卷1内有一点M(4, 1),弦AB的中点恰为点M ,求弦AB所在直线的方程。【解析】中点弦问题的点差法。【答案】x

16、 y 5 0225、若点M是椭圆二 二1上的一点，EE是焦点，若 64 36F1MF2 60 ,求 5河52的面积。【解析】S F1MF2 b2tan1MF2【答案】12.3226、已知行2是椭圆会士1°的两个焦点,P是椭圆上的任意一点，则|PF1 | | PF2 |的最大值是 【解析】椭圆定义和基本不等式的综合应用【答案】25227、已知椭圆C ：与与1 ( a b 0),其左、右焦点分别为 a bFi(c,0)、F2(c,0),且a、b、c成等比数列.(1)求c的值.a(2)若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B,求证:FiAB 90 .(3)若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点

17、F2、P的直线1 ,使1与y轴的交点R满足RPUULU2PF2 ?若存在，求直线l的斜率k ；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由题设b2 ac及b2 a2 c2,得9必.(4 a 2分)uuuruuli-(2)由题设 A(0,b), B(a,0),又 Fi( c,0),得 AF1 ( c, b) , AB (a, b),.口 Luur uuir于是 AF1 AB ac b2 0 ,故 F1AB 90 .(3)由题设，显然直线I垂直于x轴时不合题意，设直线I的方程为 y k(x c),LULLaw得 R(0, kc),又 F2(c,0),及 RP2PF2 ,得点 P 的坐标为(2c,kc

18、),Cc222因为点P在椭圆上，所以等母 1,又b2 ac,得4 f k2 £ 1, a ba ak2 45 0,与k2 > 0矛盾，故不存在满足题意的直线I .8 、已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为卡,焦点坐标分别为F1( 2,0), F2(2,0)。(1)求椭圆C的标准方程； 已知A( 3,0), B(3,0) , P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N,求OM ON的值;,uuuuuLULT(3)在(2)的条件下，右 G(s,0) , H(k,0),且 GM HN , (s k),别以OG、OH为边作两正方形/求此两正方形的面积和的最小值, 并

19、求出取得最小值时的G、H点坐标。【答案】解：(1)、Qa A,。2,a2 b2 c222a2 9,b2 522所以椭圆C的标准方程为 二二1。95设 P(x0,y0),直线PA:y3)PB : y y-(x 3)xo 3令 x=0,得：OM3yo(0LUULTON(0,3)所以：OM ON =5, xo 3uuur(3) Q GM3youuur(s,0-) , HNxo 3k,3yo )xo3uuuu uurpQGM HN 乂 uuu uurGMgHN sk 5 o两正方形的面积和为s2 k225 io当且仅当s2 k2 5时, s式成立。两正方形的面积和的最小值为io,此时 G( V5,o)

20、、H(灰,o)。229、已知椭圆1 ,常数m、n R ,且m n . m n(1)当m 25, n 21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P,与y轴交于点Q ,若QFr 2FP ,求直线PQ的斜率;(2)过原点且斜率分别为k和k (k 1)的两条直线与椭圆222+乙=1的交点为A B、C、D (按逆时针顺序排列，且点A位于第 m n一象限内)，试用k表示四边形ABCD的面积S；(3)求S的最大值.【解析】利用函数单调性解决圆锥曲线中的最值问题。【答案】解(1) Qm= 25, n= 21,+252匕二1的左焦点为F(- 2, 0).21设满足题意的点为P(xo,y。)、Q(0, t).urnu

21、ir又QF = 2FP ,. (- 2,- t)= 2(x。+ 2, y。)，即?x0 = - 3?t = - 2y。9由点P(x。，y。)在椭圆上，得 +252 y。21=1,于是y。二？撞1 .5. t/21kPQ = kQF = T = - yo = ? 25Q过原点且斜率分别为k和-k( k 3 1)的直线li： y= kx,豚y = -kx关于x轴和y轴对称,四边形ABCD是矩形.想亡-d设点A(x。，yo).联立方程组?m + n ，得x2 = 变、.于是x。是 n+ mk?y = kx此方程的解，故 x2 = mn 2.S= 4x。y。= 4kx2 = -4mn: (k? 1)n

22、 + mkn+ mk(3)由(2)可知，S=T n+ mk4mnn ,+ mkk设g(k)= mk+n(k? 1),则g(k)在1,+?)上是单增函数. k理由：对任意两个实数kp k2违1, + )，且左卜2,则g(k1)- g(k2)= mk1 + - (mk2 + 口) k1k211、m(k1-卜2) + n() k1 k2= (kk2). k1k2Qm> n> 0, k2 > k1 於 1, k1k2 > 1, mk1k2- n > 0.又k1 - k2 < 0,(k- k2)-2 < 0,即 g(k1)- g(k2)< 0 . k1k2

23、 g(k)在1,+ ?)上是单增函数 ，于是 g(k)min = g(1)= m + n . rS='m? fmn(当且仅当k 1时，等号成立). n+mk m+n kS = Jmaxm+n2210、已知椭圆餐1r 1(a b 0)的左右焦点分别为E,F2,短轴两 a b个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。(1)求椭圆方程；(2)若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点 M满足MD CD,连接CM ,交椭圆于点P。证明：OM OP为定值；(3)在(2)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使 得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐 标

24、；若不存在，请说明理由。解：(1) a 2,bc,a2 b2c2, b2 2,椭圆方程为代入椭圆x2 2y2 4得C(2,0),D(2,0),设 M(2,y°),P(x1,y1),则 OP (XjyJOM(2,y。)。直线cm： 一片，即y色/22y0 212(1 )X - y0X82Xi( 2)24(y2 8)Xi2)y0 88y0yi °y。8OP (2(y2 8)y2 88y°、O)，V。 8OP OM, 224(y0 8) 8y°2 Z2 Zy08 y084y2 32y 84 (定值)。(3)设存在Q(m,0)满足条件,则MQDP 。MQ (m

25、2, y0), DP (4y28yo2,2yo 8 y082220,从而得0。则由 MQ DP 。得y-(m 2) 0y2 8yo 8存在Q(0,0)满足条件。【知识点9】双曲线的标准方程与几何性质【考试要求】掌握双曲线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在 x轴上的双曲线的标准方程。【解读说明】掌握双曲线的定义和方程，对于双曲线的性质，首先 要掌握双曲线的渐近线相关题型，根据渐近线去双曲线方程，再就 是根据范围解决最值问题。【举例说明】1、等轴双曲线x2 y2 1的左焦点为F,若点P为左下半支上任意一点(不同于左顶点)，则直线 PF的斜率的取值范 围是【答案】(，0) (1,)2、求与双曲线套

26、2 l : bx ay ab的距离等于-c 4有共同的渐近线,且经过点M(2J3, 3)的双曲线的方程。【解析】考查双曲线的渐近线，掌握共渐近线问题的解决思路。3、4、在 ABC中,已知B( a,0),C(a,0),(a 0),顶点 A为动点,1且满足sinC sin B -sin A ,求动点 A的轨迹方程。2224x4y,12o 21a3a4,求直线l的方程。斜率为2的直线l被双曲线2x25、设双曲线与与1(a 0,ba b 3y2 6所截得的弦长为c 210y 2x 30)的半焦距为c .已知原点到直线则c的最小值为一 r6、若经过点P(0,2)且以d1, a为方向向量的直线l与双曲线3

27、x2 y2 1相交于不同两点A、B ,则实数a的取值范围【答案】 15, 3.3, .3.3T5227、已知双曲线C:三11 (a 0,b 0)的一个焦点是F2(2,0), a b且 b73a 。(1)求双曲线C的方程;(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线与双曲线 C的右支相交于A,B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明 AB中点M在曲线3(x 1)2 y2 3上。(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点，问是否存 在实数m,使得AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存 在，请说明理由。【答案】解：(1) c 2 c2 a2 b24 a2 3a2a

28、2 1,b2 32双曲线为X2 1 o3y mx 2m(2) l : m(x 2) y 0 由 2 y21得x 13，-2、222_(3 m )x 4mx 4m 3 0由 0 得 4m4 (3 m2)(4m2 3) 0 即 12m2 9 3m2 0即m2 1 0恒成立2x1x20x1 ? x204m3) (3,)m2 34m2 3m2 3设 A(x1, y1), B(x2, y2),则2x x22m y y2m2 322m3m2 32m6m m2 3AB中点M (2m2m236m-) 33(2m2m2 31)222236m2(m23)222322(m23)2(m23)224_2_236m2m4

29、 6m2 9 12m22_ 232_ 2(m2 3)2(m2 3)2M在曲线3(x 1)2 y2 3上(3) A(x1,y)B(x2,y2),设存在实数m,使AOB为锐角，则OA OB 0XiX2yy20因为y1y2(mx12m)(mx22m)m2x1x22m2(x1x2)4m2222(1 m )x1 x2 2m (x1 x2) 4m 0(1 m2)(4m2 3) 8m4 4m2(m2 3) 0 即 7m2 3 12m202 32 -，.，.m -， 与m 3矛盾不存在5【知识点10】抛物线的标准方程与几何性质【考试要求】掌握抛物线的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上抛物线的标准方程。【

30、解读说明】掌握抛物线的定义和方程，会解决直线和抛物线的综合问题。【举例说明】1、 若抛物线y2 2Px(p 0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于5,则p二【答案】42、 经过抛物线y2 4x的焦点F作倾斜角为一的弦AB,则3AB的长为【答案】16 33、 若动点P到点F (4,0)的距离比到直线x 5 0的距离少1, 则动点P的轨迹方程是【答案】y2 16x4、设抛物线y2 4x上一点P到该抛物线准线与直线l:4x 3y 6 0的距离之和为d,若d取到最小彳1,则点P的坐标为 .【答案】(1,2) 9 35、设常数a 0,对yX2 R,P(x, y)是平面上任意一点，定义运算 " &

31、quot; ：x X2 (xi X2)2 (X1 X2)2,di(p) g'/xx-yy,1 d2(P) 2 (X a) (x a).(1)若x 0,求动点P(x, VX a)的轨迹C;(2)计算di(P)和d2(P),并说明其几何意义；(3)在(1)中的轨迹C中，是否存在两点A,A2,使之满足di(Ai) j0d2(Ai)且di(A2) Rd2(A2)?若存在，求出a的取值范围，并请求出di(Ai) di(A2)的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(i)由y寸反a式X a)2(x a)2 J40X可知：y2 4ax(x 0, y 0),所以轨迹C为抛物线y2 4ax(x 0, y

32、 0)在第一象限内的部分，包括原点； di(P) 2VxXyy iVl4x2 4y2 &y2 ,d2(P) 2j4(x a)2 |x a|,分别表示P点到原点和到直线x a 的距离；(3)设若存在为 Ai(xi,yi) A2(x2,y2),则由 di(AJ VidzA)且22Xiyidi ( A2 )ad2 ( A2)倚.22- a | x2a|2,2C2、xi4axi a(xi2axi a )222，X24aX2 a(x22aX2 a )即(a(ai)xi2 (4a 2a2)xi,、22、i)x2(4a 2a )X2a3 0a3 0 '.xi y所以x1、x2是方程(a i)x2 (4a 2a2 )x a