函数的微分25803

1、上页上页下页下页返回返回2.5 2.5 函数的微分函数的微分一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、微分的运算法则与公式三、微分的运算法则与公式四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用上页上页下页下页返回返回一、微分的定义一、微分的定义1. 问题的提出问题的提出例例1 一个正方形薄片受热膨涨，边长由一个正方形薄片受热膨涨，边长由 改变为改变为 时，薄片面积改变多少？时，薄片面积改变多少？x0 xx0 2)( x xx 0 xx 00 x0 xx x ,20 xa 正方形面积正方形面积2020)(xxxa .)(220 xxx 解解)1()2(;的主要部分

2、的主要部分且为且为 a x )1()2(x 的线性的线性(一次一次)函数函数,的高阶无穷小的高阶无穷小,很小时可忽略很小时可忽略.x 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回再如再如,03时时处的改变量为处的改变量为在点在点设函数设函数xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x y ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是. y 求函数的改变量求函数的改变量.320 xx 一般地，如果函数一般地，如果函数y = f (x)的增量可以表示为的增量可以表示为ya xox(), 则则 时，可用时，可用 的线性部

3、分的线性部分 近似近似表示表示x0 x a x y. 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回定义定义1 1,)(在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xfy 2. 微分的定义微分的定义,00在这区间内在这区间内及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果),(无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立xa 0)(xxfy在点在点 则称函数则称函数xa x xdy0 相相应应于于自自变变量量在在点点0)(xxfy x xdyax0.即即 可微可微, ,df x0(),或或记作记作微分，微分，并称并称为函数为函数的的增量增量 x axox() 2.5 2.5 函数的

4、微分函数的微分上页上页下页下页返回返回可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理1证证 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在点在点xxf),( xoxay .a ,)(0可可导导在在点点即即函函数数xxf3. 可微的充要条件可微的充要条件)(xf函函数数0().dyfxx即有即有).(0 xfa 且且,0处可导处可导在点在点x),(0 xfa 且且 xyxxoa )(0lim x 0lim x2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回),()(0 xoxxf (2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(l

5、im00 xfxyx ,)(0可微可微在点在点函数函数xxf.可微可微可导可导dyfxx0(). 从而从而.)(0axf 且且且微分一定是且微分一定是可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理1 1)(xf函函数数即有即有,0处可导处可导在点在点x),(0 xfa 且且0().dyfxxx (0,0) 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回dyfx dx( ) dyfxdx( ) dydf x( ),或或 称为函数称为函数的微分的微分, 记作记作dyfxx( ).即即 称为自变量的称为自变量的微分微分,记作记作dx,dxx.即即 注注,)(的微分的微分在任意点在任意点函

6、数函数xxfy 导数又称为微商！导数又称为微商！dyy xaxo )(1).0(1 x;,0是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydya 2.5 2.5 函数的微分函数的微分x的增量的增量通常把自变量通常把自变量x 上页上页下页下页返回返回例例2解解求函数求函数 当当 时的微分时的微分.yx3 xx2,0.02 xxdy )(3.32xx xxxxdyxx2220.020.023 .24. 0 2.5 2.5 函数的微分函数的微分根据微分的定义，根据微分的定义，上页上页下页下页返回返回几何意义几何意义y 当当,很小时很小时当当 x dy二、微分的几何意义二、微分的几何意义.mnmp可近似代替曲

7、线段可近似代替曲线段切线段切线段增量时增量时;是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标,的附近的附近在点在点m纵坐标纵坐标对应的增量对应的增量,x tanpq dy xyo)(xfy t0 xm xx 0n pqy dy)( xo x 就是就是切线切线ydyox(), 如果用切线来近似曲线，函数的改变量就是如果用切线来近似曲线，函数的改变量就是dy.2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回三、微分的运算法则与公式三、微分的运算法则与公式dyfx dx( ) 微分求法微分求法1. 常数和基本初等函数的微分公式常数和基本初等函数的微分公式计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以

8、自变量的微分.xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin

9、1)(lnln1)(log)(ln)( arc2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则如果函数如果函数和和ux ( ) yf u( ) 可导，可导，则复合函数则复合函数 的微分为的微分为yfx ( ) dyfux dx ( )( )或或dyfu du( ) 结论结论)(xfy dyfx dx( ). 无论无论x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 函数函数的微分形式总是的微分形式总是2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回例例3求求 的微分的微分.yxcos 解解法一：根据微分的定义法一：根据微分的定义.

10、 yxxx1 1cossin2 xxsin2 xdydxxsin.2 法二：利用微分的形式不变性法二：利用微分的形式不变性.dyduuducossin, xdydxxsin.2 设设ux, dudxx12 代入代入2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回例例4解解法一：法一： 根据微分的定义根据微分的定义xxyeexsinsin()cos 法二：利用微分形式不变性法二：利用微分形式不变性xxxdydeedxexdxsinsinsinsincos.xdyexdxsincos.设设 ，求微分，求微分.xyesin 在求复合函数微分过程中可以不写中间变量在求复合函数微分过程中可以

11、不写中间变量,直接利用微分形式不变性直接利用微分形式不变性.2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回例例5设设xxyya2222,求求dydx.解解xdx2 d xxyy22(2)0 xydydxyx. dy x2 xdy2ydy2 0 等式两边求微分，等式两边求微分，xy dxxy dy()()02.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回4. 微分和导数在经济学上的应用微分和导数在经济学上的应用在经济学中，在经济学中， 为为边际函数边际函数. fx( ) 弹性函数弹性函数设生产设生产x单位产品所花费的成本为单位产品所花费的成本为 , 称称成本函数的导数成

12、本函数的导数 为为边际成本边际成本.f x( )fx( ) 它表示当产品每增加一个单位时，成本需它表示当产品每增加一个单位时，成本需增加增加 .fx( ) ydyfxx( ) xxyfxyf x( )( ) 表示表示f (x)对对x变化反应的强度或敏感度变化反应的强度或敏感度.2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回dyxdy xyydxydx yx 弹性函数也表示函数的相对变化率弹性函数也表示函数的相对变化率.当当x变化变化1%时，函数时，函数f (x)约改变约改变xfxf x( )%.( ) 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回解解边际函数是成本

13、函数的导数，边际函数是成本函数的导数，qpq212,(1) 某厂生产产品的总成本某厂生产产品的总成本p是产量是产量q的函数，的函数，例例6qpqq1,0,1 求边际函数和弹性函数求边际函数和弹性函数.表示增加一件产品所增加的成本表示增加一件产品所增加的成本.2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回qpqq1,0,1 弹性函数为弹性函数为qqqpqpqq212(1)11 qqqq12,(1)(1) 它表示产量改变它表示产量改变1%时，成本改变量的百分数时，成本改变量的百分数.2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计

14、算中的应用.)(0 xxf ydy f xxf x00()() 当当 时，时，x0 .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x .)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算与与xxfxf 0360cos0 故故例例7.0360cos0的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf )3603cos( .)()()(000 xxfxfxxf 3603sin3cos 3602321

15、.4924. 0 36030)(cos xxxx 30cos xx,30 x令令360 x注注 2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回证明下列常用近似公式证明下列常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证证,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例8由由x=0附近的近似计算公式，附近的近似计算公式，其它类似可证其它类似可证.2.5 2.5 函数的微分函数的微分上页上页下页下页返回返回例例9.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 e0.03(2) .97. 0 9.9995 2.5 2.5 函数的微分函数的微分nxxn11xex110.03上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结1. .微分的实质微分的实质2. .微分的几何意义微分的几何意义基本微分公式，微分运算法则，微分形式不基本微分公式，微分运算法则，微分形式不变性