高三第一轮复习数学---两直线的位置关系

1、优秀学习资料欢迎下载高三第一轮复习数学 -两直线的位置关系一、教学目标：1、把握两条直线平行与垂直的判定条件，能依据直线的方程判定两条直线的位置关系；2、把握两条直线所成角和点到直线的距离公式；把握对称和三角形的高、中线、角平分线等学问的处理方法； 3、两条直线位置关系的争论，经常转化为对表示它们的两个二元一次方程的争论；留意数形结合思想的应用；二、教学重点：1、两直线平行和垂直的充要条件，依据直线方程判定两直线的位置关系；2、到角与夹角的运算；3、两直线的交点及过交点的直线系方程；4、点到直线与两平行直线间的距离；三、教学过程：（一）主要学问：1、直线与直线的位置关系：（1）有斜率 的两直线

2、l 1： y=k 1x+b1； l 2： y=k 2x+b2；有： l 1 l 2k 1=k 2 且 b1 b2； l 1 l 2k 1· k2=-1 ； l 1 与 l 2 相交k 1k 2 l 1 与 l 2 重合k1=k2 且 b1=b2 ；（2）一般式的直线l 1：a1x+b1y+c1=0，l 2： a2x+b2y+c2=0有： l 1 l 2a1b2-a 2b1=0； b1c2-b 2c10 l 1 l 2a1a2+b1b2=0 l 1 与 l 2 相交a 1b2-a 2b1 0 l 1 与 l 2 重合a 1b2-a2b1=0 且 b1c2-b 2c1=0；2、到角与夹角

3、：3、l 1 到 l 2 的角：直线l 1 绕交点依逆时针旋转到l 2 所转的角 0, 有 tan =k2k11k1k2（ k 1· k 2 -1 ）；l 1 与 l 2 的夹角 ， 0,4、 点与直线的位置关系： 有 tan =|2k2k11 k1k2| （ k1·k2 -1 ）；如点 p（ x 0，y0）在直线 ax+by+c=0上，就有 ax0+by0+c=0；如点 p（x 0，y0）不在直线ax+by+c=0ax0by0c上，就有ax0+by0+c 0，此时到直线的距离：d；平行直线ax+by+c1=0 与 ax+by+c2=0 之间的距离为da2b2c1c2a2b

4、 25、过直线l 1： a1x+b1y+c1=0，l 2： a2x+b2y+c2=0 交点的直线系方程为：a1x+b1y+c1+ （ a2x+b2y+c2） =0（ r） 除 l 2 外 ；（二）例题分析：例 1已知两条直线l 1:x+m2y+6=0,l 2:m-2x+3my+2m=0 ，当 m为何值时 ,l 1 与 l 2优秀学习资料欢迎下载（）相交； （）平行； （）重合；解当时，：， ：， ，当时， ：， ： 与 相交；当且时，由1m 2m23m得或，由16m22m得故（）当且且时 与 相交；（）或时 ，（）当时与 重合；22思维点拨 ；先争论、系数为的情形；例 2、已知圆 c:x1y2

5、25 , 直线 l: 2m+1x+m+1y-7m-4=0 mr(1) 证明不论m取什么实数，直线l 与圆 c 恒交于两点(2) 求直线被圆c 截得的弦长最小时l 的方程解： l 的方程为（ x+y-4 ） +m2x+y-7=02xy70xy40x 3即 l 恒过定点a3,1.由于圆心c1,2y 1ac55 , 定点 a 在圆内，所以直线l 与圆 c 恒交于两点1（2）弦长最小时，l ac.k acl 的方程为2x-y-5=02思维点拨 ；过定点直线系中，利用定点的位置解题；留意定点的求法过线段一端点直线与线段垂直时，另一端点与直线距离最大例 3、<变式 >已知三直线l 1： 2x-

6、y+ a =0（ a>0）、l 2： -4x+2y+1=0 和 l 3： x+y-1=0 ，且 l 1 与 l 2 的距离是75 ；10（1）求 a的值；（2）求 l 3 到 l 1 的角 ；（3）能否找到一点p，使得 p 点同时满意以下三个条件：p 是第一象限的点；p 点到 l 1 的距离是 p 点到 l 2 的距离的一半p点到 l 1 的距离与 p点到 l 3 的距离之比是2 5 ；如能，求p 点坐标；如不能，说明理由；1a1275a1275解：（ 1）l 2 即 2x-y-=0，l 1 与 l 2 的距离； d2 a17222 21 210510 a>0 a=3；（2）由（

7、1）， l 1 即 2x-y+3=0 ， k1=2，而 l 3 的斜率 k3 =-1 ，优秀学习资料欢迎下载k1 tan =1k3k1k3=-3 ；0 < = -arctan3；（3）设点 p（ x 0， y0），如点 p 满意条件，就p 点在与 l 1 、l 2 平行的直线c3l：2x-y+c=0上，且51311c112 ， 即 c= 13252，或 c=11 ，62x0-y 0+2=0，或 2x0-y 0+=0；6如 p 点满意条件，由点到直线的距离公式，有|2x 0 -y 0+3|=|x0+y0-11| ；x0 -2y 0+4=0，或 3x0+2=0；由 p 点在第一象限，3x0+

8、2=0 不行能；联立方程2x0-y 0 +13 =0 和 x0-2y 0+4=0，解得22x0y0352 x05y011，即2x0=-3y0=1/2应舍去；由 2x0-y 0+ 11=0 和 x 0-2y 0+4=0 联立解得：61x 0=937y 0=18点 p（137，918）即为同时满意三个条件的点；思维点拨 ；与直线 ax+by+c=0平行的全部直线总可以设为 ax+by+c1=0 形式；两平行直线间的距离除有公式外仍可看成是其中一条直线上的任一点到另始终线的距离， 最终化归为点到直线的距离；例 4、已知直线 l 经过点 p（ 3，1），且被两平行直线 l 1： x+y+1=0 和l

9、2：x+y+6=0 截得的线段之长为 5；求直线 l 的方程；解一如直线 l 的斜率不存在，就直线 l 的方程为x=3，此时与l 1、l 2 的交点分别是a1（3， -4 ）和 b1（3， -9 ），截得的线段ab的长 |ab|=|-4+9|=5， 符合题意；bapo如直线 l 的斜率存在，就设l 的方程为y=k （x-3 ） +1，解方程组y=k（ x-3 ） +1 a1x+y+1=0得 a（ 3kk解方程组y=k（ x-3 ） +1x+y+6=0得 b（ 3kk2 , - 4k1 ）b11k17 ， - 9k1 ） 1k1优秀学习资料欢迎下载由|ab|=5得（ 3k2k13k7 ） 2+（

10、k14k1k19k1 ） 2=25，k1解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1； 综上可知，所求l 的方程为 x=3 或 y=1 ；解二由题意，直线l 1、l 2 之间的距离为d= |16 |252 ，且直线l 被直线 l 1，、l 2 所2截的线段ab的长为 5，设直线l 与 l 1 的夹角为 ，就52sin =2 52，故 20；=45000由直线 l 1：x+y+1=0 的倾斜角为135 ，知直线 l 的倾斜角为0 或 90 ，又由直线l 过点 p（ 3，1），故所求l 的方程为x=3 或 y=1 ；解三设直线l 与 l 1、l 2 分别相交于a（ x1， y1）、b（x 2，y 2）

11、，就 x 1+y1+1=0，x2+y2 +6=0；两式相减，得（x 1-x 2） +（y 1-y 2） =5又（x1 -x 2）2+（ y 1-y 2）2=25联立 ，可得x1-x 2=5x1-x 2=0 y1-y 2=0y1-y 2=5由上可知，直线l 的倾斜角为00 或 900，又由直线l 过点 p（ 3，1），故所求 l 的方程为x=3或 y=1 ；思维点拨 ；要求直线方程只要有：点和斜率（可有倾斜角算）；也可以先找两点；例 5、已知 a（ 0， 3），b（ -1 ， 0）， c（ 3， 0）求 d点的坐标，使四边形abcd是等腰梯形；解如图，设d（x ， y ），如 ab cd就 ka

12、b=kcd，且 |ad|=|bc| 即：a d230y0d101x3-1x2+（ y-3 ） 2=|3+1| 2由得d（ 16 , 3 ）b oc55如 ad bc，就 kad=kbc且|ab|=|cd|y30x02222（ x-3 ） +y =1 +3解得d（ 2， 3）；故 d 点的坐标是（16 , 3 ）或（ 2， 3）；55思维点拨 ；利用等腰三角形性质“两底平行且两腰相等”，用斜率相等及两点间距离公式；（三）巩固练习：1、如图 7.1-1，已知点 a2,1 ，直线 l1 : yx2 和直线l 2 : y1x 交于点 b，l1 交2优秀学习资料欢迎下载y 于点 c，求abc中a 的平分

13、线方程；解：解方程组得点 b4,2，明显点 a 在 l2 上， l1 交 y 于点 c 0,2，直线 ac 的斜率 k1121 ；202y设a 的平分线 at 的方程为 y1kx2，c tacattab ,就k11k22l20x l1解得 k0 ；11k1kb22直线 at 得方程为 y1 ，将其代入 yx2 得 x1 ，即点 t1,1；a 的平分线方程为 y11x2 ；留意：涉及三角形有关问题要考虑将直线与三角形的学问结合起来；变式 1：已知abc 中 a3, 2 ，b 1,5 ，c 点在直线 3 xy30 上，如abc的面积为 10，就 c 点的坐标是；2、 求 过 点p0,1的 直 线

14、l 的 方 程 ， 使 l 夹 在 两 条 直 线l1 : x3 y100 与l2 : 2xy80 之间的线段恰被p 点平分；解：但斜率k 不存在时，明显不满意条件，设过点p 0,1的直线方程为ykx1 ，与直线l1 ， l2 分别交于a, b 两点，如图 7，12ykx1ykx1由x3 y100. 及 2xy80解得 x a7， x7；b3k1k2又已知p0,1 为 ab 的中点，就73k170，解得 k1 ； k24所求直线方程为y1 x1，即 x44 y40 ；留意：与两直线相关问题，要考虑两直线的位置关系，结合题设条件，寻求解决问题的有效方法；优秀学习资料欢迎下载3、点p 4,0关于直线 5 x4 y210 的对称点是a、（ 6，8）b、 8， 6c、（6， 8）d、（ 6， 8）解：设点p4,0关于直线 5x4 y210 的对称点为p1 x1,y1 ，由轴对称概念pp1的中点m x14 , y10 在对称轴 5x4 y210 上，且pp1 与对称轴垂直，就有225x144y121022y14x45解得 x16, y18,p1 6,8 ，应选 d1留意：对称问题可化为点关于