扬州市2014—2015学年度高三第四次调研测试数学参考答案

1、数学参考答案第 1 页（共 13 页）扬州市 20142015 学年度第四次调研测试试题高高 三三 数数 学学 参参 考考 答答 案案第一部分1已知集合，则 2，41,2,4,2,3,4,5ABAB 2设复数满足，则_z132i zi z1 3i3命题“2,10 xR x ”的否定是 2,10 xR x 4已知为第三象限角，且，则 tan2sin2455从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加体能测试，则选到的 2 名同学中至少有一名男同学的概率是 9106已知向量(1,3)a，( 2,1) b，(3,2)c.若向量c与向量k ab共线，则实数k 17锐角中角的对边分别是，, 的面积为

2、, 则 ABC, ,A B C, ,a b c4,5abABC5 3c=218用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 69 39已知等比数列的前项和为，若，则等于 1 nannS2244aSaS12015SS10若函数的图象过点，则该函数图象在点处的切线倾斜角等于 ( )cosf xkx(,1)3PP23析：函数的图象经过点，( )cosf xkx(,1)3P()cos1233fkk，xxfcos2)( )2sinfxx ()2sin333kf 11若直线截半圆所得的弦长为，则 30 xym225yx8m 3 1012平面内四点满足，则面积的最大值为 , , ,O A B C

3、4,2 5,5,0OAOBOCOB OC ABC1513已知椭圆 E：的右焦点为 F，离心率为，过原点 O 且倾斜角为的直线 与22221(0)xyabab323l椭圆 E 相交于 A、B 两点，若AFB 的周长为，则椭圆方程为 8 134132214xy析：由已知，椭圆方程可化为：，将代入得，2ab2224xya:3l yx13|13Axa数学参考答案第 2 页（共 13 页）MDCBA由椭圆对称性，AFB 的周长=，可得2| 24|AaABax2a 14已知函数， 若，|( )()xxf xxRe12( )421()xxg xaaaaR |(g( )RAx fxe则的取值范围是 a 1,0

4、析：当时，得在上是增函数，在上是减函数，当时有极大值；0 x 1( )xxfxe( )f x0,11,1x 1e当时，恒成立，是减函数，且0 x 1( )0 xxfxe( )f x( 1)fe设，由得，即对恒成立，( )g xt( )f te1t ( )1g x xR22( )(2)21xg xaaa 当时，而，不合题意；0a 2( )21g xaa2211aa 当时，得0a 2( )(,1)g xaa 211aa 10a 15如图，三棱锥中，侧面是等边三角形，是的中心ABCDABCMABC 若，求证；DMBCADBC 若上存在点，使平面，求的值ADN/ /MNBCDANND证连并延长交于，连

5、AMBCEDE 因为是等边的中心，所以是的中点， 2 分MABCEBCAEBC 又因为，平面，DMBCAEDMM,AE DM ADE 所以平面， 5 分BC ADE 因为平面，所以； 7 分AD ADEADBC 平面，所以平面，,MAE AEADEM ADE 因为上存在点，所以平面，ADNN ADE 所以平面， 9 分MN ADE 又平面，平面平面，/ /MNBCDADE BCDDE 所以， 12 分/ /MNDE 在中，因为，所以 14 分ADE12AMME12ANND数学参考答案第 3 页（共 13 页）16的内角满足(单位向量互相垂直)，且ABC,A B2cossin22ABABaij,

6、 i j 6|2a 求的值；tantanAB 若，边长，求边长2sin13A 2a c解因为，2223|2cossin222ABABa即， 3 分1 cos()31 cos()22ABAB所以，coscossinsincoscossinsin02ABABABAB化简整理，得，故=. 7 分13tantan022ABtantanAB13(2)由(1)可知为锐角因为，所以，,A B2sin13A 2tan3A 1tan2B ， 12 分tantan7tantan()1tantan4ABCABAB 7sin65C 因为正弦定理，所以，所以边长 14 分sinsinacAC2271365c7 55c

7、17一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为 0.8 米，高 1.2 米，体积约为 0.6 立方米为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于 1.2 米，高是底面边长的 2倍保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米 500 元为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为 1 平方米时，保险费用为 48000 元 若保护罩的底面边长为米，求气体费用与保险费用的和；2.5 为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？解； 4 分2248000500(2.550.6)230052.5 保护罩的底面

8、边长为米，底面积为平方米，体积为立方米，总费用为元，则xSVy =， （）9 分48000500(0.6)yVS2248000500(20.6)x xx32480001000300 xx1.2x ，令得，5233960003230003000 xyxxx0y 2x 数学参考答案第 4 页（共 13 页）当时，递减；当时，递增当时，有极小值即最小值1.22x0y y2x 0y y2x y答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为 2 米 14 分18已知椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线为 ， 与轴相交于点，22221(0)xyababAFllxT且是的中点FAT求椭圆的离心率；过点的直

9、线与椭圆相交于两点，都在T,M N,M N轴上方，并且在之间，且xM,N T2NFMF记的面积分别为，求；,NFMNFA12,S S12SS若原点到直线的距离为，求椭圆方程OTMN20 4141解因为是的中点，所以，即，FAT22aacc (2 )()0ac ac又、，所以，所以； 4 分a0c 2ac12cea解法一：过作直线 的垂线，垂足分别为，依题意，,M Nl11,MN11NFMFeNNMM又，故，故是的中点，2NFMF112NNMMMNT12MNFTNFSS 又是中点，； 8 分FATANFTNFSS1212SS解法二：，椭圆方程为，2ac3bc2222143xycc( ,0)F c

10、(4 ,0)Tc设，点在椭圆上，即有，11( ,)M x y22(,)N xyM2222143xycc22211334ycx2222211113()()34MFxcyxccx数学参考答案第 5 页（共 13 页）22111111124|2 | 2422xcxcxccx同理，2122NFcx又，故得是的中点，2NFMF1224xxcM,N T12MNFTNFSS 又是中点，； 8 分FATANFTNFSS1212SS解法一：设，则椭圆方程为，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中点，不妨设，则，M,N T00(,)M xy00(24 ,2)Nxcy 又都在椭圆上，即有即,M N220

11、022220022143(24 )4143xyccxcycc220022220022143(2 )1434xyccxcycc两式相减得：，解得， 10 分220022(2 )3444xxccc074xc可得，故直线的斜率为， 13 分03 58ycMN3 5587644ckcc 直线的方程为，即MN5(4 )6yxc 564 50 xyc 原点到直线的距离为，OTMN4 54 553641cdc依题意，解得，4 520 414141c 5c 故椭圆方程为 16 分2212015xy数学参考答案第 6 页（共 13 页）解法二：设，则椭圆方程为，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中

12、点，故，M,N T1224xxc直线的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为，与椭圆联立，并消去得：MNk(4 )yk xcy，整理得：， （*）22222(4 )143xkxccc222222(43)3264120kxck xk cc设，依题意：11( ,)M x y22(,)N xy21222221223243641243ckxxkk ccx xk由解得： 212212324324ckxxkxxc2122221644316443ckcxkckcxk所以，解之得：，即222222221641646412434343ckcckck cckkk2536k 56k 直线的方程为，即MN5(4 )6yx

13、c 564 50 xyc原点到直线的距离为，OTMN4 54 553641ccd 依题意，解得，4 520 414141c5c 故椭圆方程为 16 分2212015xy数学参考答案第 7 页（共 13 页）19设个正数依次围成一个圆圈其中mmaaa,.,21*4,mmN1231,.,kka a aaa*(,)km kN 是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列d111,.,mmkka aaaa2 若，求数列的所有项的和；12ad8k maaa,.,21mS 若，求的最大值；12ad2015m m 是否存在正整数，满足？若存在，求出值；k1211213()kkkkmmaaaaaaaak若不存在，

14、请说明理由解依题意，故数列即为共 10 个数，16ka maaa,.,212，4，6，8，10，12，14，16，8，4此时， 4 分10m 84mS 由数列是首项为、公差为的等差数列知，1231,.,kka a aaa222kak而是首项为、公比为的等比数列知，111,.,mmkka aaaa2222mkka 故有，即必是的整数次幂，222mkk 12mkk k2由知，要使最大，必须最大， 122kmkmk又，故的最大值，从而，的最大值是 9 分2015kmk1021010241222mm1033由数列是公差为的等差数列知，1231,.,kka a aaad1(1)kaakd而是公比为的等比

15、数列，111,.,mmkka aaaa2112mkkaa 故，1(1)akd112mka 11(1)(21)mkkda 又，121113()kkkkmmaaaaaaaa12maa则，即，1111 2(1)3 221 2m kkak kda 11111(21)3 2(21)2mkm kkak aa 则，即， 11126(21)22mkm kkk 1126 212mkmkkk 显然，则6k 112182166mkkkk 所以，将一一代入验证知，6k 12 3 4 5k ，当时，上式右端为，等式成立，此时，4k 86m 数学参考答案第 8 页（共 13 页）综上可得：当且仅当时，存在满足等式 16

16、分6m 4k 20设函数，(其中，是自然对数的底数） 1( )1f xx ( )1xg xaxaRe若函数没有零点，求实数的取值范围；( )( )( )F xf xg xa若函数的图象有公共点，且在点有相同的切线，求实数的值；( ), ( )f x g xPPa若在恒成立，求实数的取值范围()( )xf eg xx0,)a解由得，显然，都不是此方程的根，( )( )( )0F xf xg x2(1)(1)10axax 0 x 1xa 当时，没有实根，则，由得：，1a 1a 2(1)4(1)0aa31a 故当时，函数没有零点； 3 分( 3,1a ( )( )( )F xf xg x，设它们的公

17、共点为，21( )fxx21( )(1)g xax(,)PPP xy则有即也就是()()()()PPPPPPyf xyg xfxg x()()()()PPPPf xg xfxg x2211111()(1)PPPPPxxaxxax当时，无解；当时，；81PPaxx 111Px1PPaxx 111Px 12Px 3a 分由题得在上恒成立，因为，故，111xxeax0,)0 x 10,1)xe所以在上恒成立，故在上恒成立，110 xe0,)01xax0,)所以，. 10 分0a 解法一：不等式恒成立等价于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xaxex0,)令，则，1( )(1)(1)1xxax

18、h xaxexaxxe 1( )1xaxah xae再设，则，同时，( )( )m xh x21( )xaxam xe(0)21ma(0)0h(0)0h当时，则在上单调递减， 0a 1( )0,xm xe ( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，在上单减， 即在上恒成立，( )h x0,)( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)数学参考答案第 9 页（共 13 页）当时，因为，所以，102a21()( )xaa xam xe210aa( )0m x 则在上单调递减， 在上单减，( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，( )h x0,)即在上恒成立

19、，( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)当时，12a 21()( )xaa xam xe210aa若，则，即在上单调递增，所以210axa( )0m x ( )( )m xh x21(0,)aa( )(0)0h xh即在上也单调递增，即，不满足条件.( )h x21(0,)aa( )(0)=0h xh()( )xf eg x综上，在上恒成立时，实数的取值范围是. 16()( )xf eg x0,)a10,2分解法二：不等式恒成立等价于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xxaxee x0,)设，则，( )(1)(1)=(1)(1)xxxh xaxee x eaxxax(

20、 )()xh xeaxxaa再设，则( )( )()xm xh xeaxxaa( )(1)(21)xm xeaxa同时，(0)21ma(0)(0)0mh(0)0h当时，故函数是上的增函数所以，1a (0)210ma ( )h x(0,)( )(0)0h xh所以函数是上的增函数，所以当时，( )h x(0,)(0,)x( )(0)0h xh即，与在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)当时，故函数是上的减函数102a2101aa21( )(1)()01xam xaexa( )h x(0,)所以，函数是上的减函数，所以当时，( )(0)0h xh( )h x(0,)

21、(0,)x，( )(0)0h xh即在上恒成立，( )( )f xg x0,)数学参考答案第 10 页（共 13 页）当时，当时，112a2101aa21( )(1)()1xam xaexa21(0,)1axa( )0m x 故函数是上的增函数所以在上，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa( )(0)0h xh所以函数是上的增函数，所以当时，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa( )(0)0h xh即，与在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)综上可得，使在上恒成立实数的取值范围是()( )xf eg x0,)a10,2第二部分21B已

22、知矩阵，计算2 13,1 25M 2M解法一：矩阵的特征多项式为，令，M221( )4312f ( )0f解得，对应的一个特征向量分别为， 5 分1,31211,11 令，得，12mn1,4mn 22221212(4)()4()MMMM 10 分2211351 14 31137 解法二：因为， 5 分22 12 11 21 2M所以 10 分2335537M 21C已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立C4sinx平面直角坐标系，直线 的参数方程是是参数） 若直线 与圆相切，求正数的值l32(12xttytmlCm解：由，得，所以，4sin24 sin224

23、0 xyy即圆方程为 4 分C22(2)4xy数学参考答案第 11 页（共 13 页）又由，消 得， 8 分3212xtytmt330 xym因为直线 与圆相切，所以得，lC| 2 33|22m4 323m 又，所以 10 分0m 4 323m 22如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，ABCDABEF且，11,/2ABBEAFBEAF为,2,3ABAFCBABCP中点DF求异面直线与所成的角；DAPE求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值DEFABCD解：在中，ABC1,23ABCBABC所以2222cos3ACBABCBA BCCBA所以，所以222ACBABCABAC又因为平面平面，平面平面，ABCD ABEFABCDABEFAB平面，所以平面AC ABCDAC ABEF如图，建立空间直角坐标系，则,AB AF AC 13(0,0,0), (1,0,0),(0,0, 3),( 1,0, 3),(1,1,0),(0,2,0), (,1,)22ABCDEFP33(1,0,3),( ,0,)22DAPE 设异面直线与所成的角为，则DAPE33cos| |2|23DA PEDAPE 所以异面直线与